2025届新高考数学考点全复习讲义微专题提优1一元二次不等式恒成立(含答案）

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解决不等式恒（能）成立问题，常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、主参换位法、转化法等，方法灵活多变，需根据具体的条件求解.
一、判别式法解决恒成立问题
【例1】 若不等式－x2＋2x＋3≤a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
解：原不等式可化为x2－2x＋a2－3a－3≥0，
∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，
即4－4（a2－3a－3）≤0，即a2－3a－4≥0，
解得a≤－1或a≥4，
∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或a≥4}.
方法技巧
（1）ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是a>0，b2－4ac0，f（4）=4（x－1）＋x2－4x+3=x2－1>0，∴x＜－1或x＞3.
2.函数f（x）＝x2＋ax＋3.
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[－2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，只需Δ＝a2－4（3－a）≤0，即a2＋4a－12≤0，解得－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6，2].
（2）由题意，可得x2＋ax＋3－a≥0在[－2，2]上恒成立，令g（x）＝x2＋ax＋3－a，则有①g（x）中Δ≤0或②Δ>0，－a2＜－2，g(−2）=7－3a≥0或③Δ>0，－a2>2，g（2）=7+a≥0，
解①得－6≤a≤2，解②得无实数解，解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
课后训练题
1．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：时，不等式可化为，对任意实数x均成立，满足题意；
时，不等式对任意实数x均成立，
等价于，∴．
综上，实数a的取值范围是．
2．若至少存在一个xx2+2x成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．−374,3B．−3,134C．−374,134D．−3,3
解析：依题意，至少存在一个xx2+2x成立，
即至少存在一个x3x−a成立，
画出y=−x2−2x+3x0.
当y=3x−a与y=−x2−2x+3x