高二数学人教A版(2019)暑假作业 （9）数列（A卷）

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1.图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，共中.如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则( )
A.25B.24C.5D.4
2.已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
3.等差数列，的前n项和分别为，，且，则( )
A.7B.8C.9D.10
4.已知等差数列的前n项和为，且，，则( )
A.14B.16C.18D.20
5.已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则为( )
A.245B.244C.242D.241
6.朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( )
A.5B.6C.7D.8
7.已知等比数列的前n项和为，且，则( )
A.3B.6C.9D.18
8.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如.已知，，是数列的前n项和，若恒成立，则M的最小值为( )
A.B.1C.D.2
9.（多选）在数列中，，，，记的前n项和为，则下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
10.（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.是等比数列D.
11.（多选）已知等比数列各项均为正数，，，数列的前n项积为，则( )
A.数列单调递增B.数列单调递减
C.的最大值为D.的最小值为
12.（多选）已知数列的前n项和为，则( )
A.B.数列是单调递增数列.
C.数列是公差为1的等差数列D.的最小值为
13.若数列的前n项和，则数列的通项公式为______.
14.已知等差数列的前n项和为，是等比数列，若，，且，则的最小值为__________.
15.设数列的前n项和为，等比数列的前n项和为，若，，，则________.
16.数列中，已知对任意，，则等于____________.
17.已知为数列的前n项和，满足，且，，，，成等比数列，当时，.
(1)求证：当时，成等差数列；
(2)求的前n项和.
18.已知等差数列和正项等比数列满足：，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，求.
19.已知等差数列的前n项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求的前150项和.
20.已知数列的前n项和为，数列是公差为的等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由题意知，，，，…，都是直角三角形，，且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，.又，，数列的通项公式为，.故选C.
2.答案：D
解析：，时，
，
时，.
，，，
时，，
综上可得：只有D正确.故选：D.
3.答案：B
解析：，
由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，
.故选：B.
4.答案：D
解析：设数列的公差为d，由，，
得，解得，
所以.故选：D.
5.答案：B
解析：设等比数列的公比为q，
因为，，成等差数列，
所以，即，①
又因为，所以，②
由①②解得，，
所以.故选：B.
6.答案：D
解析：设最上面一层放根，一共放n()层，则最下一层放根，
由等差数列前n项和公式得：，
，
，n为264的因数，且为偶数，
把各个选项分别代入，验证，可得：满足题意.故选：D
7.答案：D
解析：，，，
故，解得或(舍去)，故故选：D.
8.答案：A
解析：因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为，
，
所以，则，
所以，
，
，
两式相减可得：
，
所以，
因为，所以在在单调递增，
所以恒成立，所以，
所以M的最小值为.故选：A.
9.答案：ACD
解析：若，，又，则，A正确；
若，，由A选项可知，又，可得，
，可得，B错误；
若，，则，，，可得，
所以数列为等差数列，且，所以，C正确；
且，D正确.故选：ACD.
10.答案：AC
解析：，即，则，，，所以A正确；
显然有，所以B不正确；亦有，所以D不正确；
又，相除得，因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，故C正确.
故选：AC.
11.答案：BC
解析：等比数列的各项均为正数，，，所以，即，又，解得或（舍），所以数列为单调递减数列，A错误，B正确；
则，易得：，，所以的最大值为，C正确，D错误．故选：BC．
12.答案：AB
解析：，
当时，，故A正确；
当时，，又满足此式，
所以，故数列是公差为2的等差数列，故B正确，C错误；
又，，所以或时，有最小值，故D错误.
故选：AB.
13.答案：
解析：当时，，
又，所以；
当时，，
因为，也满足关系，所以.故答案为：.
14.答案：5
解析：，，，且，，，故.，所以，，所以最小值为5.
15.答案：
解析：设等比数列的公比为q，
由，则，解得，又，
所以，所以，代入，解得，
当时，，
当，时，，
满足上式，所以，.故答案为：.
16.答案：
解析：设数列的前n项和为，则，
当时，，
，
当，，符合上式.
，
.
故答案为.
17.答案：(1)证明见解析；
(2).
解析：（1），
，，
两式相减，得，
即.
当时，，，
当时，成等差数列.
（2）由，解得或，
又，，，，成等比数列，
由(1)得，进而，
而，，从而，
，
.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）设数列的公差为d，数列的公比为q，
则，
消元得或（舍去），故，
故，.
（2）由，
则①，
②，
①②得：
，
故.
19.答案：（1）
（2）490
解析：（1）因为为等差数列，则，即，
可得，，
所以.
（2）因为在与之间插入个3，
可知在数列中对应的项数为
，
当时，则，即；
当时，则，即；
由题意可知：，
所以.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知：数列是公差为的等差数列，
当时，，所以，整理得：，
又当时，，
因为满足上式，
所以，故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，可得，
故；
解法1：由，可得，
即，则，
又由，
当且仅当时取等号，故实数的取值范围为.
解法2：由，
可得，
当，即时，，
则，故实数的取值范围为.