江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 z满足 1−iz=3+i，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．设 a,b为平面向量，则“存在实数 A，使得 a=2b”是“ a+b=a+3|”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．如图，csπ4+θ的值为（ ）
A．510B．55C．45D．255
4．在平面直角坐标系 xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点 A1,0重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当 φ=2rad时，点 M与点O之间的距离为（ ）
A．1cs1B．2sin1C．2D．5
5．已知等腰梯形 ABCD中，AB//DC,AB=2DC=2AD=2,BC的中点为 E，则 AE=（ ）
A．13DB+53ACB．13DB+56ACC．13DB+12ACD．23DB+56AC
6．计算：sin40∘⋅sin80∘cs40∘+cs60∘=（ ）
A．12B．32C．22D．33
7．已知 csα+π6=45,csβ−π6=1213,α,β∈0,π6，则 csα+β=（ ）
A．1665B．3365C．5665D．6365
8．如图，在四边形 ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60​∘,AB=2,AD=3，E为线段CD的中点，F为线段 AB上一动点（包括端点），且 EF=λDA+μAB，则下列说法错误的是（ ）
A．BC=52B．若 F为线段 AB的中点，则 λ+μ=1
C．FC⋅FD的最小值为 154D．μ的最大值比最小值为 85
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量 a=−2,2,b=1,1，且 a+b与 a−b的夹角为 θ，则（ ）
A．a−b=−3,1B．a⊥b
C．sinθ=−45D．a−b在 a上的投影向量是 −2,2
10．下列关于非零复数 z1,z2的结论正确的是（ ）
A．若 z1,z2互为共轭复数，则 z1⋅z2∈RB．若 z1⋅z2∈R，则 z1,z2互为共轭复数
C．若 z1,z2互为共轭复数，则 z1z2=1D．若 z1z2=1，则 z1,z2互为共轭复数
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 x∈R，用 [x]表示不超过x的最大整数，则 y=[x]称为高斯函数，例如 [−2,1]=−3，[2,1]=2. 已知函数 fx=sinx+sinx，函数 gx=[fx]，则下列4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数 gx不是周期函数；B．函数 gx的值域是 {0,1,2}
C．函数 (gx的图象关于 x=π2对称：D．方程 π2⋅gx=x只有一个实数根；
三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量 a，b满足 a−b=3，a+b=2a−b，则 b=
13．已知i与j为互相垂直的单位向量，a=2i+3j,b=−i+2λj，且 a与 b的夹角为钝角，则实数 λ的取值范围是 .
14．函数fx=sinxcsx1+sinx+csx的值域为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在锐角 △ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知 a=7,b=3,7sinB+sinA=23.
（1）求角 A的大小；
（2）求 △ABC的面积.
16．某同学用五点法作函数fx=Asin0x+φA>0,0>0,φ0个单位，得到 gx的图象，若 gx的图象关于 y轴对称，求 θ的最小值.
17．在 △ABC中，点 D,E分别在边BC和边AB上，且 DC=2BD,BE=2AE,AD交 CE于点 P，设BC=a,BA=b.
（1）试用a,b表示BP;
（2）点F在边AC上，且满足B,P,F三点共线，试确定点F的位置.
18．已知向量 u=sinx,sin2x+π4,v=3sinx,1，若函数 fx=2u⋅v−3.
（1）求函数 fx的最小正周期；
（2）若 x∈[−π4,π4]，求 y=fx的最值及取得最值时的 x值；
（3）若函数 y=fx−m在 x∈[0,π2]内有且只有一个零点，求实数m的取值范围.
19．在路边安装路灯，灯柱 AB与地面垂直（满足 ∠BAD=90∘），灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直，且 ∠ABC=120​∘，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 ∠ACD=60​∘，路宽AD=12m. 设灯柱高 AB=ℎm,∠ACB=θ30∘≤θ≤45∘.
（1）当 θ=30​∘时，求四边形ABCD的面积；
（2）求灯柱的高ℎ（用 θ表示）；
（3）若灯杆 BC与灯柱 AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于 θ的函数表达式，并求出S的最小值.
【参考答案】
南昌市外国语学校2023-2024学年度下学期5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．D
【详解】由题意知：z=3+i1−i=3+i1+i1−i1+i=1+2i,
所以 z=1−2i，所以在复平面内对应的点 1,−2位于第四象限.
故选：D.
2．B
【详解】若存在实数 λ，使得 a=λb，则有 a+b=λb+b=λ+1⋅b，
a+b=λb+b=λ+1⋅b，若λ0,sinβ−π6