数学：山东省泰安市新泰市2024年中考三模试题（解析版）

这是一份数学：山东省泰安市新泰市2024年中考三模试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1. 下列各数中最小的数是
A. B. C. D. 0
【答案】A
【解析】根据实数比较大小的方法，可得，
各数中最小的数是．
故选A．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】A、与不是同类项，所以原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算正确，故符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选B．
3. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
4. 如图，直线，的顶点C在直线b上，直线a交于点E， 交于点F，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
5. 华为麒麟990芯片采用了最新的0.000000007米的工艺制程，数0.000000007用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】数0.000000007用科学记数法表示为．
故选：A．
6. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】是的直径，
，
，
，
，

，
，
．
故选：D．
7. 如图是泰安市2024年3月上旬的每天气温绘成的折线统计图，则下列四个结论：①3月上旬某天最大温差为；②3月上旬最高气温的众数是5；③3月上旬最低气温平均数是；④3月上旬最高气温的方差小于最低气温的方差．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】由统计图可知，3月上旬某天最大温差为，故①说法错误；
3月上旬最高气温和都出现了3次，
∴3月上旬最高气温的众数是5和7，故②说法错误；
，
∴3月上旬最低气温平均数是，故③说法正确；
由统计图可知，最高气温的波动比最低气温的波动要大，即3月上旬最高气温的方差大于最低气温的方差，故④说法错误；
∴说法正确的只有1个，
故选；A．
8. 明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得，，
故选B．
9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC= ，
又∵AE垂直平分DC，
∴ ，
∴AE= ，
∴CE= ,
∴CD=2CE= ，
∴DB=CB-CD= ，
∴,
故选择C.
10. 一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】观察一次函数图像可知，
∴二次函数开口向下，对称轴，故选：D．
11. 如图，正方形中，E是上一点， 将沿翻折得，点A的对应点是点F，直线与交于点H，与的平分线交于点G，连接，下列说法：①；②；③若连接，则；④若正方形边长为2，E为的中点，则．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】根据翻折可知，点A和点F关于对称，
∴．
∵是的平分线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．故①正确；
如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四点共圆，
∴，故②正确；
如图所示，连接，
∵，
∴四点共圆，
∴，
∴，故③正确；
∵正方形的边长为2，点E是的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∴正确的有4个，
故选：D．
12. 如图，矩形，，，E为边上的动点，F为边上的动点，，连接， 作于H点，连接．则线段的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，延长交于G，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当点H在上时，有最小值，最小值为，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题102分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
13. 已知关于一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__．
【答案】且
【解析】∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得且．
14. 如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为__．
【答案】3
【解析】如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，，
∴，
设半径为x，则，
在直角三角形中，由勾股定理得，即，
∴．
∴半径的长为3，
故答案为：3．
15. 如图所示，某数学兴趣小组利用无人机测大楼的高度，无人机在空中点处，测得点距地面上点米，点处俯角为，楼顶点处的俯角为，已知点与大楼的距离为米（点，，，在同一平面内），则大楼的高度B__米．（结果精确到米，参考数据：）
【答案】
【解析】如图，过点P作于H，过点C作于点Q．
，
则四边形是矩形，
，，
由题意可得：，，，，
，，
，
，
，
答：大楼的高度为米．
故答案为：．
16. 如图，已知菱形，连接，若，，，点F在上，点E在上，连接、，则的最小值是__．
【答案】3
【解析】如图，连接，设交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时，有最小值，最小值是的长度，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，则，
∴，
∴，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
17. 如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，现从矩形内部随机取一点，若，则该点取自阴影部分的概率为______．

【答案】
【解析】连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴，，
∴扇形的面积为：，
∵的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
矩形的面积为，
该点取自阴影部分的概率为．
故答案为：．
18. 细心观察下面图形，其中，表示图中第个三角形的面积，认真分析各式：，，，，，；若一个三角形的面积是，则说明这是第__个三角形．
【答案】
【解析】∵每一个三角形都是直角三角形，
∴由勾股定理可求得：，…，，
∴．
∴，
∴当一个三角形的面积是时，则有，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. （1）计算：；
（2）化简：．
解：（1）
；
（2）
.
20. 某校为了解七、八年级学生对泰山文化的了解程度，组织了一次泰山文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示），共分成四个等级（A：，B：，C：，D．）．下面给出了部分信息：
七年级参赛的学生C等级的成绩为：92、92、93、94
八年级参赛的学生D等级的成绩为：95、95、95、97、100
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表：
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空： ， ；
（2）七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角度数是 ；
（3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次．”你同意小明的说法吗？并说明理由．
（4）小明和小红各自打算随机选择周日的上午、下午或者晚上去泰山景区游玩．求他们两人中至少有一人选择晚上游玩的概率．
解：（1）七年级中，组人数为，
把七年级人的成绩从低到高排列，第、人的成绩分别为，，故中位数，
八年级中成绩出现次数最多的是，故；
故答案为：，；
（2）七年级组的占比为，
∴七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角度数是
故答案为：．
（3）同意小明的说法，理由如下：
∵七年级的中位数为分，小明的成绩是分，
小明在七年级班中是前名，
∵八年级的中位数是分，学生小亮的成绩是分，
小亮在八年级班中后名，
∴同意小明的说法．
（4）设分别用A、B、C表示周日的上午，下午和晚上，列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他们两人中至少有一人选择晚上游玩的结果数有5种，
∴他们两人中至少有一人选择晚上游玩的概率为．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象在第一象限交于点A，B，且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为E，D，且．已知A（m，1），AE＝4BD．
（1）填空：m= ；k= ；
（2）求B点的坐标和一次函数的解析式；
（3）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位，使它与反比例函数图象有唯一交点，求m的值．
解：（1）由反比例函数k的几何意义知：，因为图象在第一、三象限，所以k=4，
∵点A（m，1）在上，∴m=4.
故答案为4， 4；
（2）∵BD⊥y轴，AE⊥y轴，AE＝4BD，A（4，1），
∴AE＝4，BD＝1，
∴xB＝1，∴yB＝4，
∴B（1，4），
将A（4，1），B（1，4）代入y＝kx+b，得，解得，k＝﹣1，b＝5，
∴；
（3）设直线AB向下平移后解析式为，
联立：，即，整理得：
∵一次函数与反比例函数图象有唯一交点，
∴△＝0，即，
解得：=9或1.
22. 2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支．
（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？
（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？
解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元；
（2）设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔，
由题意得，
解得，
答：学校最多购买了90支钢笔作为奖品．
23. 如图1，在正方形中，为对角线上一点，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，过点作交于点，延长至点，使得，连接．证明：．
证明：（1）在正方形中，，，
，
，
；
（2），，
，
，，
又，
，
，，
由（1），
，，
，
，
，
，
，
，即
24. 已知：如图，在菱形中，点E是边上的任意一点（不与点D、C重合），交对角线于F，过点E作．交于点G．
（1）问题探究：求证：；
（2）迁移运用：当时，求证：．
（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与y轴交点C，抛物线经过B，C两点，与轴交于另一点A．如图1，点P为抛物线上任意一点．过点P作轴交于M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当是直角三角形时，求P点坐标；
（3）若点P是直线上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点P作y轴的平行线交直线于点M， 作于点N， 当的周长最大时，请在轴上找到一点Q，使的周长最小，并求出最小值．
解：（1）在中，当时，，当时，，
∴、；
∵抛物线的图象经过，两点
∴，∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵抛物线的解析式为，
∴对称轴为直线，
当时，则，
∵轴，
∴轴，
∴此时点C和点P关于抛物线对称轴对称，
∵，
∴点的坐标为；
如图所示，当，设直线与x轴交于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴点P的坐标为；

∵不可能垂直，
∴；
综上所述，点的坐标为或；
（3）在，由勾股定理得，
∴
∵轴，
∴，
∵，
∴在，，
∴，
∴的周长，
∴当最大时，的周长最大，
设，则
∴，
∵，
∴当时，有最大值，即此时的周长最大，
∴此时点P的坐标为；
如图所示，作点P关于x轴的对称点H，连接，则，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴的周长，
∴当C、Q、H三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
∵，
∴的周长最小值为．
同理可得直线解析式为，
在中，当时，，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，勾股定理，轴对称最短路径问题等等，解（2）的关键在于分两种情况，解（3）的关键在于把求的周长最大值转换成求线段的最大值。
班级
平均分
中位数
众数
七年级
92
92
八年级
92
94
小明
小红