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2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版附解析
展开这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练40直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版附解析，共5页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.直线3x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( )
A.30°B.60°
C.150°D.120°
2.若图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则( )
A.k1
A.x-2y+4=0B.x+2y-4=0
C.x-2y-4=0D.x+2y+4=0
4.已知直线l1过点A(-2,m)和B(m,4),直线l2的方程为2x+y-1=0,直线l3的方程为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为( )
A.-10B.-2C.0D.8
5.已知两点M(2,-3),N(-3,-2),直线l过点P(1,1),且与线段MN相交,则直线l的斜率k的取值范围是( )
A.[34,4]B.[-4,34]
C.(-∞,-4]∪[34,+∞)D.[-34,4]
6.过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .
7.若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,则m= .若直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,则m= .
8.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A,B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程为 .
9.过点P(3,0)作一条直线,使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分,求此直线的方程.
10.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知平行四边形ABCD的顶点B(5,3)和D(3,-1),AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC.
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求BC所在直线的方程.
二、综合应用
11.已知集合A={(x,y)|x+ay-a=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y-1=0}.若A∩B=⌀,则实数a的值为( )
A.3B.-1
C.3或-1D.-3或1
12.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=2-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为( )
A.150°B.135°
C.120°D.不存在
13.设光线l从点A(-4,3)射出,经过x轴反射后经过点B0,33,则光线l与x轴交点的横坐标为 ,若该入射光线l经x轴发生折射,折射角为入射角的一半,则折射光线所在直线的纵截距为 .
14.已知函数y=ex的图象在点(ak,eak)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N*,a1=0,则a1+a3+a5= .
15.已知动直线l0:ax+by+c-3=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),且Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,求12a+2c的最小值.
16.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;
(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程.
三、探究创新
17.已知函数f(x)=asin x-bcs x(a≠0,b≠0),若f(π3-x)=f(π3+x),则直线ax-by+c=0的倾斜角为( )
A.π4B.π3C.2π3D.3π4
18.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(1,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.4x+2y+3=0B.2x-4y+3=0
C.x-2y+3=0D.2x-y+3=0
考点规范练40 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1.B 设直线的倾斜角为α,斜率为k,化直线方程为y=3x+a,则k=tan α=3.故α=60°.
2.D 直线l1的倾斜角是钝角,则k1<0;直线l2与l3的倾斜角都是锐角,斜率都是正数.又直线l2的倾斜角大于l3的倾斜角,所以k2>k3>0,所以k1
4.A 因为l1∥l2,
所以kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8.
因为l2⊥l3,
所以-1n×(-2)=-1,
解得n=-2,
所以m+n=-10.
5.C 如图所示,∵kPN=1-(-2)1-(-3)=34,kPM=1-(-3)1-2=-4,
∴要使直线l与线段MN相交,当l的倾斜角小于90°时,k≥kPN;
当l的倾斜角大于90°时,k≤kPM,∴k≥34或k≤-4.
6.3x-2y=0或x-y+1=0 当直线过原点时,方程为y=32x,即3x-2y=0.
当直线l不过原点时,设直线方程为xa−ya=1.
将点P(2,3)的坐标代入方程,得a=-1,所以直线l的方程为x-y+1=0.
综上,所求直线l的方程为3x-2y=0或x-y+1=0.
7.-1 3 ∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0平行,
∴m+31=2m-1≠-8-1,解得m=-1.
∵直线x-y-1=0与直线(m+3)x+2my-8=0垂直,
∴1×(m+3)+(-1)×2m=0,解得m=3.
8.x+y-3=0 验证知点M(1,2)在圆C内,当∠ACB最小时,直线l与CM垂直,∵kCM=4-23-1=1,∴kl=-1,
∴直线l的方程为y-2=-(x-1),整理得x+y-3=0.
9.解 设点A(xA,yA)在直线l1上,点B(xB,yB)在直线l2上.
由题意知xA+xB2=3,yA+yB2=0,则点B的坐标为(6-xA,-yA),将点A,B的坐标分别代入各自所在直线的方程,
得2xA-yA-2=0,(6-xA)+(-yA)+3=0,解得xA=113,yA=163,
则所求直线的斜率k=163-0113-3=8,
故所求的直线方程为y=8(x-3),即8x-y-24=0.
10.解 (1)∵点B(5,3),D(3,-1),
∴线段BD的中点M的坐标为(4,1).
∵AB所在直线的方程为x-y-2=0,AB⊥AC,
∴kAC=-1.
∴对角线AC所在直线的方程为y-1=-(x-4),即x+y-5=0.
(2)由x+y-5=0,x-y-2=0,解得A(72,32),
∴kAD=-1-323-72=5.∵BC∥AD,∴kBC=5.
∴BC所在直线的方程为y-3=5(x-5),即5x-y-22=0.
11.A 因为A∩B=⌀,所以直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0没有交点,
即直线x+ay-a=0与直线ax+(2a+3)y-1=0平行,
所以1·(2a+3)-a·a=0,解得a=-1或a=3.
当a=-1时,两直线为:x-y+1=0,-x+y-1=0,此时两直线重合,不满足题意.
当a=3时,两直线为:x+3y-3=0,3x+9y-1=0,此时两直线平行,满足题意.
所以a的值为3.
12.A 由y=2-x2,得x2+y2=2(y≥0),它表示以原点O为圆心,2为半径的圆的一部分,如图所示.
显然直线l的斜率存在,设过点P(2,0)的直线l的方程为y=k(x-2),则圆心到直线l的距离d=|-2k|1+k2,弦长|AB|=22-|-2k|1+k22=22-2k21+k2,所以S△AOB=12×|-2k|1+k2×22-2k21+k2≤(2k)2+2-2k22(1+k2)=1,当且仅当(2k)2=2-2k2,即k2=13时等号成立.由图可知k<0,所以k=-33,故直线l的倾斜角为150°.
13.-1 -3 由点B(0,33)关于x轴的对称点为B'(0,-33),可得直线AB'的斜率为3+33-4=-33,
方程为y=-33x-33,令y=0,可得x=-1,
即光线l与x轴交点的横坐标为-1.
由直线AB'可得入射角为90°-30°=60°,则折射角为30°,折射光线的斜率为k=tan(30°+90°)=-3,折射光线的方程为y=-3(x+1),令x=0,可得y=-3,故折射光线所在直线的纵截距为-3.
14.-6 ∵y=ex,∴y'=ex,
∴y=ex在点(ak,eak)处的切线方程为y-eak=eak(x-ak),整理,得eakx-y-akeak+eak=0.
∵切线与x轴交点的横坐标为ak+1,∴ak+1=ak-1,
∴{an}是首项为a1=0,公差d=-1的等差数列,
∴a1+a3+a5=0-2-4=-6.
15.解 将点P(1,m)的坐标代入动直线l0的方程,得a+bm+c-3=0.
又点Q(4,0)到动直线l0的距离的最大值为3,则有|PQ|=3.∴(4-1)2+m2=3,解得m=0.∴a+c=3.
又a>0,c>0,∴12a+2c=13(a+c)(12a+2c)
=13(52+c2a+2ac)≥13(52+2c2a·2ac)=32,
当且仅当a=1,c=2时取等号.
所以12a+2c的最小值为32.
16.(1)证明 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1,故直线l过定点(-2,1).
(2)解 直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则k≥0,1+2k≥0,解得k≥0,故k的取值范围是[0,+∞).
(3)解 直线l在x轴上的截距为-1+2kk,在y轴上的截距为1+2k,且k>0,所以点A(-1+2kk,0),B(0,1+2k),
故S=12|OA||OB|=12×1+2kk×(1+2k)=12(4k+1k+4)≥12×(4+4)=4,
当且仅当4k=1k,即k=12时取等号,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0.
17.C 由f(π3-x)=f(π3+x)知函数f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以f(0)=f2π3,得a=-3b,则直线ax-by+c=0的斜率为k=ab=-3,所以直线的倾斜角为2π3.故选C.
18.B 因为|AC|=|BC|,所以△ABC的欧拉线为AB的垂直平分线.
又A(1,0),B(0,2),故AB的中点为(12,1),kAB=-2,故AB的垂直平分线方程为y-1=12(x-12),即2x-4y+3=0.
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