考点05 图形的变化-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册

这是一份考点05 图形的变化-【口袋书】2022年中考数学必背知识手册，共13页。

知识归纳
知识点1：相似三角形
比例的基本性质
（1）两条线段的长度之比叫做两条线段的比.
（2）在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
（3）若a∶b=b∶c或,则b叫做a,c的比例中项.
（4）比例的基本性质:⇔ad=bc.
（5）合比性质:.
（6）等比性质:
=…=(b+d+…+n≠0)⇒.
（7）黄金分割:如图,点C为线段AB上一点,AC>BC，若AC2=AB·BC，则点C为线段AB的黄金分割点，AC=AB≈0.618AB，BC=AB，一条线段有2个黄金分割点.
（8）平行线分线段成比例定理:
①平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.
②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
相似三角形
（1）定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.
（2）似三角形的判定定理
①相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似;
②相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似;
③相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似;
④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为Rt△ABC斜边上的高(如图),则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD,且AC2=AD·AB,CD2=AD·BD,BC2=BD·AB.kj
（3）性质:
①相似三角形的对应角相等;
②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例;
③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
相似多边形
（1）定义:各角对应相等,各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相似比.
（2）性质:
①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.
②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
图形的位似
（1）位似图形定义:如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.
（2）位似图形的性质:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等于相似比,面积比等于位似比的平方.
知识点二：视图
三视图:主视图、左视图、俯视图
（1）主视图:从正面看到的图形,称为主视图;
（2）左视图:从左面看到的图形,称为左视图;
（3）俯视图:从上面看到的图形,称为俯视图.
三视图的关系
主视图反映物体的长和高;左视图反映物体的宽和高;俯视图反映物体的长和宽,因此三视图有如下对应关系:
（1）长对正:主视图与俯视图的长度相等,且相互对正;
（2）高平齐:主视图与左视图的高度相等,且相互平齐;
（3）宽相等:俯视图与左视图的宽度相等,且相互平行.
“长对正,高平齐,宽相等”,这“九字令”是阅读和绘制三视图必须遵循的对应关系.
常见几何体的三视图
正方体的三视图都是正方形;
圆柱的三视图有两个是长方形,另一个是圆;
圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆;
球的三视图都是圆.
知识点三：投影
中心投影
（1）由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.
（2）中心投影的投影线交于一点.
（3）投影面确定时,物体离点光源越近,影子越大;物体离点光源越远,影子越小.
2. 平行投影
（1）太阳光线可以看成平行光线,由平行光线形成的投影叫做平行投影.
（2）平行投影的投影线相互平行.
（3）不同时刻,物体在太阳光下的影子的大小和方向都改变.
（4）垂直于投影面产生的投影叫做正投影.
知识点四：对称图形
轴对称、轴对称图形
（1）轴对称:把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能与另一个图形重合,那么称这两个图形成轴对称.两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点.
（2）轴对称图形:如果一个图形沿某条直线对折,对折的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线称为对称轴.对称轴一定为直线.
（3）轴对称图形变换的特征:不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置.新旧图形具有对称性.
2. 中心对称、中心对称图形
（1）中心对称:把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能与另一个图形重合,那么这两个图形成中心对称,该点叫做对称中心.
（2）中心对称图形:一个图形绕着某一点旋转180°后能与自身重合,这个图形叫做中心对称图形,该点叫做对称中心.
知识点五：平移与旋转
1. 图形的平移
（1）定义：在平面内,将某个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
（2）特征：①平移后,对应线段相等且平行,对应点所连的线段平行且相等.
② 平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行,方向相同.
③ 平移不改变图形的形状和大小,只改变图形的位置,平移后新旧两图形全等.
图形的旋转
（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个角度,这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角.
（2）特征：图形旋转过程中,图形上每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同角度；注意每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角,旋转角都相等；对应点到旋转中心的距离相等.
答题指导
1．理解中心对称定义的三个要素：① 有一个对称中心；② 图形绕中心旋转180°；③ 旋转后两图形重合
2．轴对称图形和中心对称图形的区别：
（1）轴对称图形一定要沿着某直线折叠后直线两旁的部分互相重合。关键抓两点，一是沿着某直线折叠；二是直线两旁的部分互相重合。
（2）心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合。关键也是抓两点:一是绕某一点旋转180°；二是与原图形重合。
3．作轴对称图形的三步骤：
（1）确定原图形的关键点
（2）分作出关键点关于对称轴的对称点
（3）顺次连接各对应点。
4．用坐标表示平移的方法:
（1）左右平移原则：从坐标不变，横坐标“左:减右加”
（2）上下平移原则：横标不变纵坐标“上加下减”
5．用坐标表示对称变换的方法:
（1）点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)
（2）点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)
（3）点(x，y)关于坐标原点的对称的点的坐标为(-x，-y)
6．相似三角形常见的六种基本图形
7．解决折叠问题的一般思路
分清折叠前后的对应边，对应角，对称轴，利用对称轴是对应点所连线段的垂直平分线寻找相等的线段或角，进行相关的计算或证明。
易错归类
易错点1：相似三角形的性质，三角形相似的判定.
如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，其内部放置边长分别为3,4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
错解：A
正解：C
分析：本题图形中，相似三角形比较多，由于不能准确找出哪两个相似三角形来求解，从而造成错解.
本题应找出能够用3,4，x或含x的式子表示出三边的两个相似三角形，然后利用相似三角形的性质来求解，如图，∵∠C＝90°，∴∠CFG＋∠CGF＝90°，又∵∠EFG＝90°，∴∠DFE＋∠CFG＝90°，∴∠DFE＝∠CGF，又∵FG∥HM，∴∠CGF＝∠GMH，∴∠DFE＝∠GMH，又∵∠DEG＝∠GHM＝90°，∴△DFE∽△GMH，∴,∵DE＝3，GH＝x－4，FE＝x－3，MH＝4，∴，化简得x2－7x＝0，∴x1＝0，x2＝7，∵x＞0，∴x＝7.
易错点2：相似三角形面积之比等于相似比的平方.
如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝_______.
错解：
正解：
分析：本题可能以为相似三角形的面积之比等于相似比而造成错解，相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
正确的解法应是：∵S△ADE＝S四边形DBCE，∴设S△ADE＝x，则S四边形DBCE＝x，∴S△ABC＝x＋x＝2x，∴，又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴.
易错点3：相似与全等的综合运用；相似与锐角三角函数的综合运用.
3. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为AB上一点，AE＝1，M为射线AD上一动点，AM＝a(a为大于0的常数)，直线EM与直线CD交于点F，过点M作MG⊥EM，交直线BC于点G.
（1）若M为边AD的中点，求证：△EFG是等腰三角形；
（2）若点G与点C重合，求线段MG的长；
（3）请用含a的代数式表示△EFG的面积S，并指出S的最小整数值.
错解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠MDF＝90°，∵M为边AD的中点，∴MA＝MD，在△MAE和△MDF中，∵,∴△MAE≌△MDF（AAS），∴EM＝FM，又∵MG⊥EM，∴EG＝FG，∴△EFG是等腰三角形；
（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM2＝1＋a2，在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20. 在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2＋EM2，∴CM2＝20＋(1＋a2)＝20＋1＋a2＝21＋a2，∴CM＝.∵点G与点C重合，∴GM＝.
（3）如图3，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，∴MD＝AD－AM＝4－a，在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，∴EM＝.∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，∴△MAE∽△MDF，∴,∴,∴FM＝，∴EF＝EM+FM＝+＝.由（2）得，MG＝，∴△EFG的面积S＝×EF×MG＝××＝，∴当a＝2时，S最小，为S＝＝.

正解：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠MDF＝90°，
∵M为边AD的中点，
∴MA＝MD，
在△MAE和△MDF中，∵,
∴△MAE≌△MDF（ASA），
∴EM＝FM，
又∵MG⊥EM，
∴EG＝FG，
∴△EFG是等腰三角形；
（2）解：如图2，∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，
∴BE＝AB－AE＝3－1＝2，BC＝AD＝4，
在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，
∴EM2＝1＋a2，
在Rt△EBC中，∵EC2＝BE2＋BC2，
∴EC2＝22＋42＝4＋16＝20.
在Rt△EMC中，∵EM2＝EC2－EM2，
∴CM2＝20－(1＋a2)＝20－1－a2＝19－a2，
∴CM＝.
∵点G与点C重合，
∴GM＝.
（3）如图4，过点M作MN⊥BC于点N，
∵AB＝3，AD＝4，AE＝1，AM＝a，
∴MD＝AD－AM＝4－a，
在Rt△EAM中，∵EM2＝AE2＋AM2，
∴EM＝.
∵∠A＝∠MDF＝90°，∠AME＝∠DMF，
∴△MAE∽△MDF，
∴,
∴,
∴FM＝，
∴EF＝EM+FM＝+＝.
∵AD∥BC，
∴∠MGN＝∠DMG，
∵∠AME＋∠AEM＝90°，∠AME＋∠DMG＝90°，
∴∠AEM＝∠DMG，
∴∠MGN＝∠AEM，
∵∠MNG＝∠MAE＝90°，
∴△MNG∽△MAE，
∴,
∴,
∴MG＝，
∴△EFG的面积S＝×EF×MG＝××＝，
∵a2越大，S就越小，且S为最小整数值，
∴当a2＝6，即a＝时，S有最小整数值，为S＝1＋6＝7.
分析：第一小题错在对全等的两种判定方法ASA和AAS没有分清楚，第二小题错在第三次运用勾股定理时出现了错误，第三小题错在把第二小题的结论拿到这里来用，因为条件变了，不能拿来用，应另求高MG的值.本题综合了全等三角形，等腰三角形，直角三角形和相似三角形的有关内容，且涉及函数的最值问题，是一道非常好的三角形综合题，需要同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力.
易错点4：四边形中的翻折、平移、旋转、剪拼等操作型问题.
4. 已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA.
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP.动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.
错解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝6，∴AB＝AP＝2OP＝2×6＝12.
（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝45°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－45°＝45°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝22.5°.
（3）当点M、N在移动过程中，线段EF的长度发生变化，因为当点M、N在移动时，点E、F也随之移动，所以线段EF的长度发生变化.
正解：（1）①如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.由折叠可得△ABO≌△APO，∴AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B，∴∠APO＝90°，∴∠APD＝180°－∠APO－∠CPO＝180°－90°－∠CPO＝90°－∠CPO，又∵在Rt△PCO中，∠POC＝90°－∠CPO，∴∠APD＝∠POC，又∵∠D＝∠C，∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积之比为1︰4，且△OCP∽△PDA，∴.∴PD＝2OC，DA＝2CP,∵AD＝8，∴CP＝4，BC＝8.设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.在Rt△PCO中，∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，∴由勾股定理得x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5，∴AB＝AP＝2OP＝2×5＝10.
（2）如图3，∵P是CD边的中点，∴DP＝DC.∵DC＝AB，AB＝AP，∴DP＝AP.∵∠D＝90°，∴在Rt△DAP中，sin∠DAP＝，∴∠DAP＝30°，∵∠DAB＝90°，∴∠PAB＝90°－30°＝60°，又∵∠PAO＝∠BAO，∴∠OAB＝30°.
（3）如图4，过点M作MQ∥AN，交PB于点Q.∵AP＝AB，MQ∥AN，∴ ∠APB＝∠ABP，∠ABP＝∠MQP，∴∠APB＝∠MQP，∴MP＝MQ，又∵ME⊥PQ，∴PE＝EQ＝PQ.∵BN＝PM，MP＝MQ，∴BN＝MQ.又由MQ∥AN得∠QMF＝∠BNF.在△MFQ和△NFB中，∵，∴△MFQ≌△NFB(AAS)，∴QF＝BF，∴QF＝QB.∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.由（1）可得，PC＝4，BC＝8，∠C＝90°，∴在Rt△PBC中，由勾股定理得，PB＝，∴EF＝PB＝×＝2.∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2.
分析：本题（1）①中证明过程不完整，因为对条件∠APD＝∠POC没有写出证明过程，②中在最后解方程时出现了错误；（2）中特殊角的三角函数值弄错了，正弦值为的锐角应是30°，而不是45°；（3）中错在仅由点E、F在移动就得出线段EF的长度发生变化，虽然点E、F在移动，但线段EF的长度仍有可能不变，应通过计算来说明线段EF的长度是否发生变化，通过作辅助线构造全等是解决本小题的关键.
易错点5：平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，过对称中心的任意一条直线把它的面积平分；对角线将平行四边形面积四等分.
如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
（1）试猜想AE与BF有何关系，并说明理由；
（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ABC为多少度时，四边形ABFE是矩形？请说明理由.
错解：（1）AE＝BF.理由如下：由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴∠ACE＝∠FCB，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴AE＝BF.
（2）∵S△ABC＝4，S四边形ABFE＝2 S△ABC，∴S四边形ABFE＝4×2＝8（cm2）.
（3）当∠ABC＝45°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵∠ABC＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝90°，∴四边形ABFE是矩形.
正解：（1）AE＝BF ，AE∥BF. 理由如下：∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC，∴由旋转可得AC＝FC，BC＝EC，且AC与FC，BC与EC分别在一条直线上，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE＝BF ，AE∥BF.
（2）由旋转可得△ABC≌△FEC，∴S△ABC＝S△FEC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴S△ABC＝S△ACE ＝S△FEC＝S△BFC，S□ABFE＝4 S△ABC＝4×4＝16（cm2）.
（3）当∠ABC＝60°时，四边形ABFE是矩形.理由如下：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，又∵AC＝FC，BC＝EC，∴AF＝BE，又∵四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是矩形.
分析：第（1）小题错在只得出了数量关系，没有判断位置关系；第（2）小题可能是根据一条对角线把平行四边形的面积平分而造成错解，这里△ABC的面积不是四边形ABFE面积的一半，且没有证明四边形ABFE是平行四边形；第（3）小题错在由条件只能得到∠BAC＝90°，而不是∠BAE＝90°，且没有证明四边形ABFE是平行四边形.