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2024年甘肃省天水市麦积区第三次中考检测模拟三模数学试题（原卷版+解析版）
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一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
7. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A. B. C. D.
9. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程解是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：_______________．
12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______．
13. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________cm．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
16. 如图，矩形的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为____________．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 先化简，再求值：，其中
20. 已知：如图1，线段线段．
求作：菱形使其两条对角线的长分别等于线段的长．
作法：①如图1，作线段的垂直平分线，交线段于点；
②如图2，作射线，在上截取线段；
③作线段的垂直平分线交线段于点；
④以点为圆心，线段的一半为半径作弧，交直线于点；
⑤连接．
四边形就是所求作的菱形．
问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
四边形是_
四边形是菱形．（_____________）（填推理的依据）．
21. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米，求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，）
四、解答题（本大题共5个小题，共50分）
23. 为激发学生参与劳动兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：
（1）根据给出的信息补全条形统计图；
（2）计算图2中折纸龙所在扇形圆心角的度数；
（3）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“做香囊”课程的教室至少需要几间．
24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若的面积等于6，求点E的坐标．
25. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
26. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在同侧），连接，，，求证：．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
A“杂交水稻之父”袁隆平
B“天眼之父”南仁东
C“航天之父”钱学森
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，，平分，且，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（ ）．
A. B. C. D.
7. “准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具， 一个简单结构的“矩”（如图①），由于使用时安放的位置不同，能测定物体的高低远近及大小，把矩放置在如图②所示的位置，令（单位： ），（单位：），若，则关于的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A. B. C. D.
9. 对于实数、，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程解是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P由点A出发，沿A→B→C的路径匀速运动，过点P向对角线AC作垂线，垂足为Q，设AQ＝x，△APQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式：_______________．
12. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于用科学记数法表示为______．
13. 若关于x一元二次方程有实数根，则k的取值范围为______．
14. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________cm．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．
16. 如图，矩形的顶点A、B分别在x轴，y轴上，，将矩形绕点O顺时针旋转，则第2023次旋转结束时，点C的坐标为____________．
三、解答题（本大题共6个小题，共46分）
17. 计算：．
18. 解不等式组：．
19. 先化简，再求值：，其中
20. 已知：如图1，线段线段．
求作：菱形使其两条对角线的长分别等于线段的长．
作法：①如图1，作线段的垂直平分线，交线段于点；
②如图2，作射线，在上截取线段；
③作线段的垂直平分线交线段于点；
④以点为圆心，线段的一半为半径作弧，交直线于点；
⑤连接．
四边形就是所求作的菱形．
问题：（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：，
四边形是_
四边形是菱形．（_____________）（填推理的依据）．
21. 5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛．
（1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果；
（2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
22. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为表）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为米，求表的长（最后结果精确到米）．（参考数据：，，，）
四、解答题（本大题共5个小题，共50分）
23. 为激发学生参与劳动兴趣，某校开设了以“端午”为主题的活动课程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选且只选其中一门，随机调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图表信息回答下列问题：
（1）根据给出的信息补全条形统计图；
（2）计算图2中折纸龙所在扇形圆心角的度数；
（3）本校共有1000名学生，若每间教室最多可安排30名学生，试估计开设“做香囊”课程的教室至少需要几间．
24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若的面积等于6，求点E的坐标．
25. 如图，在中，，点在上，以为圆心，为半径的半圆分别交，于点，且点是弧的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．
26. （1）【问题初探】在数学活动课上，李老师提出如下问题：如图1，四边形中，，，平分，求证：．
①如图2，豆豆同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段的数量关系转化为与的数量关系；
②如图3，乐琪同学从平分这个条件出发，想到将沿翻折，所以她延长线段到点F，使，连接，发现了与的数量关系；
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】李老师发现两名同学都运用了转化的数学思想，为了帮助学生更好的感悟转化思想，李老师提出了下面的问题，请解答．
如图4，中，，平面内有点D（点D和点A在同侧），连接，，，求证：．
（3）【学以致用】如图5，在（2）的条件下，若，，请直接写出线段的长度．
27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，且直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
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