江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷

这是一份江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）设复数，则复数z的虚部是（ ）
A．iB．﹣iC．1D．﹣1
2．（5分）在△ABC中，，则AB＝（ ）
A．B．C．D．7
3．（5分）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（ ）
A．四边形B．三角形
C．三角形或四边形D．不可能为四边形
4．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．120°B．150°C．180°D．240°
6．（5分）tan10°+tan50°+tan10°tan50°的值为（ ）
A．﹣B．C．3D．
7．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝+，||＝||，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
8．（5分）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（6分）已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ）
A．
B．3+i＞1+i
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内所对应的点位于第三象限
D．已知k∈R，若关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实数根，则实数根必为
（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）
A．AP⊥B1C
B．PD⊥BC
C．直线PC1与平面A1BCD1所成角的最大值是
D．PC+PD的最小值为
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为 ．
13．（5分）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a＝ ．
14．（5分）已知正四面体的棱长为1，正四面体的外接球体积为V1，其内切球体积为V2，则V1：V2＝ ．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（15分）已知α，β为锐角，tanα＝，cs（α+β）＝﹣．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
16．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O、D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：PA∥平面COD；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．
17．（15分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．
（1）若∠B＝120°，BC边上的中线AD的长为，求c的值；
（2）若，c＝1，求S△ABC．
18．（15分）如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30°．
（1）求该量杯的侧面积S；
（2）若要在圆锥形量杯的一条母线PA上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少？当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？
19．（17分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝PA＝1，E，F分别为BC，PB的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）证明PC∥平面AEF，并求直线PC到平面AEF的距离．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设复数，则复数z的虚部是（ ）
A．iB．﹣iC．1D．﹣1
【分析】直接利用复数的四则运算计算即可得出所求的答案．
【解答】解：因为i5＝（i2）2•i＝i，所以复数＝＝＝＝i，
所以复数z的虚部为1．
故选：C．
【点评】本题考查复数的概念及复数的四则运算，考查学生的数学运算能力，属简单题．
2．（5分）在△ABC中，，则AB＝（ ）
A．B．C．D．7
【分析】由题意利用余弦定理即可求解．
【解答】解：因为在△ABC中，，
所以由余弦定理可得AB＝＝＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
3．（5分）用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（ ）
A．四边形B．三角形
C．三角形或四边形D．不可能为四边形
【分析】根据题意作出示意图，利用三棱锥的结构特征加以解答，可得答案．
【解答】解：当一个平面与三棱锥的底面平行时，与三条侧棱都有交点，得到的截面是三角形，如下图所示：
当一个平面与三棱锥的两组相对的棱都有交点时，得到的截面是四边形，如下图所示：
综上所述，截面形状可能是三角形或四边形．
故选：C．
【点评】本题主要考查三棱锥的结构特征、平面的基本性质等知识，考查了图形的理解能力、空间想象能力，属于基础题．
4．（5分）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意得：，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求
【解答】解：根据题意得：，
又，，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题
5．（5分）圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）
A．120°B．150°C．180°D．240°
【分析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，侧面展开图扇形的圆心角为θ，根据条件得πrl+πr2＝3πr2，从而l＝2r，再由扇形面积公式能求出该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角．
【解答】解：设圆锥底面半径为r，母线长为l，
侧面展开图扇形的圆心角为θ，
根据条件得：
πrl+πr2＝3πr2，即l＝2r，
根据扇形面积公式得：
＝πrl，即＝＝180°．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的侧面展开图扇形的圆心角的求法，考查圆锥的表面积，侧面展开图，扇形面积即平面几何知识，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥的性质的合理运用．
6．（5分）tan10°+tan50°+tan10°tan50°的值为（ ）
A．﹣B．C．3D．
【分析】直接根据两角和正切公式的变形形式tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）＝tanα+tanβ；整理即可得到答案．
【解答】解：tan10°+tan50°+tan10°tan50°
＝tan（10°+50°）（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°
＝（1﹣tan10°tan50°）+tan10°tan50°
＝﹣tan10°tan50°+tan10°tan50°
＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式的应用．在应用两角和与差的正切公式时，一般会用到其变形形式：tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）＝tanα+tanβ．
7．（5分）已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝+，||＝||，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据题意，可得O是BC的中点，BC为圆O的直径，由此得到△ABO为等边三角形，再由投影向量的定义求解即可．
【解答】解：根据题意，△ABC中，，则O是BC的中点，
所以BC为圆O的直径，则有||＝||＝||，
又，则△ABO为等边三角形，∠ABO＝，
则向量在向量上的投影向量为||cs×＝．
故选：A．
【点评】本题考查投影向量，涉及向量数量积的性质以及应用，属于基础题．
8．（5分）如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用正四棱锥的几何结构特征，设底面边长为a，则底面是正方形，求出底面面积，再利用侧棱与底面所成的角为45°，求出PA，得到△PAB是正三角形，求出其面积，然后计算比值即可．
【解答】解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，
如图，PO是正四棱锥的高，
设底面边长为a，底面积为，
因为，
所以，
所以△PAB是正三角形，面积为，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查了正四棱锥的应用，涉及了正四棱锥几何结构的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是掌握正四棱锥的性质，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据两角和差的正弦公式，两角和的正切公式即可得解．
【解答】解：，A错误；
，B正确；
，C正确；
sin105°＝sin（45°+60°）＝sin45°cs60°+cs45°sin60°＝，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了两角和差的正弦和正切公式，是基础题．
（多选）10．（6分）已知i为虚数单位，z为复数，以下四种说法正确的是（ ）
A．
B．3+i＞1+i
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内所对应的点位于第三象限
D．已知k∈R，若关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki＝0有实数根，则实数根必为
【分析】由已知结合复数的运算及复数的几何意义分别检验各选项即可判断．
【解答】解：设z＝a+bi（a，b为实数），
则＝（a+bi）（a﹣bi）＝a2+b2＝|z|2，A正确；
复数之间无法比较大小，B错误；
z＝（1+2i）2＝﹣3+4i，复平面内所对应的点（﹣3，﹣4）位于第三象限，C正确；
设方程的实数根为x0，则x02+（k+2i）x0+2+ki＝0，
整理得（+kx0+2）+（2x0+k）i＝0，
故+kx0+2＝0，2x0+k＝0，
解得x0＝，D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了复数的运算及复数的几何意义的应用，属于基础题．
（多选）11．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动（包括端点），下列选项正确的有（ ）
A．AP⊥B1C
B．PD⊥BC
C．直线PC1与平面A1BCD1所成角的最大值是
D．PC+PD的最小值为
【分析】由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项A，B作出判断；作出直线PC1与平面A1BCD1所成角，进而判断线面角的最大值；通过翻折平面，将平面D1DB与平面D1BC沿D1B翻折到同一个平面内，进而判断PC+PD的最小值．
【解答】解：对于选项A，由正方体性质，易得B1C⊥BC1，B1C⊥AB，
因为AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1D1，
所以B1C⊥平面ABC1D1．
因为AP⊂平面ABC1D1，所以AP⊥B1C，故A正确；
对于选项B，当P与B重合，则此时PD与BC夹角为，故B错误；
对于选项C，如图连接DC1交D1C于H，
因为BC⊥平面CC1D1D，DC1⊂平面CC1D1D，所以BC⊥DC1．
因为CD1⊥DC1，BC∩CD1＝C，BC，CD1⊂平面A1BCD1，
所以DC1⊥平面A1BCD1，即C1H⊥平面A1BCD1，
所以∠C1PH为直线PC1与平面A1BCD1所成角，所以．
所以当HP最小时∠C1PH最大，即HP⊥BD1时，HP最小．
由△HPD1∽△BCD1，可得，
此时，故∠C1PH的最大值为，
直线PC1与平面A1BCD1所成角的最大值是，故C正确；
对于选项D，如图，将平面D1DB与平面D1BC沿D1B翻折到同一个平面内，
由题意，，
从而D1C＝DB，DD1＝BC，故DD1CB为平行四边形．
又，故DD1CB为矩形．
从而当P为CD与BD1交点时，PC+PD最小，此时，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面垂直的性质定理，线面角的定义，是中档题．
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为 ．
【分析】通过球的表面积求出球的半径，然后求出球的体积
【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，
所以这个球的体积为：＝．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查球的表面积、体积的计算，考查计算能力，公式的应用．
13．（5分）△ABC的面积为S，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a＝ ．
【分析】由已知结合三角形的面积公式，余弦定理进行化简即可求解．
【解答】解：若＝3+＝3+2bccsA，
即b2+c2﹣2bccsA＝3＝a2，
则a＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，属于基础题．
14．（5分）已知正四面体的棱长为1，正四面体的外接球体积为V1，其内切球体积为V2，则V1：V2＝ 27 ．
【分析】正四面体A﹣BCD的棱长为1，设内切球的半径为r，外接球的半径为R，利用三棱锥体积计算公式，转化求解r，R．即可判断出结论．
【解答】解：正四面体A﹣BCD的棱长为1，内切球的半径为r，外接球的半径为R，
则×12•r×4＝，r2+（）2＝R2，
解得r＝，R＝．则V1：V2＝＝27．
故答案为：27．
【点评】本题考查了正四面体的外接球研究内切球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（15分）已知α，β为锐角，tanα＝，cs（α+β）＝﹣．
（1）求sin2α的值；
（2）求tan（α﹣β）的值．
【分析】（1）根据条件可求出sinα，csα的值，然后根据二倍角的正弦公式即可求出sin2α的值；
（2）可求出tan2α和tan（α+β）的值，然后根据tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]即可求出答案．
【解答】解：（1）∵α，β为锐角，tanα＝，∴，
∴；
（2），，，
∴tan（α﹣β）＝tan[2α﹣（α+β）]＝＝．
【点评】本题考查了二倍角的正弦公式和正切公式，两角差的正切公式，切化弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
16．（15分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△PAB是等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝2，O、D分别是AB，PB的中点．
（1）求证：PA∥平面COD；
（2）求三棱锥P﹣ABC的体积．
【分析】（1）由O、D分别是AB，PB的中点，得OD∥AP，即可得PA∥平面COD．
（2）连接OP，得OP⊥面ABC，且OP＝．即可得三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝．
【解答】解：（1）∵O、D分别是AB，PB的中点，∴OD∥AP
又PA⊄平面COD，OD⊂平面COD
∴PA∥平面COD．
（2）连接OP，由△PAB是等边三角形，则OP⊥AB
又∵平面PAB⊥平面ABC，∴OP⊥面ABC，且OP＝．
∴三棱锥P﹣ABC的体积V＝＝．
【点评】本题考查了空间线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
17．（15分）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，．
（1）若∠B＝120°，BC边上的中线AD的长为，求c的值；
（2）若，c＝1，求S△ABC．
【分析】（1）由B角，可得B的正余弦值，再由及三角形中C角与A+B的关系，再由两角和的正弦公式展开式可得a，b，c之间的关系，再由余弦定理可得a＝c，在△ABD中，由余弦定理可得c的值；
（2）由三角形的面积可得C＝，再由可得csB（sinA﹣sinC）＝0，可得B＝或a＝c＝1，分别讨论两种情况，求出三角形的面积．
【解答】解：（1）因为B＝120°，所以csB＝﹣，
因为，由正弦定理可得＝，
可得c＝b•csA＝b，
整理可得b2＝2c2+a2，
由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accsB＝a2+c2+ac，
所以2c2+a2＝a2+c2+ac，可得a＝c，
所以△ABC为等腰三角形，在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•csB，AD＝，
即7＝c2+﹣2c•（﹣），解得c＝2；
（2）若＝××2ab＝abcsC
而S△ABC＝absinC，
所以tanC＝，所以C＝，
因为，即sinBcsA＝sinC﹣sinCcsB＝sin（A+B）﹣csCcsB＝sinAcsB+csBsinA﹣sinCcsB，
可得csB（sinA﹣sinC）＝0，
可得csB＝0，即B＝，
或sinA＝sinC，可得A＝C，
当B＝时，b2＝a2+c2，
而c＝1，所以b＝，a＝
所以S△ABC＝ac＝•1＝；
当A＝C时，即a＝c＝1，可得△ABC为等边三角形，所以S△ABC＝•12＝，
所以S△ABC＝或．
【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，属于中档题．
18．（15分）如图，一个圆锥形量杯的高为12厘米，其母线与轴的夹角为30°．
（1）求该量杯的侧面积S；
（2）若要在圆锥形量杯的一条母线PA上，刻上刻度，表示液面到达这个刻度时，量杯里的液体的体积是多少？当液体体积是100立方厘米时，刻度的位置B与顶点P之间的距离是多少厘米（精确到0.1厘米）？
【分析】（1）设底面圆的半径为r，根据侧面积公式即可求出，
（2）根据体积公式计算即可．
【解答】解：（1）设底面圆的半径为r，
∵h＝12，∠OPA＝30°，
∴AP＝＝8，r＝12×＝4，
∴量杯的侧面积S＝πrl＝4×8π＝96πcm2，
（2）V＝Sh＝πr2h＝×48×12π＝196cm2，
设PB＝x，
则BC＝x，PC＝x，
∴V′＝×π（x）2•x＝πx3＝100，
解得x≈7.6
【点评】本题考查了圆锥的侧面积和体积，考查了运算能力，属于基础题．
19．（17分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝PA＝1，E，F分别为BC，PB的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）证明PC∥平面AEF，并求直线PC到平面AEF的距离．
【分析】（1）利用线面垂直的性质，得到PA⊥BC，根据条件及线面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，从而有BC⊥AF，再根据条件得到AF⊥PB，由线面垂直的判定定理，得到AF⊥平面PBC，即可证明结果；
（2）根据条件有EF∥PC，利用线面平行的判定定理，即可证明结果；利用PC∥平面AEF，将线到面的距离转化成成点到面的距离，再利用等体积法，即可求出结果．
【解答】解：（1）证明：根据题意，因为PA⊥平面ABC，又BC⊂面ABC，所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB，PA⊂面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又AF⊂面PAB，所以BC⊥AF，
又AB＝PA，F为PB中点，所以AF⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂面PBC，
所以AF⊥平面PBC，又AF⊂平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC．
（2）证明：由题E，F分别为BC，PB中点，故EF∥PC，
又PC⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，故PC∥平面AEF，
则直线PC到平面AEF的距离为点C到平面AEF的距离dC﹣AEF．
由E为BC中点，所以dC﹣AEF＝dB﹣AEF，记为d，，
又，所以d•S△AEF＝dA﹣BEF•S△BEF，
由（1）知，AF⊥平面PBC，故，AF⊥EF，，
由题知，，，
所以，
而，
所以．
【点评】本题考查点线面距离的计算，涉及平面与平面垂直的判断，属于中档题．