广西桂林市国龙外国语学校2024年高三下学期5月适应性考试数学试卷

这是一份广西桂林市国龙外国语学校2024年高三下学期5月适应性考试数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 等差数列前三项最大的一项是1，公差满足 ， 则（ ）
2. 复数 ， 复数使得 ， 则复数的共轭复数的模的最小值为（ ）
3. 把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（ ）
4. 已知定义域为的函数是奇函数，且 ， 则（ ）
5. 已知函数 ， 且 ， 当ω取最小的可能值时，（ ）
6. 已知 ， 为异面直线，直线与 ， 都垂直，则下列说法不正确的是（ ）
7. 数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、婲述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数（其中 ， 为非零常数，）来表示，当取到最小值为2时，下列说法正确的是（ ）
8. 已知 ， 是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ， 的垂直平分线经过点 ， 若椭圆的离心率为 ， 双曲线的离心率为 ， 则的最小值是（ ）
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）(共3题；共18分)
9. 已知集合 ， ， 则有（ ）
10. 掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据这5次的统计结果，下列选项中有可能出现点数1的是（ ）
11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数 ， 恒有 ． 则下列结论中正确的有（ ）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分；第13题第一个空2分，第二个空3分）(共3题；共15分)
12. 二项式的展开式中前三项的系数和为 ， 则____________________；
13. 直线：与轴交于点 ， 与圆：交于、两点，则____________________；若 ， 其中为坐标原点，为圆的圆心，则____________________．
14. 正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的内接圆柱的侧面积的最大值是____________________；
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 已知的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ．
（1） 求的大小；
（2） 请在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使存在，并解决问题：
为内一点，的延长线交于点 ， 求的面积．
①为的外心，；
②为的垂心，；
③为的内心， ．
16. 在三棱台中，底面是等边三角形，侧面是等腰梯形，是的中点，是两异面直线和的公垂线，且 ， ．
（1） 证明：侧面平面；
（2） 若 ， 且与平面之间的距离为1，求二面角的正切值．
17. 在平面直角坐标系中，点 ， ， 四边形的对角线交于点 ， 且 ， ， 记动点的轨迹为 ．
（1） 求的方程；
（2） 过点的直线与交于 ， 两点，直线与的另一个交点为 ， 直线与的另一个交点为 ， 试判断、、三点是否共线？说明理由．
18. 已知函数 ．
（1） 若的最小值为0，求a；
（2） 设函数 ， 若是增函数，求a的取值范围．
19. 某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病．抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占 ， 若逐个化验需化验10000次．统计专家提出了一种化验方法：随机按人一组进行分组，将各组个人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这个人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对每个人再分别化验一次．
（1） 若每人单独化验一次花费10元，个人混合化验一次花费元．问为何值时，化验费用的数学期望最小？（注：当时，）
（2） 该疾病主要是通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上．细菌进入人体后有潜伏期．潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染给他人的可能性越高．现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期的平均数为7.2，方差为 ． 如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
①是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关？
②假设潜伏期服从正态分布 ， 其中近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 ． 为防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家观察14天，请用概率的知识解释其合理性．
附： ，
若 ， 则 ， ， ． 阅卷人
得分
A .
B .
C .
D .
A . 1
B .
C .
D .
A .
B .
C .
D .
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
A .
B .
C .
D .
A . 若平面 ， 则 ，
B . 存在平面 ， 使得 ， ，
C . 有且只有一对互相平行的平面和 ， 其中 ，
D . 至少存在两对互相垂直的平面和 ， 其中 ，
A . 此时
B . 此时的最小值为2
C . 此时的最小值为2
D . 此时的最小值为0
A . 2
B .
C . 6
D .
阅卷人
得分
A .
B .
C .
D .
A . 中位数：3，众数：2
B . 平均数：4，中位数：5
C . 极差：4，平均数：2
D . 平均数：4，众数：5
A .
B . 过点的切线方程；
C . 对 ， 不等式恒成立；
D . 若为函数的极值点，则；
阅卷人
得分
阅卷人
得分
年龄/人数
长期潜伏
非长期潜伏
40岁以上
15
50
40岁及40岁以下
10
15
0.1
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635