【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

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第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(共12题；共60分)
1. 设z＝5+i ， 则i（+z）＝（ ）
2. 集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（ ）
3. 若实数x ， y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（ ）
4. 记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10 ， a5＝1，则a1＝（ ）
5. 已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，4），F2（0，﹣4），点（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
6. 设函数f（x）＝ ， 则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
7. 函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
8. 已知 ， 则＝（ ）
9. 已知向量＝（x+1，x），＝（x ， 2），则（ ）
10. 已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m ． 下列四个命题：
①若m∥n ， 则n∥α或n∥β
②若m⊥n ， 则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（ ）
11. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对边分别为a ， b ， c ， 若 ， 则sinA+sinC＝（ ）
12. 已知a ， b ， c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A ， B两点，则|AB|的最小值为（ ）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．(共4题；共20分)
13. 二项式的展开式中，各项系数的最大值是____________________ ．
14. 已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1 ， 母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝____________________ ．
15. 已知a＞1， ， 则a＝____________________ ．
16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是____________________ ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．(共5题；共60分)
17. 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
（1） 填写如下列联表：
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2） 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 ， 则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附： ，
18. 已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且4Sn＝3an+4．
（1） 求{an}的通项公式；
（2） 设 ， 求数列{bn}的前n项和为Tn ．
19. 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，AB∥CD ， CD∥EF ， AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4， ， M为CD的中点．
（1） 证明：EM∥平面BCF；
（2） 求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．
20. 已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x ．
（1） 当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2） 当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
21. 已知椭圆的右焦点为F ， 点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1） 求椭圆C的方程；
（2） P（4，0），过P的直线与椭圆C交于A ， B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q ， 证明：AQ⊥y轴．
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](共2题；共10分)
22. 在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcsθ+1．
（1） 写出C的直角坐标方程；
（2） 直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．
23. [选修4-5：不等式选讲]
实数a ， b满足a+b≥3．
（1） 证明：2a2+2b2＞a+b；
（2） 证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6． A . 10i
B . 2i
C . 10
D . ﹣2
A . {1，4，9}
B . {3，4，9}
C . {1，2，3}
D . {2，3，5}
A . 5
B .
C . ﹣2
D .
A . ﹣2
B .
C . 1
D . 2
A . 4
B . 3
C . 2
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . “⊥”的必要条件是“x＝﹣3”
B . “∥”的必要条件是“x＝﹣3”
C . “⊥”的充分条件是“x＝0”
D . “∥”的充分条件是“x＝﹣1+”
A . ①③
B . ②③
C . ①②③
D . ①③④
A .
B .
C .
D .
A . 2
B . 3
C . 4
D . 6
优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
优级品
非优级品
甲车间
乙车间
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828