江西省九江市永修县第三中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题

这是一份江西省九江市永修县第三中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题，共22页。
2．试卷和答题卡都要写上班级、姓名；
3．请将答案写在答题卡上的相应位置上，否则不给分．
一、单选题（每题3分，共18分）
1. 下列所示的四个图形中，和是同位角的是（ ）
A. ②③B. ①②③C. ①②④D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】解：图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C．
【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟记同位角的含义概念是关键．
2. 若是一个完全平方式，则的值等于（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】完全平方公式的形式是，由此可知，由此即可求解．
【详解】解：根据完全平方公式的形式是，即，，，
∴，试卷源自 每日更新，会员下载免费且不限量。∴，，
故选：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的形式，熟练掌握完全平方公式的展开式形式是解题的关键．
3. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
A．若添加，根据可判定；
B．若添加，根据可判定；
C．若添加，不能判定；
D．若添加，则，根据可判定；
故选C．
4. 如图表示小亮从家出发步行到公交车站，等公交车最后到达学校，图中的折线表示小亮的行程s(km)与所花时间t(min)之间的函数关系，下列说法中正确的个数有( )
①学校和小亮家的路程为8km； ②小亮等公交车的时间为6min；
③小亮步行的速度是100m/min；④公交车的速度是350m/min；
⑤小亮从家出发到学校共用了24min.
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】B
【解析】
【详解】图中的纵坐标表示小亮的行程,横坐标表示所花时间,根据图中从时间开始到时间结束小亮共行驶了8km,所以学校和小亮家的路程为8km,故①正确,根据图中第10min到第16min,小亮的路程没有发生变化,说明这6min小亮在等公交车,故②正确,根据图象可得:小亮从家到公交站用时10min,走了1km,所以可求得小亮步行的速度是100m/min,故③正确,
根据图象可得小亮乘公交车用了14min,行驶了7km,所以可求得公交车的速度是500 m/min,
故④错误,根据图象可得小亮从家到学校共用时30min,故⑤错误,所以正确的有3个,故选B.
点睛:本题主要考查函数图象信息分析,解决本题的关键是理解函数关系.
5. 如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（ ）
A. 5B. C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，垂线段最短的含义， 先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
∴，
当重合时，最小，最小值为；
故选C
6. 如图， ， P为直线 之间 一点，的平分线与邻补角的角平分线所在直线交于点Q，则与之间的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
过点P作，利用猪脚模型可得∶ ，再利用平行线的性质可得，然后利用三角形的外角性质可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用角平分线的定义可得，，从而利用等量代换进行计算，即可解答．
【详解】如图∶过点P作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（每题3分，共18分）
7. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数关系是y＝x+32，如果某一温度的摄氏度数是25℃，那么它的华氏度数是_____℉．
【答案】77
【解析】
【分析】把x=25直接代入解析式可得．
【详解】当x=25时，y＝×25+32=77
故答案为：77．
【点睛】考核知识点：求函数值．
8. 中国大陆芯片领域的龙头企业“中芯国际”目前已经实现工艺芯片的量产，使中国集成电路制造技术与世界最先进工艺拉近了距离．数据用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
9. 如图，是的中线，点E、F分别为的中点，若的面积为，则的面积是 _______ ．

【答案】12
【解析】
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
【详解】是的中点，，
，
是的中点，
，，
，
∴的面积．
故答案为：12．
10. 已知，用“”连接为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了乘方的运算，负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，掌握（），（）是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，，
，
；
故答案为：．
11. 如图，在中，，，，分别是边，，上的点，且，．若，则的度数为______°．
【答案】
【解析】
【分析】利用等腰三角形的两个底角相等的性质、已知条件“，”，根据全等三角形的判定定理推知；由三角形的内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后根据全等三角形对应角相等得、三角形的外角定理、等量代换求得．
【详解】解：，
，
在与中，
，
．
．
，
．
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的对应边相等、对应角相等．解题关键是由等腰三角形性质得出，从而证明．
12. 在“折纸与平行”的拓展课上，小胡老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则的度数为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查折叠性质、平行线性质，分时和时，利用折叠性质和平行线的性质以及三角形的内角和求解即可．熟练掌握折叠性质，利用分类讨论思想，结合图形进行角的运算是解答的关键．
【详解】解：当时，如图，则，
由折叠性质得：，，
，
当时，如图，则，
；
当时，如图，则，
由折叠性质得：，

综上，的度数为或或．
故答案为：或或．
三、解答题（每题6分，共30分）
13. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了幂混合运算；
（1）根据逆用积的乘方，以及同底数幂的乘法，进行计算即可求解；
（2）根据同底数幂的乘法机箱内计算，然后根据科学记数法表示即可求解．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
14. 如图，已知点D、E分别在、上，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据已知条件选择恰当的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，
，
∴
∴．
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开化简去大括号，然后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，最后将x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式的运用，平方差公式的运用，多项式除以单项式法则，以及已知字母的值求代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 如图，BECF，AC⊥CD，BG是∠ABE的角平分线，∠DCF＝28°，求∠ABG的度数．
【答案】∠ABG=31°．
【解析】
【分析】利用垂线的定义得∠ACD=90°，进而求得∠ACF=62°，利用平行线的性质求得∠ABE=62°，再利用角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ∠ACD=90°，
∵∠DCF=28°，
∴∠ACF=62°，
∵，
∴ ∠ABE=∠ACF=62°，
∵ BG 是∠ABE的角平分线，
∴ ∠ABG=∠ABE==31°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
17. 如图，是上一点，于点是上一点，于点，求证：．

证明：连接
，
（______）．
（______）．
______（______）．
又，
______（等式的性质）．
即
（______）．
【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查利用平行线的判定与性质，垂直的定义．掌握相关定理内容是解题关键．根据题干信息逐步完成推理过程与推理依据即可．
详解】证明：连接
，，
（垂直的定义）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，内错角相等）．
又，
（等式的性质）．
即
（内错角相等，两直线平行）．
四、解答题（每题8分，共24分）
18. 在中，．
（1）求第三边长的取值范围；
（2）若第三边的长是偶数，求的长；
（3）若是等腰三角形，求其周长．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，等腰三角形的定义：
（1）三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可；
（2）根据（1）所求进行求解即可；
（3）根据等腰三角形的定义结合（1）所求得到，再根据三角形周长公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，
∴，
∴，即；
【小问2详解】
解：∵且第三边的长是偶数
∴第三边的长为或；
【小问3详解】
解；∵，
∴只能是，
∴的周长为．
19. 某市有两家出租车公司，收费标准不同，甲公司收费标准为：起步价8元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.5元收费．乙公司收费标准为：起步价11元，超过3千米后，超过的部分按照每千米1.2元收费．车辆行驶s千米．本题中s取整数，不足1km的路程按1km计费．根据上述内容，完成以下问题：
（1）当0＜s＜3，乙公司比甲公司贵 元；
（2）当s＞3，且s为整数时，甲、乙两公司的收费分别是多少？（结果用化简后的含s的式子表示）
（3）当行驶路程为12千米时，哪家公司的费用更便宜？便宜多少钱？
【答案】（1）3；（2）当s＞3时，且s为整数时，甲公司的收费是1.5s+3.5，当s＞3时，且s为整数时，乙公司的收费是1.2s+7.4；（3）甲公司的费用更便宜，便宜0.3元
【解析】
【分析】（1）当0＜s＜3时，乙公司收费为11元，甲公司收费为8元，则答案可求出；
（2）根据甲、乙两公司的收费标准分段计算，列出代数式即可；
（3）当s＝12时，分别求出代数式的值即可．
【详解】（1）当0＜s＜3时，由题意得乙公司收费为11元，甲公司收费为8元，
∴11﹣8＝3（元），
即乙公司比甲公司贵3元，
故答案为：3．
（2）当s＞3时，且s为整数时，甲公司的收费是：8+1.5（s﹣3）＝1.5s+3.5，
当s＞3时，且s为整数时，乙公司的收费是：11+1.2（s﹣3）＝1.2s+7.4．
（3）当s＝12时，甲公司的收费是：8+1.5（s﹣3）＝8+1.5×（12﹣3）＝8+13.5＝21.5（元），
乙公司的收费是：11+1.2（s﹣3）＝11+1.2×（12﹣3）＝11+10.8＝21.8（元）．
∴21.8﹣21.5＝0.3（元）．
答：甲公司的费用更便宜，便宜0.3元．
【点睛】本题考查了列代数式和整式的加减，难度不大，关键是找出合适的等量关系列代数式．
20. 已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．
（1）求证：AD=CE；
（2）求证：AD⊥CE
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：（1）要证AD=CE，只需证明△ABD≌△CBE，由于△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，所以易证得结论．
（2）延长AD，根据（1）的结论，易证∠AFC=∠ABC=90°，所以AD⊥CE．
试题解析：（1）∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∴△ABD≌△CBE，
∴AD=CE．
（2）延长AD分别交BC和CE于G和F，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠BAD=∠BCE，
∵∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°，
又∵∠BGA=∠CGF，
∴∠AFC=∠ABC=90°，
∴AD⊥CE．
考点：1.等腰直角三角形；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
五、解答题（每题9分，共18分）
21. 阅读下面的材料：
【材料一】若，求m，n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴．
【材料二】“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：，
∵，
∴，
∴．
故有一个最小值为1．
阅读材料，探究下列问题：
（1）已知，求x与y的值；
（2）无论m取何值，代数式总有一个最小值，求出它的最小值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）仿照阅读材料中解题思路，把拆成，然后变成两个完全平方式的和即可解答；
（2）仿照阅读材料中解题思路，将变形为即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴
∴
∴
∴．
【小问2详解】
，
∵，
∴，
∴．
故有一个最小值为4．
22. 如图，已知中，，，点为的中点．
（1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点Q以（1）②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿的三边运动，直接写出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．
【答案】（1）①与，理由见解析；②当
（2）经过24秒，点P与点Q第一次相遇
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一元一次方程的应用：
（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；②因为，所以，又，要使与全等，只能，，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；
（2）因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得答案．
【小问1详解】
解：①与全等，理由如下：
∵，
∴，
，为中点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
；
②∵，
∴，
又∵，
∴要使与全等，则只能是，
∴，．
∴点和点的运动时间，
∴；
【小问2详解】
解：∵，只能是点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，依题意得，
解得
∴经过24秒，点P与点Q第一次相遇．
六、解答题（共12分）
23. （问题情境）（1）如图1，在四边形中，，，．点E，F分别是和上的点，且，试探究线段，，之间的关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接．先证明，再证明，进而得出．你认为他的做法______；（填“正确”或“错误”）．
（探索延伸）（2）如图2，在四边形中，，，，，点E，F分别是和上的点，且，上题中的结论依然成立吗？请说明理由．
（思维提升）（3）小明通过对前面两题的认真思考后得出：如图3，在四边形中，若，，，那么．你认为正确吗？请说明理由．
【答案】（1）正确；（2）成立，见解析；（3）正确，见解析
【解析】
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，正确做辅助线构造全等三角形是解题关键．
（1）延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出，即可解题；
（2）证明方法同（1）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题；
（3）证明方法同（2）：延长到点，使，连接，先证明，可得，再证明，可得，进而得出即可解题．
详解】（1）解：如图1，延长到点，使，连接，
∵，
∴，
和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：正确；
（2）解：上题中的结论依然成立；
如图2，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：正确，
如图3，延长到点，使，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．