2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性Word版附解析

这是一份2025届人教新高考高三数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性Word版附解析，共4页。试卷主要包含了基础巩固，综合应用，探究创新等内容，欢迎下载使用。
1.设函数f(x)为偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg2x,则f(-2)=( )
A.-12B.12
C.2D.-2
答案:B
解析:由已知得f(-2)=f(2)=lg22=12.故选B.
2.函数f(x)=9x+13x的图象( )
A.关于原点对称B.关于x轴对称
C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称
答案:C
解析:由于函数f(x)=9x+13x=3x+3-x的定义域为R,且满足f(-x)=3x+3-x=f(x),故该函数为偶函数,图象关于y轴对称,故选C.
3.(2023新高考Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1为偶函数,则a=( )
A.-1B.0C.12D.1
答案:B
解析:(方法一)∵函数f(x)为偶函数,
∴f(-x)=f(x).
令x=1,则f(-1)=f(1),
∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln13,
∴-1+a=-1-a,∴a=0.
此时f(x)=xln2x-12x+1,
易知函数f(x)的定义域为-∞,-12∪12,+∞,f(-x)=-xln-2x-1-2x+1=-xln2x+12x-1=xln2x-12x+1=f(x),∴a=0符合题意.
(方法二)设g(x)=ln2x-12x+1,函数g(x)的定义域是-∞,-12∪12,+∞.
g(-x)=ln-2x-1-2x+1=ln2x+12x-1=-ln2x-12x+1=-g(x),∴函数g(x)是奇函数.
而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x),故x-a=x+a,则a=0.故选B.
4.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=( )
A.-3B.-54
C.54D.3
答案:A
解析:因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.
5.(多选)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是( )
A.f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)
B.f(1 017)+f(1 019)=f(1 018)
C.2f(1 017)+f(1 018)=f(1 019)
D.f(1 017)=f(1 018)+f(1 019)
答案:ABC
解析:由f(x-3)=-f(x),知f(x)=f(x+6),即函数f(x)的周期为6.
又当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,所以f(1 017)=f(169×6+3)=f(3)=0,f(1 018)=f(170×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,f(1 019)=f(170×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.
故选项A,B,C正确.
6.若f(x)是偶函数,且对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有f(x2)-f(x1)x2-x1f-23>f34
B.f12>f-34>f23
C.f34>f-12>f23
D.f-34>f23>f12
答案:A
解析:∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有f(x2)-f(x1)x2-x1f-23>f34.
7.(多选)已知函数f(x)=1,x是有理数,0,x是无理数,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的值域为[0,1]
B.f(x)的定义域为R
C.f(x+1)=f(x)
D.f(x)是奇函数
答案:BC
解析:f(x)的值域为{0,1},故A错误;
f(x)定义域为R,故B正确;
当x是有理数时,x+1也是有理数,当x是无理数时,x+1也是无理数,故f(x+1)=f(x)成立,故C正确;
因为f(0)=1,所以f(x)不是奇函数,故D错误.
8.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=f(1),且f(0)=1,则f(1 020)的值为( )
A.1B.2
C.-1D.-2
答案:A
解析:在f(x+2)+f(x)=f(1)中,令x=-1,得f(1)+f(-1)=f(1),即f(-1)=0,又f(x)为偶函数,所以f(1)=f(-1)=0,从而f(x+2)+f(x)=0,所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是以4为周期的周期函数,
所以f(1 020)=f(4×255)=f(0)=1.
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,那么不等式f(x)>x的解集为 .
答案:{x|x>5,或-50,得x∈(1,3).
故x∈(-1,0)∪(1,3).
13.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f92=( )
A.-94B.-32
C.74D.52
答案:D
解析:∵f(x+1)是奇函数,
∴f(-x+1)=-f(x+1).
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(-x).
∴f(2-x)=f(1-x+1)=-f(x).
∵f(x+2)是偶函数,
∴f(x+2)=f(2-x),
∴-f(-x)=-f(x),
即f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数.
∵f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x),
∴函数f(x)的周期为4,
∴f(3)=f(1)=0.
∵f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),
∴f(0)=-f(2).
∵当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,
∴由f(1)=0得a+b=0.
∵f(0)+f(3)=6,∴f(0)=6,∴f(2)=-6,
即4a+b=-6,∴a=-2,b=2,
∴f92=f12=-f32=-[-2×322+2]=52.
14.(多选)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
答案:ABC
解析:对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),又f(x)的定义域为R,所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性.
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切的x都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)因为f(x)=ex-1ex,且y=ex单调递增,y=-1ex单调递增,所以f(x)单调递增.因为f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)由(1)知f(x)是增函数且为奇函数,故f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立,即f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立,即x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立,所以t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立,即存在实数t使得t+122≤x+12min2恒成立.故存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.
三、探究创新
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若12