数学：湖南省株洲市天元区部分校2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：湖南省株洲市天元区部分校2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 在下列四组数中，属于勾股数是， 我们知道，圆的周长公式是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题
1. 习近平主席在贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2. 已知∠A，∠B为直角△ABC两锐角，∠B＝54°，则∠A＝（ ）
A. 60°B. 36°C. 56°D. 46°
【答案】B
【解析】∵∠A，∠B为直角△ABC两锐角，
∴，
故选：B．
3. 在下列四组数中，属于勾股数是（ ）
A. 1，2，3B. 1，，C. 3，4，5D. 4，5，6
【答案】C
【解析】A.，不是勾股数，不符合题意；
B.，不是整数，不符合题意；
C.，是勾股数，符合题意；
D.，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
4. 我们知道，圆的周长公式是：，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是（ ）
A. 2是常量，是变量B. 是常量，是变量
C. 2是常量，是变量D. 2是常量，是变量
【答案】B
【解析】圆的周长计算公式是，C和r是变量，是常量，
故选：B．
5. 在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意知：点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标为（1，2）．
故选：C．
6. 如图，是正方形的边延长线上的一点，且交于点，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】正方形对角线平分直角，故，
又∵，
∴．
∵正方形中，
∴，
∴，
故选：D．
7. 正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
正比例函数函数值随x的增大而减小，
∴，
∴一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：A．
8. 一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵直线与x轴交点坐标为，
∴的解为，
故选：B．
9. 在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】当时，正比例函数经过第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限；
当时，正比例函数经过第二、四象限，一次函数经过第一、二、四象限；
对照各选项中的图象，只有A符合．故选：A．
10. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为（ ）
A. 2+2B. 4C. 4D. 6
【答案】A
【解析】连结DE，BD，PD，使DE交AC于点P′．
∵BE的长度固定，
∴当△PBE的周长最小时，PB+PE的长度最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相垂直平分，
∴PD=PB，
∴PB+PE=PD+PE≥DE，
即PB+PE的最小长度为DE的长，此时点P与点P′重合，
∵菱形ABCD的边长为4，∠DAB=60°，
∴∠BCD=60°，BC=DC，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=CD=4，
∵E为BC的中点，
∴BE=2，DE⊥BC，
∴，
即PB+PE的最小长度为，
∴△PBE的最小周长为，
故选：A
二．填空题
11. 在平面直角坐标系中，点在第二象限，则____0．
【答案】＜
【解析】∵点P（a，b）第二象限，
∴ a<0，b＞0
∴ab<0．故答案为：<．
12. 如果将直线向下平移2个单位，那么所得直线的表达式是________
【答案】
【解析】∵直线向下平移2个单位，
∴，即；
故答案为：．
13. 如图，小刚在一个正五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角度是____________度．
【答案】72
【解析】小刚跑步方向改变的角度是正五边形的外角的度数，即，
故答案为：72．
14. 如图，中，已知是中位线，则的长为_________．

【答案】
【解析】∵在中，，，，
∴，
∵是中位线，
∴，故答案为：．
15. 如图，平行四边形的周长为，相交于点O，交于点 E， 则的周长为 __________．

【答案】
【解析】∵平行四边形的周长为，
∴，，，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
16. 如图，直线与轴轴分别交于点、，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，若点是第二象限内的直线上的一个动点，当的面积为9时，点的坐标为______．
【答案】
【解析】∵直线过点，，
∴，解得：，
∴一次函数解析式为：，
∵点是第二象限内的直线上的一个动点，
∴，且，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点P的坐标为．
17. 2022年是中国农历壬寅年，小阳同学利用一副七巧板拼出如图所示的“老虎”．已知七巧板拼成的正方形边长是4，则点A到直线的距离为____________．
【答案】
【解析】∵大正方形的边长为4，
∴大等腰直角三角形斜边的边长为4，小正方形的对角线长为2，右下角等腰直角三角形的直角边为2，连接AF，过D作DM⊥AF于点M，过点G作GH⊥BC于点H，如图所示：
∴，
∴，，，
点A到直线的距离为：，
故答案为：．
18. 如图，四边形是矩形，点的坐标为，，把矩形沿折叠，点落在点处，交于点，则点的坐标为__________．

【答案】
【解析】，，
，，
四边形是矩形，
，
，
由折叠得，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为，
故答案为：．
三．解答题
19. 计算：
解：．
20. 先化简，再求值：，其中．
解：
，
将代入得，原式．
21. 如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度；已知．
（1）作出关于轴对称的（不写做法）．
（2）作出关于原点对称的并写出点的坐标（不写做法）．
（3）求的面积．
解：（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作，点的坐标为．

（3）的面积为．
22. 如图，E，F 是四边形的对角线上点， ，，．
求证：
（1）；
（2）四边形是平行四边形．
（1）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴；
（2）证明：由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
23. 为了解学生参加户外活动的情况，和谐中学对学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：
（1）求被抽样调查的学生有多少人？并补全条形统计图；
（2）每天户外活动时间的中位数是 小时？
（3）该校共有1850名学生，请估计该校每天户外活动时间超过1小时的学生有多少人？
解：（1）由条形统计图和扇形统计图可得，
0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，
故被调查的人数有：100÷20%=500，
1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80=120，
补全的条形统计图如下图所示，
（2）由（1）可知被调查学生500人，第250个数据和第251个数据都在1小时的条形内，故中位数是1小时，
故答案为：1；
（3）由题意可得，
该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：=740人，
即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有740人．
24. 小丽在物理实验课上利用如图所示“光的反射演示器”直观呈现了光的反射原理．她用激光笔从量角器左边边缘点A处发出光线，经量角器圆心O处（此处放置平面镜）反射后，反射光线落在右边光屏CE上的点D处（C也在量角器的边缘上，O为量角器的中心，C、O、B三点共线，，）．小丽在实验中还记录下了，．依据记录的数据，求量角器的半径长．
解：设，
∵，．
∴，
在 中，
由勾股定理得：，
即，∴；
25. 定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．
（1）若特征数是[k－1，k2－1]的一次函数为正比例函数，求k的值；
（2）在平面直角坐标系中，有两点A(－m，0)，B(0，－2m)，且△OAB的面积为4(O为原点)，若一次函数的图象过A，B两点，求该一次函数的特征数．
解：（1）∵特征数为[k﹣1，k2﹣1]的一次函数为y=（k﹣1）x+k2﹣1，∴k2﹣1=0，k﹣1≠0，∴k=﹣1；
（2）∵A（﹣m，0），B（0，﹣2m），∴OA=|﹣m|，OB=|﹣2m|，若S△OBA=4，
则•|﹣m|•|﹣2m|=4，m=±2，∴A（2，0）或（﹣2，0），B（0，4，）或（0，﹣4），
∴一次函数为y=﹣2x﹣4或y=﹣2x+4，
∴过A，B两点的一次函数的特征数[﹣2，﹣4]，[﹣2，4]．
26. （1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． 求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段绕点B逆时针旋转，得到线段、过点A，C作直线，求直线的函数解析式：
②如图3，长方形，点O为坐标原点，点B的坐标为，A，C分别在坐标轴上，点P是线段上动点，已知点D在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
（1）证明：由题意知，，
∵，
∴，即，
又∵，
∴；
（2）①解：当时，，即；
当时，，
解得，
∴，
如图2，作轴于，
由旋转的性质得，，
同理（1），
∴，
∴，
设直线的函数解析式为，
将、代入得，，
解得，
∴直线的函数解析式；
②解：设，
由题意知，当是不以点A为直角顶点的等腰直角三角形，分点、点为直角顶点两种情况求解；
当点为直角顶点时，分点在矩形内部、在矩形外部两种情况；
如图3，点在矩形内部，过作轴于，于；
则，，
∴，，
∵，
∴同理（1），
∴，即，
解得，，
∴；
如图4，点在矩形外部，过作轴于，的延长线于；
则，，
∴，，
同理，
∴，即，
解得，，
∴；
综上，或；
当点为直角顶点时，如图5，作的延长线于，
∴，
由题意知，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，解得，，
∴；
综上所述，所有符合条件的点D的坐标为或或．