高二数学人教A版(2019)暑假作业 （13）空间向量与立体几何（A卷）

这是一份高二数学人教A版(2019)暑假作业 （13）空间向量与立体几何（A卷），共18页。试卷主要包含了设x，，向量，，，且，，则等内容，欢迎下载使用。
1.若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
2.已知平面，和直线m，n，若，，则“，”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( )
A.B.C.D.
4.设x，，向量，，，且，，则( )
A.3B.4C.D.
5.在正方体，E为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A.B.C.D.
6.已知正方体的棱长为，则点到面的距离为( )
A.1 B.C.2D.
7.如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为BE的中点，则下列结论错误的是( )
A.点A，B，C，F共面B.平面平面CDF
C.D.平面ACD
8.如图，底面ABCD是边长为2的正方形，半圆面底面ABCD，点P为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面APD所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
9.（多选）在三棱锥中，和均是边长为的正三角形，二面角的平面角为，则( )
A.
B.点A到平面BCD的距离为
C.三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离为2
D.三棱锥外接球的表面积为
10.（多选）已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则下列结论中正确的是( )
A.直线与直线垂直B.直线与平面平行
C.点C与点G到平面的距离相等D.平面截正方体所得的截面面积为
11.（多选）在正方体中，过对角线的平面与，分别交于E，F，且，，则( )
A.四边形一定是平行四边形
B.四边形BEDF可能是正方形
C.
D.四边形在侧面内的投影一定是平行四边形
12.（多选）如图所示，棱长为3的正方体中，P为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是( )
A.B.与AC所成的角可能是
C.是定值D.当时，点到平面的距离为2
13.已知，分别是平面，的法向量，若，则__________.
14.已知空间中三点，，，设，，若，且，则向量______.
15.如图，平面平面，，，是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为____________.
16.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法不正确的序号是______________.
①平面EOF；
②平面EOF；
③；
④；
⑤平面平面AOF.
17.如图，正方体中，E，F，G，分别是棱，，，的中点.
（1）证明：；
（2）证明：平面.
18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，AC，BD交于点O．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）设E是棱PD上一点，过E作，垂足为F，若平面平面PAB，求的值．
19.如图（1），在中，，，将沿折起，使得点A到达点P处，如图（2）.
（1）若，求证：；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
20.如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点O为的中点，，.
（1）证明：平面ABCD；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则，得.由，得.因为，所以圆锥的体积为.故选：C.
2.答案：B
解析：由題意可知：
当，时，与可能平行，也可能相交，故充分性不成立；
当时，，成立，故必要性成立；
所以“，”是“”的必要不充分条件，故选：B
3.答案：B
解析：在正三棱柱中，向量，，不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，所以与所成角的大小为.故选：B
4.答案：A
解析：因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.故选：A.
5.答案：C
解析：在正方体中，，所以异面直线与所成角为，如图设正方体边长为，则由E为校的中点，可得，所以，
则.故选：C
6.答案：A
解析：以D为原点，，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，，
设面的法向量为，，
所以，
令，则，所以，，
所以到平面的距离，故选：A.
7.答案：D
解析：A选项：如图，取CD的中点H，连接GH，FH，AG，AH，易得，，，则平面，平面AFH，所以A，G，H，F四点共面，由题意知，，所以四边形AGHF是平行四边形，所以，因为，所以，所以A，B，C，F四点共面，故A正确；
B选项：由选项A知，又平面，平面CDF，所以平面CDF，因为，且平面，平面CDF，所以平面CDF，又平面，平面ABE，且，所以平面平面CDF，故B正确；
C选项：由选项A可得平面AGHF，又平面AGHF，所以，故C正确；
D选项：假设平面ACD，则，由选项A知四边形AGHF是平行四边形，所以四边形AGHF是菱形，与，矛盾，故D错误.
8.答案：D
解析：过点P作于点O，
因为面底面ABCD，面底面，面PAD，
所以平面ABCD，则，
当且仅当，即点P位于圆弧AD的中点时，最大，此时P为AD的中点，
因为面底面ABCD，面底面，，面ABCD，
所以面PAD，
所以即为PC与半圆面APD所成角的平面角，
在中，，，，
所以，即与半圆面APD所成角的余弦值为.
故选：D.
9.答案：ABD
解析：如图，取BC的中点M，连接AM，DM. ，，
二面角的平面角为，且平面AMD， ，A正确.过A作直线DM的垂线，垂足为N，易证平面BCD，易得，.，B正确；外接圆的圆心在AM上，，外接圆的圆心在DM上，.过，分别作平面ABC和平面BCD的垂线并相交于O点，则O点为三棱锥外接球的球心.连接，，OA，OM，OD，则三棱锥外接球的半径为OA.易知.则，，，，则外接球的表面积为，C错误，D正确.
故选：ABD.
10.答案：BD
解析：对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，
则不可能直角，直线与直线不垂直，A错误；
对于B，连接，，，由F，G分别为，的中点，得，
又，则四边形是平行四边形，于是，
而四边形是正方体的对角面，点E为中点，有，
即平面，平面，平面，所以平面，B正确；
对于C，连接交于H，显然H不是的中点，则平面不过的中点，
即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；
对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，，，，等腰梯形的高，所以等腰梯形面积为，D正确.
故选：BD
11.答案：AC
解析：A选项：由题意可知，平面，根据线面平行的性质定理可知，，
同理可证，，所以四边形一定是平行四边形，故A正确.
B选项：由A可知，四边形是平行四边形，不妨设，当F为冲点时，
，，所以，故B不正确.
C选项：因为，，由A可知，，所以，即，故C正确.
D选项：当点F与重合时，且点E与4重合（或，）时，直线BF在平面
内的射影为，此时，即为，所以四边形在侧面内的投影是一条线段或者是平行四边形，故D不正确.
12.答案：AC
解析：建立如图所示空间直角坐标系，
则有、、、、、
、、、则，，
，，，
设，，则，，
故，即，故A正确；
若与AC所成的角可能为，则存在，使得成立，
即，
化简得，即，由，故舍去，
即与AC所成的角故可能是，故B错误；
，故，故C正确；
当时，有，故，，设平面的法向量为，则有，令，则有，则点到平面的距离，故D错误.
故选：AC.
13.答案：
解析：因为，所以，所以，解得.
14.答案：或
解析：，，，由于，所以存在实数使，所以，，所以或.故答案为或.
15.答案：6
解析：，O为AB的中点，.又平面平面ABD，且交线为，平面ABD.又平面，，为直角三角形.由此得直角三角形有，，，，，共6个.故答案为6.
16.答案：②
解析：依题意，得，，，平面EOF，故①正确，②错误.
由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正确.
由①可得.又，，平面AOF.又平面AOF，，故④正确.由④及平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正确.故答案为②.
17.答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：（1）如下图，设，，，则且.
因为，，
所以，所以，所以.
（2）因为，，
所以，
所以，所以.同理可证.
又，所以平面.
18.答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）证明：因为底面ABCD，平面ABCD，故，
又，，，平面PAB，故平面PAB
又平面PAD，故平面平面PAB．
（2）因为平面平面PAB，平面平面，平面平面，
所以，
因为，且，所以
在中，由，，得，
即．
19.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平行四边形中，，可得，
，
，，
又，，，
又，，平面，
.
（2）方法一：如图，过点D做，且，连接，，
由题意可知，，，，
平面，，，
，
又平面，平面平面，
取中点O，连接，由，得，
平面，且，
过O点作垂直于，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题可得，，，，
，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，令，则，故平面的一个法向量为，
同理，令，则，，故平面的一个法向量为.
，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
设，（其中），
，，，
解得，，
，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
，令，则，，故平面的一个法向量为；
同理，令，则，故平面的一个法向量为.
，
又因为两个平面的夹角范围为：，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
故平面与平面夹角的余弦值为.
方法三：如图所示，过点B作交于E，过点D作交于F，异面直线DF、BE的夹角即为两个平面的夹角.
中，由，，
可得，，，
同理，在中，，，可得，
而，，
，
即，解得，
又因为两个平面的夹角范围为：，
所以平面与平面夹角的余弦值为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）连接AO，
，点O为BD的中点，，，
为直角三角形，，则，，
又，、平面ABCD，平面ABCD.
（2）由（1）知平面ABCD，而，平面ABCD，
所以，，又，
过点D作z轴，使得z轴平面ABCD，则可建立如图空间直角坐标系，
在中，，，则，，
，，，，
则，，，
设平面SBC法向量为，直线与平面SBC所成角，
，，得，
所以，
直线AS与平面SBC所成角的正弦值为.