精品解析：北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷

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2023.07
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知向量，.若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量共线的坐标运算求解.
【详解】向量，.
若，则有，则.
故选：C
2. 若为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据复数的除法、乘法运算法则，可得结果.
【详解】
故应选：C
【点睛】本题主要考查复数的运算，属基础题.
3. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称可得，进而根据三角函数的定义即可求解.
【详解】角与角终边关于原点对称，且若角的终边与单位圆⊙交于点，所以角的终边与单位圆⊙交于点，
故，
故选：B
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同角三角函数关系求出,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为,,
所以,
则.
故选：A.
5. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是（其中为三角形面积，为小斜，为中斜，为大斜）.在中，若，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用题中所给三角形的面积公式即可求解．
【详解】在中，若，，，
则的面积．
故选：B．
6. 已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若，∥，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】对于ABC，举例判断，对于D，利用面面垂直的性质和线面平行的判定分析判断
【详解】对于A，如图在长方体中，∥，∥，此时，所以A错误，

对于B，如图在长方体中，，∥，此时∥，所以B错误，

对于C，如图在长方体中，，，，此时∥，所以C错误，

对于D，如图，设，在平面作直线于点，因为，所以，
因为，所以∥，因为，，所以∥，所以D正确，

故选：D
7. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（ ）
A. ，的最小值为B. ，的最小值为
C. ，的最小值为D. ，的最小值为
【答案】A
【解析】
【分析】由题意在函数上，可得的值，求出的坐标，由题意可得关于的方程，可得的最小值．
【详解】点在函数上，所以，则,，
将,代入中可得,
，可得或，
由于，所以的最小值为．
故选：A
8. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积坐标运算得到，再求二次函数的最大值即可．
【详解】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故选：C．

9. 如图，在正方形中，分别为边，的中点.现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.在该四面体中，作平面，垂足为，则是的（ ）

A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意证明平面，得到，进而证明平面，得到，同理得到和即可得到答案.
【详解】如下图所示，在四面体中，连接，

由题意知，，，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
同理，，，
则是的垂心.
故选：A
10. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立直角坐标系．直线的斜率存在，设方程为：，，直线的方程为：，可得的面积，再利用基本不等式的性质即可得出．或者利用锐角三角函数，结合二倍角公式以及三角函数的性质及可求解.
【详解】解法一：不妨将图形顺时针旋转，然后以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
直线的斜率存在，设方程为：，．
则直线的方程为：，
，．
的面积，
当且仅当时取等号．
的面积最小值为2．
故选：C．

解法二：
设角则，故
所以的面积
由于，所以，故当时，面积取最小值2，
故选：C

第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱的侧面积公式，即可求得该圆柱的侧面积，得到答案.
【详解】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，
根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.
【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面积公式的应用，其中解答中熟记圆柱的侧面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
12. 某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为___________.
【答案】##0.4
【解析】
【分析】根据对立事件的定义求解即可．
【详解】由题意，射击一次命中的环数不超过8的概率为．
故答案为：0.4
13. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】求出两向量的坐标，然后由，可得，可求出的值.
【详解】因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，
所以，，
因为，所以，得，
故答案为：
14. 若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】当时，化简得到，满足在区间上单调递增，即可得到答案.
【详解】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，
当时，
可得，
此时函数满足在区间上单调递增，
当时，，所以常数的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：

①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；
②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；
③存在点，，使得平面；
④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【解析】
【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可；
对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可；
对于③，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而判断即可；
对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可.
【详解】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，

则为线段的中点，是边长为的正三角形，
两点之间距离的最小值为到的垂线段长度，
此时，故①错误；
对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，

显然，到平面的距离为定值，面积为定值，
结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确；
对于③，当与重合，与重合时，如图所示，

由正方体可知平面，，
因为平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
同理，，
又因为平面，，
所以平面，即平面，
所以存在点，，使得平面，故③正确；
对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，
取中点，连接，如图所示，

由得四边形是平行四边形，所以 ，
由可知，即，
所以是中点，又因为是中点，所以,，
所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形，
在直角中，，同理，
所以截面的周长为,
即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，故④错误.
故答案为：②③
【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有：
（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；
（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；
（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△中，.
（1）求；
（2）若，且△的面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【小问1详解】
解：因为，所以由正弦定理得.
因为、，所以，
所以，即，即，所以.
【小问2详解】
解：由（1）知，，
因为，的面积为，
所以由，解得.
由余弦定理，所以.
17. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.

（1）求证：平面；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求证：平面平面.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得，且，所以四边形是平行四边形，于是，根据线面平行的判定定理可证得结论；
（2）选①：由题意可得，，所以平面，利用面面垂直的判定定理可得结论；
选②：由题意可得，，从而平面，利用面面垂直的判定定理可得结论.
【小问1详解】
因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形.
因为分别为棱的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，于是.
又平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
选①：
由（1）知，，且，所以.
因为直三棱柱，所以平面.
又平面，所以.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
选②：
因为，且为棱的中点，所以.
因为直三棱柱，所以平面.
又平面，所以.
因为，平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
18. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；
（2）设函数，求在区间上的最大值以及取得最大值时的值.
【答案】（1）
（2）时，有最大值为2.
【解析】
【分析】（1）根据函数图象确定A，以及周期即可求得，利用特殊点坐标可求得，即可得函数解析式；
（2）先利用三角恒等变换化简，再根据x的范围，确定的范围，从而结合正弦函数性质，即可求得答案.
【小问1详解】
由图可得，且，
所以，即，所以.
又，所以，
即，
所以.
又，所以，
故.
【小问2详解】
因为，
所以
，
因为，所以，
所以当，即时，有最大值为2.
19. 在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：
其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.
（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；
（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；
（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”人数发生了变化？说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，
（3）根据小概率事件即可求解.
小问1详解】
依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.
设事件“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，
则事件包含个样本点，
所以.
【小问2详解】
依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为；
高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为.
该随机试验的样本空间可以表示为：
{}
即.
设事件“这2人均来自高一（2）班”，则，
所以，故.
【小问3详解】
设事件“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.
假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，
则由模拟选科数据可知，.
所以.
答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.
答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：
事件是随机事件，虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.

（1）求证：为棱的中点；
（2）若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，可得为棱的中点；
（2）证明平面，四棱锥的高为，计算底面梯形的面积，即可计算四棱锥的体积.
【小问1详解】
因为四边形是矩形，所以.
又平面，平面，所以平面.
因为平面，平面平面，
所以，即.
又为棱的中点，所以为棱的中点.
【小问2详解】
因为四边形是矩形，所以.
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，平面，
所以.
因为为等边三角形，为棱的中点，所以.
因为平面，，所以平面，
即点到平面的距离为，因为，所以.
等边三角形中，，
则直角梯形的面积，
所以四棱锥的体积.
21. 设非零向量，，并定义
（1）若，求；
（2）写出之间的等量关系，并证明；
（3）若，求证：集合是有限集.
【答案】（1），
（2），证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给定义即可求解，进而根据模长公式即可求解，
（2）根据所给定义以及模长公式即可求解，
（3）利用（2）的结论可得，进而可设，根据定义即可结合和差角的公式化简求解.
【小问1详解】
因，所以.
依题意得，所以，
即，所以.
【小问2详解】
的等量关系是.
证明如下：
依题意得，
所以.
因为，所以
即，
所以，
故.
【小问3详解】
由（2）及得.依此类推得，可设，
则.
依题意得，
，
，
所以
同理得，
，
，
.
所以.
综上，集合是有限集.
【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.
对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.
物理+化学
物理+生物
物理+思想政治
物理+历史
物理+地理
高一（1）班
10
6
2
1
7
高一（2）班.
15
9
3
1
6