2024年江苏省扬州市广陵区梅岭中学教育集团九年级中考二模数学试题

这是一份2024年江苏省扬州市广陵区梅岭中学教育集团九年级中考二模数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将该选项的字母代号填涂在答题卡的相应位上）
1. 下列各组数中，互为倒数的是（ ）
A. 5和B. 和C. 和D. 100和
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：，，，
由倒数的定义可知，只有C选项中的两个数互为倒数，
故选：C．
2. 若（ ），则括号内应填的单项式是（ ）
A. aB. 3aC. 3bD. 3ab
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是单项式乘单项式，单项式的除法．根据题意可知，括号里应该填的单项式，计算即可．
【详解】解： ，括号内应填的是单项式，
该单项式，
故选：B．
3. 下列由小正方形组成的平面图形中，能围成正方体的是（ ）
A. B. 试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了展开图折叠成几何体．由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【详解】解：A、有“凹”字格，故不能折叠成一个正方体，故本选项不符合题意；
B、有“田”字格，故不能折叠成一个正方体，故本选项不符合题意；
C、折叠后有两个面重合，缺少一个侧面，所以也不能折叠成一个正方体，故本选项不符合题意；
D、可以折叠成一个正方体，故本选项符合题意．
故选：D．
4. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：，，，
，
．
故选：C．
5. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边上分别取，移动角尺，得到的平分线，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查全等三角形在实际生活中的应用．结合题目已知的条件判断即可．
【详解】做法中用到的三角形全等的判定方法是
证明如下：
由题意得，，
在和中，
，
∴，
所以，
故的平分线．
故选：A．
6. 如图，是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直径所对的圆周角是直角得到，则可计算出，然后根据同弧所对的圆周角相等得到的度数．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B，将直线m绕点B顺时针旋转得到新的直线m，则直线n与x轴的交点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．设直线交轴于，，，可得出，根据将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，即可得，故，可得．
【详解】解：设直线交轴于，如图：
在中，令得，令得，
，；
，，
，
将直线绕点逆时针旋转得到新的直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
直线与轴的交点坐标为；
故选：B．
8. 如图，在中，，点M在边上，线段沿着过M的直线折叠，点C恰巧落在边上的点N处．如果，，那么a与b满足的关系式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线分线段成比例定理，过点M作于D，由折叠的性质可得，则，，证明，再证明，得到，即可得到．
【详解】解：如图所示，过点M作于D，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9. 扬州某天的最高温度是，最低温度是，那么这一天的温差是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，直接用该天的最高气温减去最低气温即可得到答案．
【详解】解：，
∴这一天的温差是，
故答案为：．
10. “五一”期间江苏游客消费总额为141.15亿元，将141.15亿元用科学记数法表示为______元．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
【详解】解：141.15亿．
故答案为：．
11. 《孙子算经》有一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的“中国剩余定理”．该题翻译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，那么适合条件的最小正整数是______．
【答案】23
【解析】
【分析】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组．设，可得，可知是21的倍数，可求时，即可
【详解】解：设，
，
∴，
∴是21的倍数，
∴n的最小正整数是4，
时，，，
这个数是．
答：适合条件的最小正整数是23．
故答案为：23．
12. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故答案为：且．
13. 某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是______万元．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查中位数．根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案．
【详解】解：员工人数为：（人），
该公司全体员工年薪的第17和第18个数，都是9，
则中位数为：（万元），
故答案为：9．
14. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝2，AB＝8，则ABD的面积是_____．
【答案】8
【解析】
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=2，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=2，
∴△ABD的面积=×AB×DE=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
15. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先求出，再利用等面积法求出，利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作于D，
由网格特点和勾股定理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于__________cm2．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，由弧长公式求出圆心角，根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，
∴圆锥展开图的弧长为
解得
∴圆锥的展开图是半径为4cm的半圆
∴圆锥的侧面积为（cm2）
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式，扇形的面积，等边三角形的性质，主视图等知识．解题的关键在于明确圆锥展开图的半径与圆心角．
17. 如图，在中，，，，是边上一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则线段的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质，垂线段最短．在上截取，连接，过点作于点，证明，得出，说明最小时最小，根据垂线段最短，当点与点重合时，最小，即最小，根据角所对的直角边等于斜边的一半求出即可得出答案．
【详解】解：在上截取，连接，过点作于点，如图所示：
，，
，
根据旋转可知，，，
，
，
即，
，，
，
，
最小时最小，
垂线段最短，
当点与点重合时，最小，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
18. 如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解．
【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，，
，．
抛物线与线段无公共点分两种情况：
①当点在线段下方时，
点的坐标为，
．
②当点在线段上方时，
有，
解得：．
综上所述：的取值范围为或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）化简：；
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是平方差公式及完全平方公式，解二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．
（1）先根据平方差公式及完全平方公式分别计算出各数，再合并同类项即可；
（2）先利用加减消元法求出的值，再利用代入消元法求出的值即可．
【详解】解：（1）
；
（2），
①②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
故此方程组的解为．
20. 先化简，再求值：，其中x满足．
【答案】，原式=
【解析】
【分析】本题考查分式化简求值，解一元二次方程．先通分算括号内的，把除化为乘，再将分子，分母分解因式约分，化简后解出的值，把有意义的的值代入计算即可．
【详解】解：
；
，
，
或，
当时，原式无意义，
把代入得：
原式
．
21. “人文古扬州，诗画瘦西湖．”2024年的“五一”假期，扬州市区各景区迎来了客流高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的扬州旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：大运河博物馆；B：瘦西湖；C：个园；D：大明寺；E：何园；F：汪氏小苑．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图．
（1）本次调查的样本容量为______，并请你将条形统计图补充完整．
（2）扇形统计图中，景点B所对应的圆心角的度数为______．
（3）若八年级数学兴趣小组所在学校共有1500名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“大运河博物馆”与“个园”的学生总人数．
【答案】（1）60；图见解析
（2）
（3）估计该校最喜爱“大运河博物馆”与“个园”的学生总人数约为675名．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题关键．
（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得样本容量，求出选择的学生人数，补全条形统计图即可；
（2）用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比即可；
（3）根据用样本估计总体，用1500乘以样本中最喜爱“大运河博物馆”与“个园”的学生人数所占的百分比的和，即可得出答案．
小问1详解】
解：本次调查的样本容量为，
选择的人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
故答案为：60；
【小问2详解】
解：扇形统计图中，景点所对应的圆心角的度数为；
故答案为：；
【小问3详解】
解：（名），
答：估计该校最喜爱“大运河博物馆”与“个园”的学生总人数约为675名．
22. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（面点社团）D（街舞社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是________；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团D（街舞社团），他俩决定各自随机选择第2个社团，请用列表法或树状图求他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率．
【答案】（1）
（2）他俩选到相同社团的概率是
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵一共有4个社团，每个社团被选择的概率相同，
∴小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择1个社团，他选中D（街舞社团）的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：列表如下：
由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中他俩在选第2个社团中选到相同社团的结果数有3种，
∴他俩在选第2个社团中选到相同社团的概率为．
23. 已知：如图，四边形中，，于点E，，交于点G，且．
求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定：
（1）先根据等边对等角得到，再证明得到，证明，得到，即；
（2）先证明四边形是矩形，得到，再由相似三角形的性质得到，则，进一步证明四边形是平行四边形，即可证明．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
24. 某项工程总造价为21.6万．若由甲队单独做，恰好在规定日期完成；若由乙队单独做，要超出规定日期3天才能完成．现在甲、乙两队合做两天，甲队因参与其他突击任务离开，剩下的任务由乙队单独做，刚好按期完成．若按照各队的工作量计算报酬，那么甲、乙两队分别得到多少万元？
【答案】甲队所得报酬万元，乙队所得报酬为万元．
【解析】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用．首先设工作总量为1，规定日期为天．则单独做甲需天，乙队需天．由工作总量工作时间工作效率列方程易求解，进一步计算即可得到结论．
【详解】解：设工作总量为1，规定日期为天，则若单独做，甲队需天，乙队需天，
根据题意列方程得
，
解方程可得，
经检验是分式方程的解．
则规定日期是6天．
则甲队所得报酬为（万元），
乙队所得报酬为（万元），
答：甲队所得报酬为万元，乙队所得报酬为万元．
25. 如图，在中，，以点O为圆心，长为半径的圆交于点C，点D在边上，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，则的长为______．（直接写答案）
【答案】（1）直线与相切，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，勾股定理等等：
（1）连接，由得，结合，即可求解；
（2）设的半径为，解直角三角形可得，根据可得，则，解得：，可得，，解得到；如图所示，过点C作于E，解直角三角形得到，，则，再由勾股定理得到，，则．
【小问1详解】
解：直线与相切，理由如下：
连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
【小问2详解】
解：设的半径为，
∵，
∴，
∴
∵
∴，
解得：，
∴，，
在中，，
如图所示，过点C作于E，
∴，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
26. 定义：两组邻边对应相等的四边形为“筝形”．如图①．在四边形中，，，那么四边形就是筝形．
（1）在①平行四边形：②矩形：③菱形；④正方形中，“筝形”是______（填序号）；
（2）如图①，连接，，请判断并证明对角线与的位置关系；
（3）如图②，在筝形中，，，请利用无刻度的直尺和圆规，在筝形中找一点，连接、，使折线将筝形的面积等分（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）③④ （2）垂直平分；
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和“筝形”的定义即可得出结论；
（2）运用线段垂直平分线的判定定理即可；
（3）利用三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形即可作出图形．
【小问1详解】
解：根据“筝形”的定义可得：平行四边形和矩形不一定是筝形，菱形和正方形一定是筝形，
故答案为：③④；
【小问2详解】
解：垂直平分，理由如下：
如图，设与交于点，
，，
点、均在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
【小问3详解】
解：如图所示，点即为所求．
作出的中点，连接、，折线将筝形面积等分．
理由：在中，
为边中点，
，
，
同理：，
，
，
即四边形的面积四边形的面积，
折线将筝形面积等分．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了“筝形”的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质、作图基本作图，三角形的面积等知识；熟练掌握“筝形”的定义，正确地作出图形是解题的关键．
27. 随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件30元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为元，获得的利润为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大，并求出最大利润．（）
【答案】（1）
（2）当定价每件42元时，才能使利润最大，最大利润为16800元
【解析】
【分析】本题考查列二次函数，二次函数的图象及性质．
（1）设该T恤的定价为元，则每件T恤利润为，销售量为元，根据总利润＝单件利润×销售量即可列出函数关系式；
（2）先根据“要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于”求出定价x的取值范围，再根据二次函数的图象及性质即可求解．
【小问1详解】
根据题意可得：
；
与之间的函数关系式为：；
【小问2详解】
由题意可得：
，
解得，
，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值为：（元），
答：当定价为每件42元时，才能使利润最大，最大利润为16800元．
28. 【性质认识】
如图①、图②，在函数的图象上任取两点A，B向坐标轴作垂线，连接垂足C，D或E，F，直线与坐标轴交于点M，N，则一定有如下结论：，．
【数学理解】
（1）如图①，借助【性质认识】的结论，若，则系数______；
（2）如图②，若，点A的坐标为，那么点B的坐标为______．
（3）如图②，借助[性质认识]的结论，求证：．
【问题解决】
（4）如图③，函数的图象两个分支分别位于第一、三象限，点A，B是第一象限内分支上的两个动点（点A在点B的左侧），连接BA并延长交y轴于点C，请仅用无刻度直尺，在y轴上作点M，使得，请写出你的作法，并说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】（1）借助【性质认识】的结论，可以得到，可以证明四边形为平行四边形，所以，同理，四边形为平行四边形，所以，即，进而求出；
（2）仿（1），先证明四边形为平行四边形，所以，同理，可证四边形为平行四边形，所以，所以，进而求出，根据三角函数的定义求得，根据点，都在反比例函数的图象上，即可求出点的坐标；
（3）由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，得到，，代入，化简即可求得结论；
（4）要证，只需要证明，过作轴于，过作轴于，过作轴于，可得，，由题可得，，关于点成中心对称，所以，又，可证为等腰三角形，所以，因为，所以，因为，所以，所以．
【详解】（1）解：，理由如下：
轴，
∴，
由【性质认识】的结论可得，
四边形是平行四边形，
，
同理，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：2；
（2）解：轴，
∴，
由【性质认识】的结论可得，
四边形为平行四边形，
，
同理，四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
点的坐标为，
，
点的纵坐标为，
点，都在反比例函数的图象上，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故答案为：；
（3）证明：由（2）可知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，
，，
；
（4）证明：如图，作直线，交反比例函数图象的另一个分支于点，再连接，交轴于点，则点即为所求．
如图，过作轴于，过作轴于，过作轴于，
连接，．
函数 的图象与过原点的直线相交于、两点，
，两点关于成中心对称，
，
，
垂直平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
．
【点睛】本题是一道反比例函数综合题，考查了学生探究应用的能力，能根据已给的结论去解决问题，对学生的知识迁移能力有一定要求．年薪/万元
40
28
15
10
9
7
6
员工数/人
1
2
4
7
8
9
3
小宇
小江