常考点02 方程(组)与不等式(组)-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册（解析版）

这是一份常考点02 方程(组)与不等式(组)-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册（解析版），共9页。学案主要包含了一元二次方程的解法，分式方程的解法，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，利用一元二次方程解应用题，用分式方程解应用题，一元一次不等式的应用等内容，欢迎下载使用。


一、一元二次方程的解法
一元二次方程的解法不是唯一的，常用的方法是配方法和公式法，对于结构比较特殊的一元二次方程也可采用因式分解法．
【例】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）解方程：．
【答案】，
【分析】
先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，．
二、分式方程的解法
去分母时，要准确找出分式方程中各分式的最简公分母，求 出整式方程的根后，要注意验根．
【例】（2021·江苏泰州市·中考真题）解方程：+1＝．
【答案】x=-1
【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．
【详解】
解：等式两边同时乘以（x-2）得2x+x-2=-5，
移项合并同类项得3x=-3，
系数化为1得x=-1
检验：当x=-1时，x-2，
∴x=-1是原分式方程的解．
三、二元一次方程组的解法
二元一次方程组的常用解法有“代入法”和“加减法”．
（1）“代入法”的一般步骤：
第一步：从方程组中找出或者由已知方程转化为“ ” 或“”的形式；
第二步：将方程“”或“”代入另一个方程，消 去一个未知数；
第三步：解所得一元一次方程，求出一个未知数的值；
第四步：将所得未知数的值代入“”或“”，求 出另一个未知数的值；
第五步：作出结论．
（2）“加减法”的一般步骤：
第一步：变形———使两个方程中某一未知数的系数的绝对值相等；
第二步：消元———将两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数；
第三步：解所得一元一次方程，求出一个未知数的值；
第四步：将所得未知数的值代入原方程组中的某一方程，求出另一个未知数的值；
第五步：作出结论．
四、一元一次不等式（组）的解法
（1）解一元一次不等式的步骤一般为去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化为１．特别要注意的是不等号的方向．
（2）解一元一次不等式组的步骤：第一步，分别求出各不等式的解集；第二步，利用数轴求出它们的公共部分，即不等式组的解集
（3）已知不等式（组）的解集，求不等式（组）中待定字母的取值 范围问题，首先把不等式（组）的解集用含有字母的形式表示出来，然后把它与已知解集联系起来求解．这类问题有时要运用方程知识，有时要运用不等式知识，在求解过程中可以利用数轴进行分析．
【例】（2021·江苏常州市·中考真题）解方程组和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）-2＜x＜1
【分析】
（1）利用加减消元法，即可求解；
（2）分别求出各个不等式的解，再取公共部分，即可求解．
【详解】
解：（1），
①+②，得3x=3，解得：x=1，
把x=1代入①得：y=-1，
∴方程组的解为：；
（2），
由①得：x＞-2，
由②得：x＜1，
∴不等式组的解为：-2＜x＜1
【例】（2021·内蒙古通辽市·中考真题）若关于x的不等式组，有且只有2个整数解，则a的取值范围是__________．
【答案】-1【分析】
分别求出两个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解列不等式即可得答案．
【详解】
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式的解集为1≤x＜，
∵不等式组只有2个整数解，
∴不等式组的整数解为1、2，
∴2＜≤3，
解得：-1＜a≤1，
故答案为：-1＜a≤1
五、一元二次方程根的判别式与根的情况
要判断一元二次方程是否有根，即判断与0的大小． 当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＝0时， 方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．
【例】（2021·湖南怀化市·中考真题）对于一元二次方程，则它根的情况为（ ）
A．没有实数根B．两根之和是3
C．两根之积是D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【分析】
先找出，再利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：
∵
∴
∴这个一元二次方程没有实数根，故A正确、D错误．
∵，故C错误．
，故B错误．
故选：A．
六、利用一元二次方程解应用题
利用一元二次方程解有关“销售定价”应用题的步骤： 第一步：根据题意，设出相关未知数； 第二步：用含有未知数的代数式准确表示出销售一件商品的利润以及相应的销售量； 第三步：列出一元二次方程； 第四步：解方程，求出方程的解； 第五步：检验，作答．
【例】（2021·辽宁本溪市·中考真题）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y=-2x+220；（2）当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元；（3）当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
【分析】
（1）根据题意中销售量y（个）与售价x（元）之间的关系即可得到结论；
（2）根据题意列出方程（-2x+220）（x-40）=2400，解方程即可求解；
（3）设每星期利润为w元，构建二次函数模型，利用二次函数性质即可解决问题．
【详解】
（1）由题意可得，y=100-2（x-60）=-2x+220；
（2）由题意可得，
（-2x+220）（x-40）=2400，
解得，，，
∴当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
答：当销售单价是70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2400元．
（3）设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=（-2x+220）（x-40）=，
当时，w有最大值，最大值为2450，
∴当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2450元．
七、用分式方程解应用题
用分式方程解决实际问题时，要认真审题，恰当设未知数， 准确找出题中的等量关系．在解题过程中，要注意检验，所求根既 要满足方程，又要满足题意．
【例】（2021·内蒙古中考真题）小刚家到学校的距离是1800米．某天早上，小刚到学校后发现作业本忘在家中，此时离上课还有20分钟，于是他立即按原路跑步回家，拿到作业本后骑自行车按原路返回学校．已知小刚骑自行车时间比跑步时间少用了4.5分钟，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍．
（1）求小刚跑步的平均速度；
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了3分钟，他能否在上课前赶回学校？请说明理由．
【答案】（1）小刚跑步的平均速度为150米/分；（2）小刚不能在上课前赶回学校，见解析
【分析】
（1）根据题意，列出分式方程即可求得小刚的跑步平均速度；
（2）先求出小刚跑步和骑自行车的时间，加上取作业本和取自行车的时间，与上课时间20分钟作比较即可．
【详解】
解：（1）设小刚跑步的平均速度为x米/分，则小刚骑自行车的平均速度为1.6x米/分，
根据题意，得，
解这个方程，得，
经检验，是所列方程的根，
所以小刚跑步的平均速度为150米/分．
（2）由（1）得小刚跑步的平均速度为150米/分，
则小刚跑步所用时间为（分），
骑自行车所用时间为（分），
在家取作业本和取自行车共用了3分，
所以小刚从开始跑步回家到赶回学校需要（分）．
因为，
所以小刚不能在上课前赶回学校．
八、列二元一次方程组解应用题一般步骤：
第一步：审，明确文字中表述的两个等量关系和两个未 知数；
第二步：设，用字母表示未知数；
第三步：列，用含未知数的代数式表示等量关系各部分的数量，并将等量关系转化成方程；
第四步：解，解所列方程组，求出方程组的解；
第五步：验，检验方程组的解是否符合题意；
第六步：答，规范写出答语．
九、一元一次不等式（组）的应用
用转化思想将实际问题中的不等关系抽象出来，用不等式 （组）的知识解答应用题和方案设计型试题．
【例】（2021·黑龙江中考真题）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．
（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少?
【答案】（1）购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；（2）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；（3）购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．
【分析】
（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，然后根据题意可得，进而求解即可；
（2）由（1）及题意可得购进乙种农机具为（10-m）件，则可列不等式组为，然后求解即可；
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，然后结合一次函数的性质及（2）可直接进行求解．
【详解】
解：（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，由题意得：
，
解得：，
答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元．
（2）由题意得：购进乙种农机具为（10-m）件，
∴，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的值为5、6、7，
∴共有三种购买方案：
购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；购进甲种农机具7件，乙种农机具3件；．
（3）设购买农机具所需资金为w万元，则由（2）可得，
∵1＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=5时，w的值最小，最小值为w=5+5=10，
答：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件所需资金最少，最少资金为10万元．