2024年福建省厦门市湖里中学中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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（试卷满分：150分 练习时间：120分钟）
注意事项：
1．全卷三大题，25小题，试卷共6页，另有答题卡．
2．答题一律写在答题卡上，否则不能得分．
3．可直接使用2B铅笔画图．
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接从上往下看，得到的是一个六边形，即可选出正确选项．
【详解】解:从上往下看直六棱柱，看到的是个六边形；
故选：C．
【点睛】本题考查了三视图的相关内容，要求学生明白俯视图是对几何体进行从上往下看得到的视图，实际上也是从上往下得到的正投影，本题较为基础，考查了学生对三视图概念的理解与应用等．
3. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
4. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝3，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方．熟练掌握它们的运算方法及公式是解题的关键．
根据积的乘方；完全平方公式；合并同类项法则；同底数幂的乘法法则；分别计算判断即可．
【详解】A．，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确；
故选D．
6. 如图，函数的图象经过点B（m，0）（），与函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出A点坐标，再通过函数图象求得符合条件的x的范围．
【详解】解：∵点A在函数的图象上，A点纵坐标为2，
∴在函数中，令y=2，解得x=1，即A点坐标为．
由图可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，
即当时，不等式成立，
∴不等式解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，以及一次函数与不等式的关系，求出A点坐标，运用数形结合的思想求得不等式的解集，是解题的关键．
7. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有x人，可列方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，得．
故选：A．
8. 某校6名学生的体育成绩统计如图所示，关于这组成绩的数据，以下说法中正确的是（ ）
A. 中位数是24.5B. 平均数是26C. 众数是24D. 方差是5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，众数，中位数，平均数，方差的定义，解答本题的关键是明确题意，提取统计图中的有效信息解答．根据众数，中位数，平均数，方差的定义求解即可．
【详解】解：根据折线统计图，6名学生的体育成绩分别为：，
中位数为：，故A选项错误；
平均数为：，故B选项正确；
众数为：26，故C选项错误；
方差为：，故D选项错误；
故选：B．
9. 如图，在中，，O是边上一点，以点O为圆心，为半径作圆O，恰好与相切于点D，连接．若，则值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数，根据题意作辅助线是解决问题的关键．连接，证明，得出，则，由得出结论．
【详解】解：连接
∵恰好与相切于点D
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
故选：B．
10. 若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，把A、B、C三点代入解析式，求出的关系即，然后求出抛物线的对称轴直线，将所求点通过对称转化到对称轴的一侧，然后利用二次函数的函数值随自变量的变化关系，比较大小即可．
【详解】解：根据题意，把点、、代入，则，
消去c，得，整理得
∴抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称的点坐标为
∵
∴由函数的图象与性质可知，当时，y随着x的增大而减小
∴
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键在于求出函数的对称轴，利用抛物线的性质进行求解．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 如果小明向东走6米，记作米，则他向西走4米记作_____．
【答案】米
【解析】
【分析】根据正负数的意义即可求解．
【详解】解：由题意，向西走记为负，
所以向西走4米记作米，
故答案：米．
【点睛】本题考查了正负数的实际应用，理解用正负数可以表示具有相反意义的量是解题关键．
12. 某批次100个防护口罩中有2个不合格，从这100个口罩中随机抽取1个，恰好取到不合格口罩的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．
【详解】∵100个防护口罩中，有2个是不合格产品，
∴从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 在菱形中，，，则菱形的周长为______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是掌握菱形的性质．
【详解】解：∵四边形菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴菱形的周长，
故答案为：16．
14. 若一个二次函数的最小值为3，则该二次函数的表达式可以是___________．（写出一个符合题意的函数表达式即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最小值为3，则函数的开口向上，顶点坐标为，据此即可写出函数解析式，正确理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数的最小值为3，
∴函数的开口向上，顶点坐标为，
∴函数的表达式可以为：，
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，在中，，连接，，分别交于点M，N．则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，由平行四边形的性质得，，由，推导出，再证明，，则，，求得，，则，所以，于是得到问题的答案．证明，是解的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，同理：，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的数的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，根据反比例函数的性质可得点在线段上，且，由点是反比例函数的图象上的点，可得，由轴，可得点的坐标为，进而可得的长，从而可以判断四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据三角形的面积公式可得，整理得：．
【详解】解：连接，，如图，

、关于原点对称，且是反比例函数的图象上的两点，
点在线段上，且，
是反比例函数的图象上的点，
，
∥y轴，
点的坐标为，
，
同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
整理得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的判定与性质、三角形面积等知识，属于常考题型，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分别根据负整数指数幂的运算法则、零指数幂，二次根式的性质、特殊角的三角函数值进行化简，再合并即得结果．
【详解】解：原式
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】不等式组求解，需要将每个不等式单独求解，再求其公共部分，最后得出答案．
【详解】解：
解不等式①，得
，
，
解不等式②，得
，
，
，
所以这个不等式组的解集是
．
故答案为：
【点睛】本题考查不等式组的求解，要牢记同大取大，同小取小，大于小，小于大，取中间，大于大，小于小无解，这是解题的关键．
19. 如图，四边形是平行四边形，E，F分别是边，上的点，．证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】方法一：证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得结论；方法二：证明，利用全等三角形的性质即可得结论．
【详解】方法一
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
方法二
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，．
∵，
∴．即．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及其判定方法，熟练运用平行四边形的性质及判定方法是解决问题的关键．
20. 先化简，后求值：，其中．
【答案】；．
【解析】
【分析】首先计算括号里面的减法，然后再算括号外的除法，化简后，再代入x的值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查的知识点是分式的化简求值，掌握化简过程中的运算顺序和分式的化简是解此题的关键．
21. 某学校初中各年级进行体质健康测试，为了解学生成绩，从七年级和九年级各随机抽取40名学生的成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.
a.七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成5组：，）

b.七年级成绩在这一组的是：
82 82 83 84 85 85 85 87 87 88 88
c.七年级、九年级成绩的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，不少于90分就可以赋予“优秀”等级，七年级赋予“优秀”等级的学生人数为，九年级赋予“优秀”等级的学生人数为，判断大小，并说明理由；
（3）该校共有七年级学生310人，不少于80分就可以赋予“良好”等级，估计该校七年级所有学生本次体质健康测试成绩等级为良好及以上的人数为___________（直接写出结果）.
【答案】（1）87 （2），理由见解析
（3）217
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义及七年级组的数据求解；
（2）比较两组数据的中位数即可；
（3）利用样本估计总体思想求解．
【小问1详解】
解：由条形统计图及知组的数据可知，将七年级成绩的数据按从小到大顺序排列，第20位和第21位均是87，
因此七年级成绩的中位数是87，
即m的值为87；
【小问2详解】
解：，理由如下：
七年级成绩的中位数是87，九年级成绩的中位数是90，
九年级成绩的中位数大于七年级成绩的中位数，
；
【小问3详解】
解：（人），
故答案为：217．
【点睛】本题考查中位数，利用中位数做决策，利用样本估计总体等，解题的关键是掌握中位数的定义．
22. 如图，是的外接圆，，，交的延长线于点D，交于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学的知识解决问题，属于中考常考题．
（1）连接，利用已知条件求证，即可求解；
（2）根据已知条件可求证，利用相似三角形的线段比可求出半径，即可求解．
【小问1详解】
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵且，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
23. 为了更好地检测复学后学生进校时的体温情况，某小学购买了如下左图所示的带支架的红外热成像仪，该仪器能探测从仪器旁经过学生的体温，若超过就会发出警报．该仪器由三根等长的斜拉支架和一根竖直支架共同支撑上边的红外测温仪已知四根支架总长为5.5米，一根斜拉支架与竖直支架的长度比为3：2．
（1）如图1，当斜拉支架与地面的夹角为时，请计算红外测温仪距离地面的高度（连接处均忽略不计）；
（2）在使用期间发现，将顶端测温仪倾斜与水平线夹角为，斜拉支架与铅垂线的夹角也是时，学生（按平均身高）走到距离点米的点处时，测温仪与学生的额头恰好在一条直线上，这样调整能使测量的温度比较准确（如图2所示），请结合题中所给数据计算学生的平均身高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，）
【答案】（1）2.4米；（2）1.6米
【解析】
【分析】（1）根据题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，然后列出方程求出x，再利用解直角三角形，即可求出答案；
（2）过点作于点，由解直角三角形，以及平行线分线段成比例即可求出答案．
【详解】解：（1）由题意，设竖直支架的长为米，则一根斜拉支架的长为米，依题意得：
解得，，
∴一根斜拉支架的长为1.5米，竖直支架的长为1米．
在中，，
∴米．
则红外测温仪距离地面的高度为：（米）．
（2）如图，过点作于点，
由题意得．
在中，，，
则米，米，
∴（米）．
在中，，
∴，
∴米．
∴学生平均身高为：（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线分线段成比例的性质，以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解直角三角形，注意数形结合的思想进行解题．
24. （1）问题提出】
如图1，在中，，，点D为边上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是______
（2）【问题探究】
如图2，将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，试判断，，的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
若，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长______（用含m的式子表示）．
【答案】（1）等边三角形；（2）理由见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，再由等边对等角和三角形外角性质得，然后由等边三角形的判定定理得出结论．
（2）延长到点G，使，连接，．先证明，得，．再解直角三角形得，，
，从而得．继而证明，得，得，从而求得．在中，，所以，即可得出结论．
（3）根据题意作出图形，当点在线段上时，延长到点，使，连接，同（2）法可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴
∵
∴，
∵
∴是等边三角形．
（2）．
理由：如图1，延长到点G，使，连接，．
点F为的中点，
．
，
，
，．
，，
，
，，
，，
．
，
，
，
，
，
即，
．
在中，
为等边三角形，即．
（3）解：如图，当点在线段上时，延长到点，使，连接，

在中，
∵，，
∴，．
∵，
∴
在中，
∵，，
∴，，
∴在中，．
∵，为的中点，
∴，，
∴
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解直角三角形．本题属三角形综合题目，熟练掌握三角形相关判定与性质是解题的关键．
25. 如图1，抛物线与x轴交于点，B，与y轴交于点C，直线的解析式为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是上方抛物线上一点，过点P作的平行线与交于点E，与x轴交于点Q，若，求点P的坐标；
（3）如图2，P是上方抛物线上一点，过点P作的垂线，交抛物线于另一点D，Q为平面内一点，若直线，与抛物线均只有一个公共点，求证：点Q在某条定直线上．
【答案】（1）
（2）
（3）点在定直线上，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）过点作轴交的延长线于点，设，直线的解析式为，设，先求出点，再证明，得，，再求出直线的解析式为，列方程即可；
（3）过点分别作轴，轴的平行线交于点，直线与交于点，设，，设直线的解析式为，同理求出直线的解析式．
【小问1详解】
解：直线的解析式为．
时，时，
，
，
，
解得，
故抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：过点作轴交的延长线于点，设，直线的解析式为，设
代入点，得，解得，
直线的解析式为，
，得，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入得
，解得，
故直线的解析式为，
，
设直线的解析式为，代入，
得，
直线的解析式为，
时，，
解得（舍去），，即；
【小问3详解】
解：过点分别作轴，轴的平行线交于点，直线与交于点，
，，
，
，
，，
，
设，，
，
，，
，
，
设直线的解析式为，
联立，得，
该方程有两个相等的实数根，
，即，
直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
由，得，
点在定直线上．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是本题的关键．
平均数
中位数
七年级
87.55
九年级
86.25
90