高二数学人教A版(2019)暑假作业 （5）三角函数与解三角函数（A卷）

这是一份高二数学人教A版(2019)暑假作业 （5）三角函数与解三角函数（A卷），共13页。试卷主要包含了已知，且，则，已知函数，若，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
1.若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
2.已知，且，则( )
A.B.C.D.
3.( )
A.B.C.D.
4.已知角的终边落在直线上，则的值为( )
A.B.C.D.
5.已知函数，若，则( )
A.5B.3C.1D.0
6.若函数的最小正周期为，则的图象的一条对称轴方程为( )
A.B.C.D.
7.记的内角AB，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A.B.C.D.
8.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是( )
A.海里B.海里C.海里D.海里
9.（多选）已知函数，则( )
A.函数为偶函数
B.曲线的对称轴方程为，
C.在区间上单调递
D.的最小值为
10.（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点( )
A.先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C.先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D.先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
11.（多选）已知函数，则( )
A.函数是偶函数
B.是函数的一个零点
C.函数在区间上单调递增
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
12.（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中正确的是( )
A.B.
C. D.
13.如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
14.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，为锐角，的外接圆半径为，且满足，则边a等于______.
15.已知函数（，，）的部分图像如图所示，将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到的图像.若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为___________.
16.已知定义域为R的函数同时满足以下三个条件：
①函数的图象不过原点；
②对任意，都有；
③对任意，都有.
请写出一个符合上述条件的函数表达式为__________（答案不唯一，写出一个即可）.
17.已知函数有两个零点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设，是的两个零点，证明：.
18.已知函数
（1）当时，求的最小正周期及单调区间；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
19.已知函数.
（1）求函数的最小正周期和对称轴方程；
（2）若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围.
20.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求外接圆的周长；
（2）若，求的周长.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则，得.由，得.因为，所以圆锥的体积为.故选：C.
2.答案：D
解析：因为，所以，
所以，
又，所以，所以，所以，
即，又，所以.故选：D.
3.答案：A
解析：
.故选：A.
4.答案：D
解析：设为角终边上一点，则，， ，
，故选：D.
5.答案：A
解析：依题意，令，则是奇函数，，
于是得，
所以.故选：A.
6.答案：D
解析：依题意，，由，
得，，所以的图象的一条对称轴为，
D选项正确，ABC选项错误.故选：D.
7.答案：B
解析：由正弦定理知：得.故选：B.
8.答案：C
解析：如图，作出，由题意可知，
海里，，，则，因为，所以海里，即B，C两点间的距离是海里.
故选：C.
9.答案：AC
解析：函数，则是偶函数，A正确；
由，，得，，即曲线的对称轴方程为，，B错误；
当时，，而余弦函数在上递增，则在上单调递增，C正确；
函数的最小值为，D错误.故选：AC.
10.答案：AC
解析：正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，故A正确，B错误；
先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，故C正确，D错误.故选：AC
11.答案：BCD
解析：函数，所以不是偶函数，故选项A错误；
因为，所以是函数的一个零点，故选B正确；
因为，则，因为是的一个单调递增区间，所以函数在区间上单调递增，故选项C正确；
的图象向左平移个单位，可得，故选项D正确.故选：BCD.
12.答案：BC
解析：根据余弦定理可得；
即，所以B正确，A错误；
根据两角和与差的正弦公式可得：
即C正确；
对于D：
，所以D错误.故选：BC
13.答案：
解析：因为，，所以，所以，
又因为，所以，又因为，所以，所以，故答案为：.
14.答案：
解析：设三角形外接圆的半径为R，则，
即，可得，
又因为角C为锐角，所以，
因为，即，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，解得，在中，由正弦定理得，
即，解得.故答案为：.
15.答案：
解析：根据的部分图像，可得.
由图可知点，在的图像上，则，，根据五点作图法可得，，解得，，则.将函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长到原来的2倍得到的图像，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到的图像.作出函数的部分图像如图所示，
根据函数的图像知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，即方程在上有两个不相等的实数根.
16.答案：（答案不唯一）
解析：由②可知函数为偶函数，由③可知函数的周期为，再由函数的图象不过原点，则满足条件的函数可以为（答案不唯一）.
17.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）.
由可得，
令，由可得，
故.
当或，即或时，无解，
所以不存在零点；
当，即时，有一解，此时x仅有一解，
所以只存在一个零点；
当，即时，有两解
，此时在各有一解，故有两个零点.
综上，实数a的取值范围为.
（2）证明：函数有两个零点，，
令，，则，为方程的两根，
则，，所以，
两边平方得，因为，
所以，
所以，
由可得，所以，
则，因为在上单调递减，
所以，即
18.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时，，则的最小正周期，
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，；
（2），
函数的周期，若在上恒成立，则在上为单调递增函数，
满足，，
，此时满足，
即，即，则，则，
即，综上.
19.答案：（1），，；
（2）.
解析：（1）依题意，函数的最小正周期；
由，，得，，
所以函数对称轴方程为，.
（2），
故条件等价于方程在上有2个零点.
由，得，且x和一一对应，所以条件等价于方程在上有两个解.
作出在上的图象如下：
由于在和上递增，在上递减，
且，，，.
故方程在上有两个解等价于或，解得或.所以a的取值范围是.
20.答案：（1）
（2）.
解析：（1）由题意得，所以.
设外接的半径为R，则，得.
故外接圆的周长为.
（2）由余弦定理，得，
由，得，得，
所以，.
故的周长为.