数学：海南省部分学校2024届高三下学期高考考前押题（二）试题（解析版）

这是一份数学：海南省部分学校2024届高三下学期高考考前押题（二）试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A. 11B. 13C. 16D. 17
【答案】D
【解析】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
因为，所以这组数据的上四分位数为.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，则
故选：B
3. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
所以，
故选：B
4. 已知的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A. B. 240C. 60D.
【答案】B
【解析】由题意可知：二项式系数之和为，可得，
其展开式的通项为，
令，解得，
所以其展开式的常数项为.
故选：B.
5. 设为数列的前项和，若，则（ ）
A. 4B. 8C. D.
【答案】B
【解析】当时，，所以，
整理得，所以.
故选：B．
6. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的3倍，则椭圆的焦距为（ ）
A. 3B. 4C. 1D. 2
【答案】D
【解析】依题意，椭圆短轴长为，得，则，
又的最大值是最小值的3倍，即，
所以，所以，则其焦距为.
故选：D
7. 已知函数为定义在上的函数的导函数，为奇函数，为偶函数，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，①
因为为偶函数，所以，②
对①两边求导可得，即，③
对②两边求导可得，即，④
对于A项，将代入②可得，故A项正确；
对于B项，将代入④可得，故B项正确；
对于C项，将代入④可得，将代入③可得，所以，故C项错误；
对于D项，由③可得，即，⑤
所以由④⑤可得，⑥
所以由⑥可得，即，⑦
由⑦可得，⑧
所以由⑦⑧可得，故8是的一个周期.
所以，
将代入④可得，即，
由C项知，，
将代入⑦可得，即，
所以
，故D项正确.
故选：C.
8. 已知函数，若
，则a，b，c大小关系为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，
则，
则关于直线对称，
当时，，
根据复合函数单调性知上单调递减，
且在上也单调递减，
则在上单调递减，再结合其对称性知在上单调递增.
令，则，，
所以在上单调递增，且，所以即.
令，则，
设，，
所以单调递减且，因此，
所以单调递减且，所以，即.
由得，所以.
又因为，且，
所以.
设，，则，
则在上单调递增，则，
即，即在上恒成立，
即，所以.
所以，则，
故，而，
即.
故选：D.
二、多选题
9. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 的最小正周期为
C. 在内有3个极值点
D. 在区间上的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于AB，根据函数的部分图象知，，
，，故AB正确，
对于C，由五点法画图知，，解得，
由于，所以，
.
令，则，
时，，时，，
当时，，当时，，当时，，
故在内有2个极值点，分别为，，故C错误，
对于D，，可得：，
故当此时取最大值，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为正实数，且为自然数，
所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，
故选：BC
11. 正方体中，，P在正方形内（包括边界），下列结论正确的有（ ）
A. 若，则P点轨迹的长度为
B. 三棱锥外接球体积的最小值是
C. 若Q为正方形的中心，则周长的最小值为
D.
【答案】BCD
【解析】因为，且，，所以，
取，的中点E，F，则，所以P点轨迹为圆弧EF，
因为，所以，A不正确；
由球的性质知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的垂线上，
的外接圆的圆心为的中点，且半径为，
当外接球半径最小时，的外接圆是球的大圆，
所以球半径R最小值为，外接球体积最小值是，B正确；
设Q关于平面的对称点为，
则，
又，所以的周长，C正确；
分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，，，，
所以
，
，
，
所以
.
D正确.
故选：BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题
12. 已知集合，，若，则______．
【答案】3
【解析】集合，，由，得，又，
因此，所以.
故答案为：3
13. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________.
【答案】
【解析】由题意，
若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种，
若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种，
若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种，
若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种，
若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种，
共有种，
而所有的上场顺序有种，
∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：,
故答案为：.
14. 已知，若，均有不等式恒成立，则实数的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】由题意知，，得
则，
令，则，即，得，
所以，，
又函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，且，
所以单调递减，单调递增，
故，
因为恒成立，即不等式在R上恒成立，
由，得，解得，
即实数n的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
15. 已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1） ，
因此，而，
故所求切线方程为，即；
（2）依题意，，故对任意恒成立.
令，则，
令，解得.
故当时，单调递增；
当时，单调递减，
则当时，取到极大值，也是最大值2.
故实数的取值范围为.
16. 某校组织建国75周年知识竞赛，在决赛环节，每名参赛选手从答题箱内随机一次性抽取2个标签.已知答题箱内放着写有类题目的标签4个，类题目的标签4个，类题目的标签2个，每个标签上写有一道不同的题目，且标签的其他特征完全相同.
（1）求选手抽取的2个标签上的题目类型不相同的概率；
（2）设抽取到写有类题目的标签的个数为，求的分布列和数学期望.
解：（1）所求概率为；
（2）的取值可能为0，1，2，
，，，
所以的分布列为
数学期望.
17. 如图，在四棱柱中，底面是矩形，，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
（1）证明；因为四边形为矩形，所以，
又，，，平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：因为，，，所以，
因为，
即，
所以，即，
由（1）可知，，，两两互相垂直，
以为原点，以直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的一个法向量，
则，取，则，
设平面的一个法向量，
则，取，则，
于是，
故二面角的正弦值为.
18. 已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由.
解：（1）由题焦距，解得，
由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则，
所以，所以椭圆的标准方程为.

（2）是定值.
已知，设，
直线的方程为，即，
代入并整理，得，
，
.，
三点共线，且与同向，
，
同理可得
，化简得，
，
所以为定值0.
19. 设数列，如果A中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组．若有序数组满足恒成立，则称为n阶减距数组；若有序数组满足恒成立，则称为n阶非减距数组．
（1）已知数列，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
（2）设是数列的一个有序数组，若为n阶非减距数组，且为阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组；
（3）已知等比数列的公比为q，证明：当时，为n阶非减距数组．
（1）解：4阶减距数组有：.
（2）解：满足条件的有序数组：

（3）证明：设，要证为阶非减距数组，
需证明恒成立，
即证，
需证即
需证即证.
当时，因为，则，，
所以；
当时，因为，则，，
所以；
综上：当时，为n阶非减距数组.
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