2024东莞三校高二下学期4月期中考试数学含解析

这是一份2024东莞三校高二下学期4月期中考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
命题组组长：聂检华
考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 3C. 2或4D. 3或4
3. 随机变量的分布列如表：则（ ）
A. B. C. D.
4. 的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
5. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有
A. 34种B. 48种
C. 96种D. 144种
7. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )
A. 0.63B. 0.24C. 0.87D. 0.21
8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数求导正确的是（ ）
A B.
C. D.
10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B. 任取一个零件是次品概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对两个不相等正实数，，若，则.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数是__________.
13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
14. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________
四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15 （1）计算；
（2）已知，求的值．
16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
18. 甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．
（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．
（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；
②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．
19 设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试题
命题组组长：聂检华
考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 若函数，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：A.
2. 若，则（ ）
A. 2B. 3C. 2或4D. 3或4
【答案】C
【解析】
【分析】根据组合数公式的性质求解即可
【详解】因为，
所以或，
故选：C
3. 随机变量的分布列如表：则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中的概率和为可直接求得结果.
【详解】由分布列性质知：，解得：.
故选：A.
4. 的展开式中，含的项的系数是（ ）
A. B. 5C. 15D. 35
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式定理求解.
【详解】由二项式定理：，令，得，
所以项的系数为；
故选：C.
5. 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导数，再赋值计算即得.
【详解】函数，求导得，
当时，，
所以.
故选：A
6. 有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有
A 34种B. 48种
C. 96种D. 144种
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：,故选C.
考点：排列组合.
7. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( )
A. 0.63B. 0.24C. 0.87D. 0.21
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．
【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87．
故选：C．
8. 已知函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将原方程变形为或，然后分析的单调性，再对不同的进行分类讨论即可得到结果.
【详解】由于，故原方程等价于或.
由于当时，，故在上单调递减.
而当时，有，故此时，
从而当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减.
从而当时，有，而在上单调递减，，
所以有唯一解.
若原方程有四个不同的解，则存在四个不同的实数满足或，
而只有一个解，所以方程至少有三个解.
假设，则当时，当时，所以至多有一个解，矛盾，所以
假设，则当，时有，
从而在上至多有一个解，由在上单调递减知在上至多有一个解，
所以至多有两个解，矛盾，所以.
综上，有，即；
另一方面，当即时，设，
由于，，，
且.
故在，，上各有一个解，从而至少有三个解.
而，（因为），所以或有四个解.
综上，的取值范围是，即，D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于恰当选取不同的情况进行分类讨论，对于取值范围问题，需要严格证明命题成立当且仅当参数属于对应范围，而这往往意味着论证需要包含充分性和必要性两方面.
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接根据导数的运算法则及复合函数求导方法计即可判断．
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则，故C错误；
对于D：，故D正确．
故选：ABD．
10. 有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（ ）
A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B. 任取一个零件是次品的概率为0.0525
C. 如果取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用乘法公式、互斥事件加法求概率判断A、B正误；应用条件概率公式求C、D描述中对应的概率，判断正误.
【详解】A：由题意任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，正确；
B：由题设，任取一个零件是次品的概率为，正确；
C：由条件概率，取到的零件是次品，则是第2台车床加工的概率为，正确；
D：由条件概率，取到的零件是次品，则是第3台车床加工的概率为，错误.
故选：ABC
11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 函数有且只有1个零点
C. 存在正实数，使得成立
D. 对两个不相等的正实数，，若，则.
【答案】BD
【解析】
【分析】①对函数求导，结合函数极值的定义进行判断即可；
②求函数的导数，结合函数单调性及零点存在性定理，可判断出零点个数；
③利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值进行判断即可；
④设 ，则，构造函数并结合函数的单调性，可证明，再结合的单调性，可得到，即可得到，从而可得证.
【详解】A.函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；
B.，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；
C.若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；
D.令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以.故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断.综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 的展开式中的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案．
【详解】展开式的通项为，，
①令，则；
②令，则；
综上可得：展开式中项的系数为．
故答案为：．
13. 如图所示，在A，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
【答案】13
【解析】
【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案.
【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况.
若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况.
故答案为：13.
14. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______________
【答案】
【解析】
【详解】f′(x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)，令f′(x)＞0得x＜－1或x＞1，
令f′(x)＜0得－1＜x＜1，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，减区间为(－1,1)．
所以要使函数f(x)＝x3－x在(a,10－a2)上有最小值，只需，
即⇒－2≤a＜1.
四、解答题（本题5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （1）计算；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）15
【解析】
【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可；
（2）利用赋值法求解即可．
【详解】（1）；
（2）令，得，
令，得，
所以．
16. 某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人.
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列．
（2）利用条件概率转化求解即可．
【小问1详解】
由题可知的所有可能取值为0，1，2，
依题意得：，，，
的分布列为：
【小问2详解】设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
17. 已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．
（1）求实数、的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果.
【小问1详解】
解：因为，该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得.
【小问2详解】
解：由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.
18. 甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．
（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为，（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，，求，的解析式．
（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小哥”，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；
②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．
【答案】（1），； ；（2） ① 分布列见解析；期望为；②推荐小赵去甲快递公司应聘；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由已知可求得甲快递公司的“快递小哥”的日工资和乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式．
（2）①由条形图得x的取值范围为，分别求得，，，，由此可得的分布列，根据数学期望公式可得答案.
②求得甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较可得结论．
【详解】解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资中与送货单数的函数关系式为，．
乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式为．
（2）①由条形图得x的取值范围为，
，，
，，
所以的分布列为
故的数学期望为．
②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为，
所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），
由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．
故推荐小赵去甲快递公司应聘．
19. 设函数.
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）解决不含参数函数的单调性问题，先求原函数的导函数，接着分析导函数的正负即可得解；
（2）由已知函数的单调区间，先分析函数的极值，进而求出它一定属于的范围，再用零点存在定理验证能取遍整个范围即可
（3）在不等式两边取自然对数分离参数，将证明不等式的恒成立问题转变为求不含参数的函数的最值问题解决即可.
小问1详解】
因为函数，
则．
当时，即，这等价于，解得；
当时，即且，这等价于且，解得或；
所以函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是．
【小问2详解】
当时，，
由（1）可知在上递增，在上递减，如图所示：
一方面，在区间上，根据在上递增，在上递减，可知；
而区间上，显然.
故.
另一方面，设.
对，有，所以存在使得，即.
而对，有，所以存在使得，即.
综上，函数的取值范围为．
【小问3详解】
因为，所以，从而
在不等式两边同时取自然对数可得：对恒成立，
即大于在时的最大值.
由（2）可知，此时在处取得取得最大值，
所以的取值范围是．
【点睛】本题是函数导数综合题，考查借助导数研究函数的单调性、极值（最值）以及证明不等式的恒成立，属于难题.函数导数综合题的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
0
1
2
减
极小值
增
100
106
118
130
0.2
0.3
0.4
0.1