2023-2024学年山东省淄博中学高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷 (1)

这是一份2023-2024学年山东省淄博中学高二（下）第一次月考数学试卷-普通用卷 (1)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知数列{an}中，a1=3，an=an−1+2(n>1)，则a5的值( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )
A. 5B. 7C. 9D. 10
3.记Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=4，S8=16，则S12=( )
A. 64B. 52C. 36D. 28
4.在等比数列{an}中，a3=32，S3=92，则a1=( )
A. 32或6B. 3C. 32或3D. 6
5.已知a1=2，an=n(an+1−an)，则数列{an}的通项公式是an=( )
A. nB. n+1C. 2nD. (n+1n)n
6.设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A. −1B. −eC. 1D. e
8.已知f(x)=x3−ax在(−∞,−1]上递增，则a的取值范围是( )
A. a>3B. a≥3C. a0，a7+a10a8B. 公差d0的n的最大值为16
11.数列{an}满足：a1=1，an+1−3an−1=0，n∈N*，下列说法正确的是( )
A. 数列{an+12}为等比数列B. an=12×3n−12
C. 数列{an}是递减数列D. {an}的前n项和Sn=14×3n+1−54
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列{an}满足an+1=11−an，a1=12，则a2024=______.
13.若直线y=3x+b与曲线y=ln2x+x−1相切，则b=______.
14.毕达哥拉斯学派是由古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，…，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为______，若这些数构成一个数列，记为数列{an}，则a1+a22+a33+⋅⋅⋅+a2121=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设函数f(x)=2x3+ax2+bx+1的导函数为f′(x)，若函数f′(x)的图象关于直线x=−1对称，且f′(1)=0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，在①an+1=2Sn+3(n∈N*)；②Sn=32(3n−1)(n∈N*)；③13a1+132a2+133a3+⋯+13nan=n(n∈N*)，这三个条件中任选一个，解答下列问题．
(1)求出数列{an}的通项公式；
(2)若设bn=lg3a2n−1，数列{1bnbn+1}的前n项和为Tn，证明：Tn1)，
可得数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
则a5=3+4×2=11.
故选：C.
由等差数列的定义和通项公式，计算可得所求值．
本题考查等差数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，
∴3a3=3，
∴a3=1，
∴S5=5(a1+a5)2=5a3=5.
故选：A.
由等差数列{an}的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
本题考查了等差数列的性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3.【答案】B
【解析】解：Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=4，S8=16，
∵由等比数列的性质得：S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，
∴(S8−S4)2=S4(S12−S8)，
即(16−4)2=4(S12−16)，
解得S12=52.
故选：B.
由等比数列的性质得：S4，S8−S4，S12−S8成等比数列，由此能求出S12的值．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由a3=32，S3=92，得：
a1q2=32a1−32q1−q=92
得a1=32或6.
故选：A.
将a3=32，S3=92建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的正确性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由an=n(an+1−an)，得(n+1)an=nan+1，
即an+1an=n+1n，
则anan−1=nn−1，an−1an−2=n−1n−2，an−2an−3=n−2n−3，…，a2a1=21，
由累乘法可得ana1=n，因为a1=2，所以an=2n，
故选：C.
根据题意可得an+1an=n+1n，再利用累乘法计算可得．
本题考查数列通项公式的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，
即有导数小于0，可排除C，D；
再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，
函数f(x)递减，再递增，后递减，
即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，
可排除A；
则B正确．
故选：B.
由f(x)的图象可得在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项即可判断．
本题考查导数的概念和应用，考查函数的单调性与其导数符号的关系，以及数形结合的思想方法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，把f′(1)看成一个常数，就比较简单了．
已知函数f(x)的导函数为f′(x)，利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解；
【解答】
解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，(x>0)，
∴f′(x)=2f′(1)+1x，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2f′(1)+1，
解得f′(1)=−1，
故选A.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．
先求出函数的导数，分离出a，从而求出a的范围．
【解答】
解：f′(x)=3x2−a，
若f(x)=x3−ax在(−∞,−1]上递增，
则f′(x)=3x2−a≥0在(−∞,−1]上恒成立，
即：a≤(3x2)min=3，
故选：D.
9.【答案】AC
【解析】解：(x3−1x)′=3x2+1x2，A正确；
(ln2)′=0，B错误；
(xex)=ex+xex=(x+1)ex，C正确；
(sinx3)′=13csx3，D错误．
故选：AC.
由已知结合函数的求导公式及复合函数的求导法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式及复合函数的求导法则，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：根据等差数列的性质知，a7+a8+a9=3a8>0，a8>0，
又a7+a10=a8+a9