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数学：山东省临沂市蒙阴县2024年中考二模试题（解析版）
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这是一份数学：山东省临沂市蒙阴县2024年中考二模试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】在，0，1，个实数中，大于1的实数是，
故选D．
2. 国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
3. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. 北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：B．
6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
7. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是．
故选：C．
8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
9. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量m（kg），已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）
A. 在一定范围内，越大，越小
B. 当时，的阻值为
C. 当踏板上人质量为时，
D. 若电压表量程为（），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】C
【解析】根据图2得，在一定范围内，越大，越小，当时，的阻值为，故选项A、B说法正确，
当时，的阻值为，根据与m之间的关系得，
解得，
即当时，踏板上人的质量为，故选项C说法错误；
当时，的阻值为，此时m有最大值，即，
解得，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确，
故选：C．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3﹣xy2=_____．
【答案】x（x+y）（x-y）
【解析】x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
12. 写出一个比大且比小的整数 _____．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
13. 如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________米．
【答案】12
【解析】如图，，，
则，
，
，
，
，
即，
（米）；
故答案为：12．
14. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______．
【答案】
【解析】 表示的方程是，
故答案为：．
15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________．
【答案】
【解析】，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
16. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由此规律可解决如下问题：展开式中第20项系数为_______．
【答案】210
【解析】由题意知，其规律为：
，
其有项，
则展开式中共有22项，且第20项系数为：；
故答案为：210．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算；
（2）解不等式组：．
解：（1）
；
（2），
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
18. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的单价；
（2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？
解：（1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以（元）；
答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元；
（2）设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔，
由题意得：，
解得：；
设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，
则，
，，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，
最小值为（元），此
时（个）．
答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元．
19. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
解：如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C,
∵米，，
∴,
∵，
∴，
∴米，
∵是垂直于水平地面，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴点A位于最高点时到地面的距离米．
20. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：
学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
解：（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，
故中位数是，
根据扇形统计图可得：5分的有人，6分的有人，7分的有人，8分的有人，9分的有人，10分的有人，
故众数是8，
合格人数为：人，
故合格率为：，
故，，．
（2）八年级学生成绩合格人数为：人，
即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．
（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．
21. 如图，直线与双曲线相交于点．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求的面积．
解：（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，∴，
把、代入，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
22. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，，垂足为点E，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当的半径为5，时，求的长．
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，得，
∴．
∵，∴，
∵，
∴，∴．
∵是的直径，
∴，∴，
∴，∴，
∴．
∴
23. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
24. 问题情境：
如图1，在矩形中，，，为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为__________．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点重合，得到，与交于点，与交于点．
①连接，，图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来．
②求的长．
拓展研究：
（3）如图3，将沿点按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点和点．当时，分别求出的值和线段的长．
解：（1）四边形为矩形，，，
，，，
由折叠的性质可知：，
，
故答案为：．
（2）①由（1）得，
，
由折叠的性质可知：，
四边形为矩形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
，，
由平移的性质可得，，，，，
四边形、、为平行四边形，
，
，
，即，解得，
，，
作于点，
，，
，
，即，解得，
，
，
由折叠的性质可知，
，即为等腰三角形，
，，
四边形、不为平行四边形，
综上所述，图中除矩形外，还有3个平行四边形，分别是四边形、、为平行四边形；
②由①知，，
；
（3），，
，，，
，
，，
，
，，
，，，
由平移的性质和旋转的性质可得，
，，，
，
即，解得，，
，解得．课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1）
过程
七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 在，0，1，个实数中，大于1的实数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】在，0，1，个实数中，大于1的实数是，
故选D．
2. 国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
3. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
5. 北京时间2月25日晚，2024年世界乒乓球团体锦标赛在韩国釜山落下帷幕．中国男、女队双双登顶，分别夺取11连冠和6连冠．图①是乒乓球男团颁奖现场，图②是领奖台的示意图，则此领奖台主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】领奖台从正面看，是由三个长方形组成的．三个长方形，右边最低，中间最高，
故选：B．
6. 如图，是的直径，D，C是上的点，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
7. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图②是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由七巧板的特征可知，阴影部分的面积是七巧板面积的，
故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是．
故选：C．
8. 如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A. B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
9. 某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（）（如图1），当人站上踏板时，通过电压表显示的读数换算为人的质量m（kg），已知随着的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3．则下列说法不正确的是（ ）
A. 在一定范围内，越大，越小
B. 当时，的阻值为
C. 当踏板上人质量为时，
D. 若电压表量程为（），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】C
【解析】根据图2得，在一定范围内，越大，越小，当时，的阻值为，故选项A、B说法正确，
当时，的阻值为，根据与m之间的关系得，
解得，
即当时，踏板上人的质量为，故选项C说法错误；
当时，的阻值为，此时m有最大值，即，
解得，
即电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是，故选项D正确，
故选：C．
10. 如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A. 6B. 3C. D.
【答案】A
【解析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：x3﹣xy2=_____．
【答案】x（x+y）（x-y）
【解析】x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y），
故答案为：x(x+y)(x-y)．
12. 写出一个比大且比小的整数 _____．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】∵＜2＜3＜4＜，
∴比大且比小的整数有2，3，4.
故答案为：3（答案不唯一）．
13. 如图，在同一天测量某棵树在太阳光照射下的影长，A时测其影长为8米，B时测其影长为18米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________米．
【答案】12
【解析】如图，，，
则，
，
，
，
，
即，
（米）；
故答案为：12．
14. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，则 表示的方程是_______．
【答案】
【解析】 表示的方程是，
故答案为：．
15. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是__________．
【答案】
【解析】，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
16. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．由此规律可解决如下问题：展开式中第20项系数为_______．
【答案】210
【解析】由题意知，其规律为：
，
其有项，
则展开式中共有22项，且第20项系数为：；
故答案为：210．
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）计算；
（2）解不等式组：．
解：（1）
；
（2），
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为．
18. 骑行电动自行车时佩戴安全头盔非常重要．某商店销售甲、乙两种不同型号的头盔，已知甲种型号头盔的单价比乙种型号头盔贵10元，且用120元购买的甲种型号头盔的数量与用90元购买的乙种型号头盔数量相同．
（1）求甲、乙两种型号头盔的单价；
（2）某企业计划购进甲、乙两种头盔共300个，若购买的甲种型号的头盔的数量不少于乙种型号的，为使购买头盔的总费用最小，那么应购买甲、乙两种型号头盔各多少个？最少费用为多少元？
解：（1）设乙种型号头盔的单价是x元，则甲种头盔的单价是元，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
所以（元）；
答：甲、乙两种型号头盔的单价分别是40元、30元；
（2）设购买m个甲种头盔，则购买个乙种头盔，
由题意得：，
解得：；
设该企业购买甲乙两种头盔共花费w元，
则，
，，
随m的增大而增大，
当时，w取得最小值，
最小值为（元），此
时（个）．
答：当购买75个甲种头盔，225个乙种头盔时，总费用最少，最少费用为9750元．
19. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械，下面为某学习小组制定的项目式学习表．
解：如图：过A作底面的垂线，过O作，两垂线相交于C,
∵米，，
∴,
∵，
∴，
∴米，
∵是垂直于水平地面，，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴点A位于最高点时到地面的距离米．
20. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下：
学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义．
解：（1）根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人，
故中位数是，
根据扇形统计图可得：5分的有人，6分的有人，7分的有人，8分的有人，9分的有人，10分的有人，
故众数是8，
合格人数为：人，
故合格率为：，
故，，．
（2）八年级学生成绩合格人数为：人，
即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人．
（3）根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平．
21. 如图，直线与双曲线相交于点．
（1）求直线及双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式的解集；
（3）求的面积．
解：（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，∴，
把、代入，得：，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
22. 如图，内接于，是的直径，D是上的一点，平分，，垂足为点E，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）当的半径为5，时，求的长．
（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∵为的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接，得，
∴．
∵，∴，
∵，
∴，∴．
∵是的直径，
∴，∴，
∴，∴，
∴．
∴
23. 一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？
解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，解得，
∴抛物线的函数表达式为，
当时，，
∴球不能射进球门；
（2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为，
把点代入得，
解得（舍去），，
∴当时他应该带球向正后方移动1米射门．
24. 问题情境：
如图1，在矩形中，，，为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点落在边的点处．
猜想验证：
（1）填空：的长为__________．
（2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点重合，得到，与交于点，与交于点．
①连接，，图中除矩形外，还有几个平行四边形？请一一列举出来．
②求的长．
拓展研究：
（3）如图3，将沿点按逆时针方向旋转一定角度，分别交和于点和点．当时，分别求出的值和线段的长．
解：（1）四边形为矩形，，，
，，，
由折叠的性质可知：，
，
故答案为：．
（2）①由（1）得，
，
由折叠的性质可知：，
四边形为矩形，
，
设，则，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
，，
由平移的性质可得，，，，，
四边形、、为平行四边形，
，
，
，即，解得，
，，
作于点，
，，
，
，即，解得，
，
，
由折叠的性质可知，
，即为等腰三角形，
，，
四边形、不为平行四边形，
综上所述，图中除矩形外，还有3个平行四边形，分别是四边形、、为平行四边形；
②由①知，，
；
（3），，
，，，
，
，，
，
，，
，，，
由平移的性质和旋转的性质可得，
，，，
，
即，解得，，
，解得．课题
古代典籍数学文化探究
工具计
算器、纸、笔等
示意图
说明
图2是桔槔的示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
参考数据
计算
求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1）
过程
七年级
八年级
平均数
7.55
7.55
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b
85%
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