数学：河北省保定市保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）试题（解析版）

这是一份数学：河北省保定市保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了 已知，则， 函数， 已知复数满足等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题
1. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
故选:C
2. 函数（ ）
A. 是偶函数，且在区间上单调递增
B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂
C. 奇函数，且在区间上单调递增
D. 既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】A
【解析】的定义域为，
，
为偶函数；
当时，
在区间上单调递增.
故选：A.
3. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】元件都不正常的概率，
则元件至少有一个正常工作的概率为，
而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生，
所以这个电路是通路的概率.
故选：B
4. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】先判断充分性：，
令，则数列的偶数项成等差数列，
令，则数列的奇数项成等差数列，
但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列是等差数列，则，
，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件；
综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以.故选：D．
6. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线，
则的坐标为，而，则直线的斜率为.
故选：C．
7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】由题知，
因为，，
所以，
又因为在区间上是减函数，
所以，
两式相减，得，
因为，所以.
故选：A.
8. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】法一：设的重心为，则，
点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
又，的最小值是.
法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，
则，
设，即，
化简得，点的轨迹方程为，
设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，
又，故得最小值为.
故选：C.
二､多项选择题
9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 四点共面
B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形
C. 平面
D. 平面平面
【答案】BD
【解析】对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误；
对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确；
对于C：分别取的中点，则平面即为平面，
由正六边形，可知，所以不平行于，
又平面，所以，所以平面，
所以不平行于平面，故选项错误；
对于D：因为是等腰三角形，，
，，
是的中点，易证，由正方体可得平面，
平面，又平面，，
平面，平面，
平面，平面平面故选项D正确．
故选：BD．
10. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为3D. 的最小值为3
【答案】ABD
【解析】对A：为纯虚数，可设选项A正确；
对B：设，，
则，即，
则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
，选项B正确；
对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），
所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为，无最小值，选项C错误；
对D： ，
表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在轴上（除去点），
当时取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．
11. 已知函数的定义域为R,对，且为的导函数，则（ ）
A. 为偶函数B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】对于A：令，则，
为奇函数，故选项A不正确；
对于B：令，则，令，则
为奇函数，
，
的周期为4，，故选项B正确；
对于C：为奇函数，为偶函数；
的周期为4，
为偶函数，，
关于对称，
所以，令，可得，令，可得，
所以，故，
，
故选项C正确；
对于D：令，则，
即①，令，则②，
由①+②得
，
故选项D正确.故选：BCD．
三､填空题
12. 已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______．
【答案】
【解析】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线，
将方程化成焦点在轴上的标准形式，
由离心率， 有，得．故答案为：
13. 已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成面所围成的几何体的体积为______．
【答案】
【解析】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，

旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，
这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，
则所求几何体体积.
故答案为：.
14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）．
【答案】
【解析】由题知，
，
，
，
.
故答案为：.
二､解答题
15 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有最大值，求实数的值．
解：（1）
1°当时在区间上单调递增。
2°当时，时，单调递增
时，单调递减
综上，当时，的增区间是，
当时，的增区间是，减区间是
（2）由（1）知当时，无最大值。
当时，，平方有，
解得．
16. （1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计；
（2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述．
令变量,,则变量与变量满足一元线性回归模型,利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
解：（1），
要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为.
（2）由题知，，
所以
，
，
所以，所以，
所以，，所以，
当时，（万），
故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆．
17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．
（1）证明：底面是菱形，，
平面，且平面，.
又，平面,平面，
平面，，又，且平面，，
平面，平面，，
，，即，又平面，
且，平面．
（2）解：以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则
，
,,又,
在中由勾股定理得,
即,.
，，
，，平面，
与平面所成的角为，平面，
是平面的一个法向量，平面，平面，
平面平面，设，只需，则平面，
则，
令，则，
，.
18. 己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．
解：（1）设圆的半径为，圆与动圆内切于点．点在圆内部，点在圆内部．
，
点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为．
（2）（方法一）联立与椭圆方程，消得，
设，则，
的中垂线方程为：，即①
的中垂线方程为：②
由①②两式可得，
外接圆圆心的横坐标，
其中
，
又的中垂线方程为，即，
圆心的纵坐标为，
圆心在双曲线上，
存定点，使得（定值），
（方法二）设外接圆方程为，
联立与圆方程，消得，
则
，解得，
设圆心坐标为，
则，
圆心在双曲线上，
存在定点，使得（定值），
19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
（1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
（2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
（3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且
，求的通项公式．
（1）证明：是等差数列，设，
令，
则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的．
（2）证明：因为数列是“优分解”的，设，
其中，
则．
当时，
当时，是首项为，公比为的等比数列．
（3）解：一方面，数列是“优分解”的，设，
其中，由（2）知
因为，所以．
是首项为2，公比为的等比数列．
另一方面，因为是“优分解”的，设，
其中，
是首项为2，公比为的等比数列，
，且，
化简得，
即数列是首项，公比为的等比数列．
又，
又解得，
综上所述，．年份代码
1
2
3
4
5
销量（万）
4
9
14
18
25