还剩39页未读，
继续阅读
浙江省绍兴市上虞区高一下册期末数学试卷
展开
这是一份浙江省绍兴市上虞区高一下册期末数学试卷，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若复数，则z的虚部为（ ）
A．﹣2+iB．iC．﹣2D．1
2．（5分）P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．（5分）在△ABC中，若，，，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既充分也不必要条件
5．（5分）设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若2＝•，则B．若，则∥
C．若，则D．若，则
6．（5分）已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小为π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84π
7．（5分）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛．1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，，记两个班总成绩的方差为s2，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里S1、S2为两个底面面积，S0为中截面面积，h为高．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD是边长1为的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1＝z2＝0
C．若z1z2∈R，则z1＝
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上
（多选）10．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上的投影向量的模为
（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45°
B．存在点P，使得C1G∥平面BEP
C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP
D．点B1到直线D1F的距离为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．则角B＝ ．
14．（5分）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”．如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 米．（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
16．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
17．（15分）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
18．（17分）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台ABE﹣DCF，其中AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD．
（1）求证：AD⊥BE；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
19．（17分）如图，已知圆柱下底面圆的直径AB＝6，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，圆柱的两条母线CD＝BE＝3．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
2022-2023学年浙江省绍兴市上虞区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数，则z的虚部为（ ）M
A．﹣2+iB．iC．﹣2D．1
【考点】复数的运算．
【答案】D
【分析】化简复数z，可得其虚部．
【解答】解：复数z＝＝＝﹣2+i，则z的虚部为1．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
2．（5分）P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【考点】向量的三角形法则．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出•＝0，即⊥，△ABC是直角三角形．
【解答】解：P是△ABC所在平面上一点，且||﹣||＝0，
∴||﹣|（﹣）+（﹣）|＝0，
即||＝|+|，
∴|﹣|＝|+|，
两边平方并化简得•＝0，
∴⊥，
∴∠A＝90°，
则△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了模长公式应用问题，是基础题．
3．（5分）在△ABC中，若，，，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】B
【分析】运用向量的三角形法则和向量垂直的条件，以及向量的数量积的定义，结合直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，计算即可得到．
【解答】解：由于，＝﹣，
即有|+|＝|﹣|，
两边平方可得•＝0，
即有⊥，
由勾股定理得||＝＝2，
则＝
＝﹣||cs∠ABC＝﹣1×＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件，同时考查向量的数量积的定义，属于基础题和易错题．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既充分也不必要条件
【考点】平面与平面垂直；充分条件与必要条件．
【答案】A
【分析】m⊂α，则“m⊥β”⇒“α⊥β”，反之不成立，可能α与β相交不垂直．即可判断出结论．
【解答】解：m⊂α，则“m⊥β”⇒“α⊥β”，反之不成立，可能α与β相交不垂直．
∴m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若2＝•，则B．若，则∥
C．若，则D．若，则
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模．
【答案】C
【分析】A中，举例说明选项A错误；
B中，λ＝μ＝0时，＝，与不一定平行；
C中，两边平方得出cs＜，＞＝1，与共线；
D中，两边平方得出•＝0，不能得出．
【解答】解：对于A，当＝（1，0），＝（1，1）时，满足2＝•，但≠，选项A错误；
对于B，当λ＝μ＝0时，＝，则与不一定平行，选项B错误；
对于C，由，则+2||||+＝+2•+，cs＜，＞＝1，所以与同向，即，选项C正确；
对于D，若，则+2•+＝﹣2•+，所以•＝0，不能得出，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．
6．（5分）已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小为π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84π
【考点】球的体积和表面积．
【答案】B
【分析】确定球心E的位置，结合余弦定理，得出OG＝，最后解出R＝即可求解．
【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，OC，则OD⊥AB，OC⊥AB，＝，
所以∠DOC是二面角D﹣AB﹣C的平面角，所以，
设四面体ABCD的外接球的球心为E，半径为R，则E在过△ABC的中心G且垂直平面ABC的直线上，也在过△ABD的中心H且垂直平面ABD的直线上，
在△OGC中，由余弦定理可得OG＝＝，
所以，
所以四面体ABCD的外接球的半径R＝，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝52π．
故选：B．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中档题．
7．（5分）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛．1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，，记两个班总成绩的方差为s2，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点】极差、方差与标准差．
【答案】B
【分析】根据题意，设1班成绩的平均数为，2班成绩的平均数为，两个班总成绩的平均数为，由总体的方差公式可得s2＝[+（﹣）2]+[+（﹣）2]，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设1班成绩的平均数为，2班成绩的平均数为，
两个班总成绩的平均数为，
则有s2＝[+（﹣）2]+[+（﹣）2]＝≥．
故选：B．
【点评】本题考查总体数据的方差计算，注意总体方差的计算公式，属于基础题．
8．（5分）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里S1、S2为两个底面面积，S0为中截面面积，h为高．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD是边长1为的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】B
【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决．
【解答】解：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，
容易求得，．
取AD的中点O，连接GO，易得，则，
所以多面体的体积V＝VE﹣ADG+VF﹣BCH+VAGD﹣BHC＝2VE﹣ADG+VAGD﹣BHC
＝．
故选：B．
【点评】本题考查多面体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1＝z2＝0
C．若z1z2∈R，则z1＝
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上
【考点】复数的模；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．
【答案】AD
【分析】根据题意，由共轭复数的定义分析A，举出反例可得B、C错误，由复数的几何意义分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设z1＝a+bi（a、b∈R），若，则＝a+bi，故z2＝a﹣bi，
必有z2＝＝a﹣bi，A正确；
对于B，若z1＝1，z2＝i，则有|z1﹣z2|＝|z1+z2|，当z1＝z2＝0不成立，B错误；
对于C，若z1＝1+i，z2＝2﹣2i，有z1z2＝2，满足z1z2∈R，当z1≠，C错误；
对于D，设复数z1，z2对应的点为A和B，若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点是线段AB的中垂直，
故z在复平面内对应的点在一条直线上，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上的投影向量的模为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】BCD
【分析】以E为原点，，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出E，A，B，C，D的坐标，设O（0，y），y∈（0，），由∥，解得y，即O为CE的中点，即可判断B是否正确；对于C：由|++|＝|2+|＝||，即可判断C是否正确；对于A：由于CE⊥AB，则•＝0，即可判断A是否正确；对于D，计算在方向上的投影为，即可判断D是否正确．
【解答】解：由题意知，E为AB的中点，CE⊥AB，
以E为原点，，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则E（0，0），A（1，0），B（﹣1，0），C（0，），D（，），
设O（0，y），y∈（0，），
则＝（1，y），＝（﹣，y﹣），∥，
所以y﹣＝﹣y，解得y＝，
即O为CE的中点，
所以+＝，故B正确；
对于C：因为|++|＝|2+|＝||＝，故C正确；
对于A：因为CE⊥AB，所以•＝0，故A错误；
对于D：因为＝（，），＝（1，），
在方向上的投影为＝＝，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量的运算，解题中需要理清思路，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45°
B．存在点P，使得C1G∥平面BEP
C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP
D．点B1到直线D1F的距离为4
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．
【答案】BCD
【分析】对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°；对于B，当点P与点D1重合时，四边形EGC1D1是平行四边形，C1G∥D1G，从而C1G∥平面BEP；对于C，连接CF，推导出CC1⊥EB，△BAE≌△CFB，CF⊥BE，从而BE⊥平面FCC1，进而平面FCC1⊥平面BEP；对于D，由余弦定理求出∠B1D1F＝45°，由此能求出点B1到直线D1F的距离．
【解答】解：对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°，故A错误；
对于B，当点P与点D1重合时，由题知EG∥DC，EG＝DC，D1C1∥DC，D1C1＝DC，
∴EG∥D1C1，EG＝D1C1，
四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1G，
∵C1G⊄平面BEP，D1E⊂平面BEP，∴C1G∥平面BEP，故B正确；
对于C，连接CF，∵CC1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴CC1⊥EB，
又AE＝BF，AB＝CB，∠A＝∠CBF，∴△BAE≌△CFB，
∴∠EBA+∠CFB＝90°，∴CF⊥BE，
∵CE，CC1相交，CF，CC1⊂平面FCC1，∴BE⊥平面FCC1，
又BE⊂平面BEP，∴对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP，故C正确；
对于D，由正方体的性质得B1D1＝4，FD1＝＝6，B1F＝＝2，
∴cs∠B1D1F＝＝＝，
∴∠B1D1F＝45°，
∴点B1到直线D1F的距离为d＝B1D1sin∠B1D1F＝4×＝4，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查异面直线所成角、线面平行、线面垂直的判定、余弦定理、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【答案】．
【分析】先确定从四个球中任取两个的基本事件总数，再确定其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的基本事件个数，最后利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率．
【解答】解：从四个球中任取两个的所有可能为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
共6种，其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的取法有5种，
故所求概率为：P＝．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．则角B＝ ．
【考点】二倍角的三角函数；正弦定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用正弦定理和三角公式得到csB的值，结合B为三角形内角即可求出角B的大小．
【解答】解：∵，
∴由正弦定理得：sinAsin2B﹣sin2A＝sin2AcsC，
∴2sinAsinBcsB﹣sinCsinAcsA＝sin2AcsC，
∵A∈（0，），
∴sinA≠0，
∴2sinBcsB＝sinCcsA+sinAcsC，
∴2sinBcsB＝sin（A+C），
∴2sinBcsB＝sin（π﹣B），
∴2sinBcsB＝sinB，
∵B∈（0，），
∴sinB≠0，csB＝，
∴B＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理和三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
14．（5分）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”．如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 310 米．（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
【考点】解三角形．
【答案】310．
【分析】由题意利用三角形的内角和定理可求∠CBD的值，在△BCD中，由正弦定理可得BC＝，在△ABC中可得AB＝tan∠ACB•BC，即可计算求解．
【解答】解：因为∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，
所以∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝80°，
在△BCD中，由正弦定理＝，可得BC＝＝，
因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，可得∠ACB＝80°，
在△ABC中，因为tan∠ACB＝，可得AB＝tan∠ACB•BC＝tan80°×＝≈≈310，
则塔高AB为310米．
故答案为：310．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
【考点】向量相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可；
（2）由共线性质求出参数即可．
【解答】（1）证明：由，
得，，
则，所以，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线；
（2）解：由题意，与共线，
则存在实数λ，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
故实数k的值是±4．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及向量共线定理，属基础题．
16．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得ab＝40，由余弦定理计算可得a2+b2＝c2+40，结合（a+b）2＝（20﹣c）2计算即可求解．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又0＜A＜180°，得sinA＞0，
所以，即，
由0＜C＜180°，解得C＝60°；
（2）由（1），得，则ab＝40，
由余弦定理，得，即，
得a2+b2＝c2+40．又a+b+c＝20，
所以（a+b）2＝（20﹣c）2，即a2+2ab+b2＝400﹣40c+c2，
即c2+40+80＝400﹣40c+c2，解得c＝7．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（15分）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【答案】（1）900；（2）82.5；（3）．
【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩在[80，100]内的频率，即可估计人数；
（2）根据百分位数计算规则计算可得；
（3）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，
成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10＝0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为3000×0.3＝900人；
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10＝0.05，
成绩在[50，60）内的频率为0.015×10＝0.15，
成绩在[60，70）内的频率为0.020×10＝0.2，
成绩在[70，80）内的频率为0.030×10＝0.3，
成绩在[80，90）内的频率为0.020×10＝0.2，
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为0.05+0.15+0.2+0.3＝70%，
成绩在90分以下的学生所占的比例为0.05+0.15+0.2+0.3+0.2＝90%，
所以成绩的75%分位数一定在[80，90）内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数为82.5；
（3）因为，，，
所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人，
其中有3人为航天达人，设为a，b，c，
有3人不是航天达人，设为d，e，f，
则从6人中选择2人作为学生代表，
有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），
（d，e），（d，f），（e，f）共15种，
其中2人均为航天达人为（a，b），（a，c），（b，c）共3种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（17分）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台ABE﹣DCF，其中AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD．
（1）求证：AD⊥BE；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）连接BD，DE，设AB＝2a，利用平面几何知识可得AD2+BD2＝AB2，可证AD⊥BD，同理可证AD⊥DE，进而可证AD⊥平面BDE，可证结论；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，连接EM．过点D作DN⊥EM交EM于点N，连接AN．证明∠NAD就是直线AD与平面ABE所成的角，求解可得直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接BD，DE，设AB＝2a，则BC＝CD＝a，
由条件易得，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
同理可得AD⊥DE，又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，
∴AD⊥平面BDE，DE⊂平面BDE，∴AD⊥BE；
（2）由（1）可得BD＝DE＝a，
∵，AE＝AB，∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝EB＝2α，∴ED2+BD2＝EB2，∴DE⊥BD．
又DE⊥AD，BD∩AD＝D，BD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，连接EM．
由AD＝BD，所以M为AB的中点，又AE＝BE，所以EM⊥AB，
又EM∩DM＝M，EM，DM⊂平面DEM，∴AB⊥平面DEM，
又AB⊂平面ABE，∴平面DEM⊥平面ABE．
过点D作DN⊥EM交EM于点N，连接AN．
∴∠NAD就是直线AD与平面ABE所成的角．∵面CDF∥面ABE，
∴∠NAD就是直线AD与面CDF所成的线面角．
∵DE⊥DM，又DG＝a．DE＝a，DN＝a，∴AD＝a，
∴sin∠NAD＝＝，即直线AD与平面CDF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力，属中档题．
19．（17分）如图，已知圆柱下底面圆的直径AB＝6，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，圆柱的两条母线CD＝BE＝3．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）18．
【分析】（Ⅰ）由题意可得DC⊥AC，AC⊥BC，可证AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）设AC＝x，BC＝y，则x2+y2＝36，进而可求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵DC为圆柱的母线，∴DC⊥平面ABC，
又AC⊆平面ABC，∴DC⊥AC．①，
∵AB是下底面圆的直径，∴AC⊥BC．②，
∵①②及BC∩DC＝C，BC⊂平面BCDE，DC⊂平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE．
又AC⊆平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCDE．
（Ⅱ）在Rt△ABC中，设AC＝x，BC＝y，则x2+y2＝36，
，
当且仅当 时，不等式取“＝”号．
故VA﹣BCDE的最大值为18．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，考查重要不等式的应用，属中档题．
考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
4．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
5．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
6．向量的三角形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
7．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
8．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
9．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
12．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
13．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
14．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
15．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
16．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
17．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
18．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
19．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
23．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
24．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
25．极差、方差与标准差
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数＝（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【命题方向】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
1．（5分）若复数，则z的虚部为（ ）
A．﹣2+iB．iC．﹣2D．1
2．（5分）P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
3．（5分）在△ABC中，若，，，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既充分也不必要条件
5．（5分）设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若2＝•，则B．若，则∥
C．若，则D．若，则
6．（5分）已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小为π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84π
7．（5分）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛．1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，，记两个班总成绩的方差为s2，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（5分）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里S1、S2为两个底面面积，S0为中截面面积，h为高．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD是边长1为的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1＝z2＝0
C．若z1z2∈R，则z1＝
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上
（多选）10．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上的投影向量的模为
（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45°
B．存在点P，使得C1G∥平面BEP
C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP
D．点B1到直线D1F的距离为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．则角B＝ ．
14．（5分）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”．如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 米．（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
16．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
17．（15分）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
18．（17分）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台ABE﹣DCF，其中AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD．
（1）求证：AD⊥BE；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
19．（17分）如图，已知圆柱下底面圆的直径AB＝6，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，圆柱的两条母线CD＝BE＝3．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
2022-2023学年浙江省绍兴市上虞区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若复数，则z的虚部为（ ）M
A．﹣2+iB．iC．﹣2D．1
【考点】复数的运算．
【答案】D
【分析】化简复数z，可得其虚部．
【解答】解：复数z＝＝＝﹣2+i，则z的虚部为1．
故选：D．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
2．（5分）P是△ABC所在平面上一点，满足||﹣||＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
【考点】向量的三角形法则．
【答案】B
【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出•＝0，即⊥，△ABC是直角三角形．
【解答】解：P是△ABC所在平面上一点，且||﹣||＝0，
∴||﹣|（﹣）+（﹣）|＝0，
即||＝|+|，
∴|﹣|＝|+|，
两边平方并化简得•＝0，
∴⊥，
∴∠A＝90°，
则△ABC是直角三角形．
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，也考查了模长公式应用问题，是基础题．
3．（5分）在△ABC中，若，，，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】B
【分析】运用向量的三角形法则和向量垂直的条件，以及向量的数量积的定义，结合直角三角形的勾股定理和锐角三角函数的定义，计算即可得到．
【解答】解：由于，＝﹣，
即有|+|＝|﹣|，
两边平方可得•＝0，
即有⊥，
由勾股定理得||＝＝2，
则＝
＝﹣||cs∠ABC＝﹣1×＝﹣．
故选：B．
【点评】本题考查向量的三角形法则和向量垂直的条件，同时考查向量的数量积的定义，属于基础题和易错题．
4．（5分）设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既充分也不必要条件
【考点】平面与平面垂直；充分条件与必要条件．
【答案】A
【分析】m⊂α，则“m⊥β”⇒“α⊥β”，反之不成立，可能α与β相交不垂直．即可判断出结论．
【解答】解：m⊂α，则“m⊥β”⇒“α⊥β”，反之不成立，可能α与β相交不垂直．
∴m⊂α，则“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．（5分）设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若2＝•，则B．若，则∥
C．若，则D．若，则
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；命题的真假判断与应用；向量的概念与向量的模．
【答案】C
【分析】A中，举例说明选项A错误；
B中，λ＝μ＝0时，＝，与不一定平行；
C中，两边平方得出cs＜，＞＝1，与共线；
D中，两边平方得出•＝0，不能得出．
【解答】解：对于A，当＝（1，0），＝（1，1）时，满足2＝•，但≠，选项A错误；
对于B，当λ＝μ＝0时，＝，则与不一定平行，选项B错误；
对于C，由，则+2||||+＝+2•+，cs＜，＞＝1，所以与同向，即，选项C正确；
对于D，若，则+2•+＝﹣2•+，所以•＝0，不能得出，选项D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．
6．（5分）已知四面体ABCD，△ABC是边长为6的正三角形，DA＝DB＝2，二面角D﹣AB﹣C的大小为π，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）
A．40πB．52πC．72πD．84π
【考点】球的体积和表面积．
【答案】B
【分析】确定球心E的位置，结合余弦定理，得出OG＝，最后解出R＝即可求解．
【解答】解：设AB的中点为O，连接OD，OC，则OD⊥AB，OC⊥AB，＝，
所以∠DOC是二面角D﹣AB﹣C的平面角，所以，
设四面体ABCD的外接球的球心为E，半径为R，则E在过△ABC的中心G且垂直平面ABC的直线上，也在过△ABD的中心H且垂直平面ABD的直线上，
在△OGC中，由余弦定理可得OG＝＝，
所以，
所以四面体ABCD的外接球的半径R＝，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝52π．
故选：B．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中档题．
7．（5分）某校组织高一1班，2班开展数学竞赛．1班40人，2班30人，根据统计分析，两班成绩的方差分别为，，记两个班总成绩的方差为s2，则（ ）
A．B．
C．D．
【考点】极差、方差与标准差．
【答案】B
【分析】根据题意，设1班成绩的平均数为，2班成绩的平均数为，两个班总成绩的平均数为，由总体的方差公式可得s2＝[+（﹣）2]+[+（﹣）2]，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，设1班成绩的平均数为，2班成绩的平均数为，
两个班总成绩的平均数为，
则有s2＝[+（﹣）2]+[+（﹣）2]＝≥．
故选：B．
【点评】本题考查总体数据的方差计算，注意总体方差的计算公式，属于基础题．
8．（5分）所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里S1、S2为两个底面面积，S0为中截面面积，h为高．如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD是边长1为的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【答案】B
【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决．
【解答】解：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为点G，H，连接DG，CH，
容易求得，．
取AD的中点O，连接GO，易得，则，
所以多面体的体积V＝VE﹣ADG+VF﹣BCH+VAGD﹣BHC＝2VE﹣ADG+VAGD﹣BHC
＝．
故选：B．
【点评】本题考查多面体的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知复数z1，z2，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1＝z2＝0
C．若z1z2∈R，则z1＝
D．若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点在一条直线上
【考点】复数的模；复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．
【答案】AD
【分析】根据题意，由共轭复数的定义分析A，举出反例可得B、C错误，由复数的几何意义分析D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，设z1＝a+bi（a、b∈R），若，则＝a+bi，故z2＝a﹣bi，
必有z2＝＝a﹣bi，A正确；
对于B，若z1＝1，z2＝i，则有|z1﹣z2|＝|z1+z2|，当z1＝z2＝0不成立，B错误；
对于C，若z1＝1+i，z2＝2﹣2i，有z1z2＝2，满足z1z2∈R，当z1≠，C错误；
对于D，设复数z1，z2对应的点为A和B，若|z﹣z1|＝|z﹣z2|，则z在复平面内对应的点是线段AB的中垂直，
故z在复平面内对应的点在一条直线上，D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查复数的计算，涉及复数的几何意义，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D． 在 上的投影向量的模为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【答案】BCD
【分析】以E为原点，，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，写出E，A，B，C，D的坐标，设O（0，y），y∈（0，），由∥，解得y，即O为CE的中点，即可判断B是否正确；对于C：由|++|＝|2+|＝||，即可判断C是否正确；对于A：由于CE⊥AB，则•＝0，即可判断A是否正确；对于D，计算在方向上的投影为，即可判断D是否正确．
【解答】解：由题意知，E为AB的中点，CE⊥AB，
以E为原点，，分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
则E（0，0），A（1，0），B（﹣1，0），C（0，），D（，），
设O（0，y），y∈（0，），
则＝（1，y），＝（﹣，y﹣），∥，
所以y﹣＝﹣y，解得y＝，
即O为CE的中点，
所以+＝，故B正确；
对于C：因为|++|＝|2+|＝||＝，故C正确；
对于A：因为CE⊥AB，所以•＝0，故A错误；
对于D：因为＝（，），＝（1，），
在方向上的投影为＝＝，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量的运算，解题中需要理清思路，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，AB，BC的中点，点P为线段D1F上的动点，则（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为45°
B．存在点P，使得C1G∥平面BEP
C．对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP
D．点B1到直线D1F的距离为4
【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；平面与平面垂直．
【答案】BCD
【分析】对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°；对于B，当点P与点D1重合时，四边形EGC1D1是平行四边形，C1G∥D1G，从而C1G∥平面BEP；对于C，连接CF，推导出CC1⊥EB，△BAE≌△CFB，CF⊥BE，从而BE⊥平面FCC1，进而平面FCC1⊥平面BEP；对于D，由余弦定理求出∠B1D1F＝45°，由此能求出点B1到直线D1F的距离．
【解答】解：对于A，由正方体的性质可得BC1∥AD1，两条异面直线D1C和BC1所成角即为∠AD1C＝60°，故A错误；
对于B，当点P与点D1重合时，由题知EG∥DC，EG＝DC，D1C1∥DC，D1C1＝DC，
∴EG∥D1C1，EG＝D1C1，
四边形EGC1D1是平行四边形，∴C1G∥D1G，
∵C1G⊄平面BEP，D1E⊂平面BEP，∴C1G∥平面BEP，故B正确；
对于C，连接CF，∵CC1⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴CC1⊥EB，
又AE＝BF，AB＝CB，∠A＝∠CBF，∴△BAE≌△CFB，
∴∠EBA+∠CFB＝90°，∴CF⊥BE，
∵CE，CC1相交，CF，CC1⊂平面FCC1，∴BE⊥平面FCC1，
又BE⊂平面BEP，∴对任意点P，平面FCC1⊥平面BEP，故C正确；
对于D，由正方体的性质得B1D1＝4，FD1＝＝6，B1F＝＝2，
∴cs∠B1D1F＝＝＝，
∴∠B1D1F＝45°，
∴点B1到直线D1F的距离为d＝B1D1sin∠B1D1F＝4×＝4，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查异面直线所成角、线面平行、线面垂直的判定、余弦定理、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）有四个大小、形状完全相同的小球，编号分别为1，2，3，4，现从中任取两个，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为 ．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【答案】．
【分析】先确定从四个球中任取两个的基本事件总数，再确定其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的基本事件个数，最后利用古典概型概率计算公式即可求出所求概率．
【解答】解：从四个球中任取两个的所有可能为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），
共6种，其中取出的小球中至少有一个号码为奇数的取法有5种，
故所求概率为：P＝．
【点评】本题考查古典概型概率计算公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．则角B＝ ．
【考点】二倍角的三角函数；正弦定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用正弦定理和三角公式得到csB的值，结合B为三角形内角即可求出角B的大小．
【解答】解：∵，
∴由正弦定理得：sinAsin2B﹣sin2A＝sin2AcsC，
∴2sinAsinBcsB﹣sinCsinAcsA＝sin2AcsC，
∵A∈（0，），
∴sinA≠0，
∴2sinBcsB＝sinCcsA+sinAcsC，
∴2sinBcsB＝sin（A+C），
∴2sinBcsB＝sin（π﹣B），
∴2sinBcsB＝sinB，
∵B∈（0，），
∴sinB≠0，csB＝，
∴B＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了正弦定理和三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
14．（5分）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”．如图，为测量杭州世纪中心塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高AB为 310 米．（结果保留整数，参考数据：cs80°≈0.174）
【考点】解三角形．
【答案】310．
【分析】由题意利用三角形的内角和定理可求∠CBD的值，在△BCD中，由正弦定理可得BC＝，在△ABC中可得AB＝tan∠ACB•BC，即可计算求解．
【解答】解：因为∠BCD＝70°，∠BDC＝30°，CD＝108米，
所以∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝80°，
在△BCD中，由正弦定理＝，可得BC＝＝，
因为在点C测得塔顶A的仰角为80°，可得∠ACB＝80°，
在△ABC中，因为tan∠ACB＝，可得AB＝tan∠ACB•BC＝tan80°×＝≈≈310，
则塔高AB为310米．
故答案为：310．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）设是不共线的两个非零向量．
（1）若，求证：A，B，C三点共线；
（2）若与共线，求实数k的值．
【考点】向量相等与共线；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可；
（2）由共线性质求出参数即可．
【解答】（1）证明：由，
得，，
则，所以，且有公共点B，
所以A，B，C三点共线；
（2）解：由题意，与共线，
则存在实数λ，使得，
即，
又是不共线的两个非零向量，
因此，解得，或，
故实数k的值是±4．
【点评】本题考查平面向量的线性运算及向量共线定理，属基础题．
16．（15分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求角C；
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求边c．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；
（2）根据三角形的面积公式可得ab＝40，由余弦定理计算可得a2+b2＝c2+40，结合（a+b）2＝（20﹣c）2计算即可求解．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，
，
，又0＜A＜180°，得sinA＞0，
所以，即，
由0＜C＜180°，解得C＝60°；
（2）由（1），得，则ab＝40，
由余弦定理，得，即，
得a2+b2＝c2+40．又a+b+c＝20，
所以（a+b）2＝（20﹣c）2，即a2+2ab+b2＝400﹣40c+c2，
即c2+40+80＝400﹣40c+c2，解得c＝7．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（15分）2023年为普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）若该中学参加这次竞赛的共有3000名学生，试估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数；
（2）估计参加这次竞赛的学生成绩的第75百分位数；
（3）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率．
【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．
【答案】（1）900；（2）82.5；（3）．
【分析】（1）由频率分布直方图求出成绩在[80，100]内的频率，即可估计人数；
（2）根据百分位数计算规则计算可得；
（3）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，
成绩在[80，100]内的频率为0.020×10+0.010×10＝0.3，
则估计全校这次竞赛中“航天达人”的人数约为3000×0.3＝900人；
（2）由频率分布直方图可知，成绩在[40，50）内的频率为0.005×10＝0.05，
成绩在[50，60）内的频率为0.015×10＝0.15，
成绩在[60，70）内的频率为0.020×10＝0.2，
成绩在[70，80）内的频率为0.030×10＝0.3，
成绩在[80，90）内的频率为0.020×10＝0.2，
所以成绩在80分以下的学生所占的比例为0.05+0.15+0.2+0.3＝70%，
成绩在90分以下的学生所占的比例为0.05+0.15+0.2+0.3+0.2＝90%，
所以成绩的75%分位数一定在[80，90）内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的75%分位数为82.5；
（3）因为，，，
所以从成绩在[70，80），[80，90），[90，100]内的学生中分别抽取了3人，2人，1人，
其中有3人为航天达人，设为a，b，c，
有3人不是航天达人，设为d，e，f，
则从6人中选择2人作为学生代表，
有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），
（d，e），（d，f），（e，f）共15种，
其中2人均为航天达人为（a，b），（a，c），（b，c）共3种，
所以被选中的2人均为航天达人的概率为．
【点评】本题考查频率分布直方图、百分位数、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（17分）如图，以AD所在直线为轴将直角梯形ABCD旋转得到三棱台ABE﹣DCF，其中AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD．
（1）求证：AD⊥BE；
（2）若，求直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【分析】（1）连接BD，DE，设AB＝2a，利用平面几何知识可得AD2+BD2＝AB2，可证AD⊥BD，同理可证AD⊥DE，进而可证AD⊥平面BDE，可证结论；
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，连接EM．过点D作DN⊥EM交EM于点N，连接AN．证明∠NAD就是直线AD与平面ABE所成的角，求解可得直线AD与平面CDF所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：连接BD，DE，设AB＝2a，则BC＝CD＝a，
由条件易得，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，
同理可得AD⊥DE，又BD∩DE＝D，BD，DE⊂平面BDE，
∴AD⊥平面BDE，DE⊂平面BDE，∴AD⊥BE；
（2）由（1）可得BD＝DE＝a，
∵，AE＝AB，∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝EB＝2α，∴ED2+BD2＝EB2，∴DE⊥BD．
又DE⊥AD，BD∩AD＝D，BD，AD⊂平面ABCD，∴DE⊥平面ABCD，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，连接EM．
由AD＝BD，所以M为AB的中点，又AE＝BE，所以EM⊥AB，
又EM∩DM＝M，EM，DM⊂平面DEM，∴AB⊥平面DEM，
又AB⊂平面ABE，∴平面DEM⊥平面ABE．
过点D作DN⊥EM交EM于点N，连接AN．
∴∠NAD就是直线AD与平面ABE所成的角．∵面CDF∥面ABE，
∴∠NAD就是直线AD与面CDF所成的线面角．
∵DE⊥DM，又DG＝a．DE＝a，DN＝a，∴AD＝a，
∴sin∠NAD＝＝，即直线AD与平面CDF所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查推理论证能力，属中档题．
19．（17分）如图，已知圆柱下底面圆的直径AB＝6，点C是下底面圆周上异于A，B的动点，圆柱的两条母线CD＝BE＝3．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）18．
【分析】（Ⅰ）由题意可得DC⊥AC，AC⊥BC，可证AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）设AC＝x，BC＝y，则x2+y2＝36，进而可求四棱锥A﹣BCDE体积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵DC为圆柱的母线，∴DC⊥平面ABC，
又AC⊆平面ABC，∴DC⊥AC．①，
∵AB是下底面圆的直径，∴AC⊥BC．②，
∵①②及BC∩DC＝C，BC⊂平面BCDE，DC⊂平面BCDE，
∴AC⊥平面BCDE．
又AC⊆平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCDE．
（Ⅱ）在Rt△ABC中，设AC＝x，BC＝y，则x2+y2＝36，
，
当且仅当 时，不等式取“＝”号．
故VA﹣BCDE的最大值为18．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查空间几何体的体积的计算，考查重要不等式的应用，属中档题．
考点卡片
1．充分条件与必要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
2．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
3．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
＝+sin2x
＝sin2x﹣cs2x+
＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）
∴其周期T＝＝π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
4．向量的概念与向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
5．向量相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
【命题方向】
了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．
6．向量的三角形法则
【知识点的认识】
三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作＝a，＝b，则向量 叫做与的和，记作，即+＝+＝
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
7．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||csθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）csθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
8．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设＝（x1，y1），＝（x2，y2），则∥（≠）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
9．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
12．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔＝z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z﹣＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+＝0且z≠0．
13．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
14．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|＝．
15．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的认识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
16．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体＝
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
17．异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
18．直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．
由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
19．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b
②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．
20．平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
21．直线与平面所成的角
【知识点的认识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cs φ|＝．
22．点、线、面间的距离计算
【知识点的认识】
23．古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题方法点拨】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
24．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
25．极差、方差与标准差
【知识点的认识】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【解题方法点拨】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数＝（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2＝[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S＝．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【命题方向】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA＝，
csB＝，
csC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A＝，
cs B＝，
cs C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA＝
csB＝
csC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝
sinC＝
相关试卷
浙江省绍兴市上虞区2023学年第二学期高三期末教学质量调测数学试卷与答案： 这是一份浙江省绍兴市上虞区2023学年第二学期高三期末教学质量调测数学试卷与答案，文件包含2023学年第二学期高三期末教学质量调测数学试卷docx、2023学年第二学期高三适应性考试答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共11页， 欢迎下载使用。
浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三上学期期末数学试卷（Word版附解析）： 这是一份浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三上学期期末数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三上学期期末数学试卷原卷版docx、浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三上学期期末数学试卷Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高三上学期期末数学试题： 这是一份浙江省绍兴市上虞区2022-2023学年高三上学期期末数学试题，共24页。
