2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）段考数学试卷（一）-普通用卷

这是一份2023-2024学年山东省泰安市宁阳一中高一（下）段考数学试卷（一）-普通用卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设i是虚数单位，则复数i+12+i在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知a=(2,−1)，b=(1,−1)，则(a+2b)⋅(a−3b)=( )
A. 10B. −10C. 3D. −3
3.在△ABC中，AD为BC边上的中线，2AE=ED，则BE=( )
A. −56AB+16ACB. −16AB−56ACC. −56AB−16ACD. −16AB+56AC
4.在△ABC中角A、B、C所对边a、b、c满足a=c−2acsB，c=5，3a=2b，则b=( )
A. 4B. 5C. 6D. 6或152
5.在复数范围内方程x2+4x+5=0的根为( )
A. −5和1B. −1和5C. 2±iD. −2±i
6.在△ABC中，若asinB= 3bcsA，且sinC=2sinAcsB，那么△ABC一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形
7.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高h=( )
A. acsαsin(γ−α)sin(γ−β)B. asinαsin(γ−α)sin(γ−β)
C. acsαsin(γ−β)sin(γ−α)D. asinαsin(γ−β)sin(γ−α)
8.已知向量a，b满足|a|=2，|b|=3，则|a+b|+|a−b|的取值范围为( )
A. [4,2 13]B. [4,10]C. [6,10]D. [6,2 13]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知复数z1，z2，下列结论正确的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. 若z1z2=0，则z1=z2=0
C. |z1z2|=|z1||z2|D. 若z12=1，则z1=z1−
10.下列说法中正确的是( )
A. 若AB=CD，则|AB|=|CD|，且A，B，C，D四点构成平行四边形
B. 若m为非零实数，且ma=nb，则a与b共线
C. 在△ABC中，若有AO=t(AB|AB|+AC|AC|)，那么点O一定在∠BAC的平分线所在直线上
D. 若向量a//b，则a与b的方向相同或相反
11.如图，直线l与△ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则( )
A. △ABC的面积S=12b2sinAsinCsinB
B. b=acsA+ccsC
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθ
D. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，则a在b方向上的投影向量是______.
13.在△ABC中，sinA:sinB:sinC= 3:4: 31，则A+B−C=______.
14.已知复数z满足|z|=1，则|z+5−12i|(i为虚数单位)的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知|a|=1，|b|= 3，a+b=( 3,1)，求：
(1)|a−b|；
(2)a+b与a−b的夹角．
16.(本小题15分)
设复数z1=1−ai(a∈R)，z2=3−4i.
(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；
(2)若z1z2是纯虚数，求z1.
17.(本小题15分)
已知a=(−1,0)，b=(2,1).
(1)若AB=2a−b，BC=a+mb且A、B、C三点共线，求m的值.
(2)当实数k为何值时，ka−b与a+2b垂直？
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， 3c+bsinA= 3acsB.
(1)求A；
(2)若点D是BC上的点，AD平分∠BAC，且AD=2，求△ABC面积的最小值.
19.(本小题17分)
设A，B是单位圆上不同的两个定点，点O为圆心，点C是单位圆上的动点，点C满足OC=sinαOB+csαOA(α为锐角)线段OC交AB于点D(不包括A，B)，点P在射线OC上运动且在圆外，过P作圆的两条切线PM，PN.
(1)求OB⋅BA+CO⋅CA+BC⋅BO的范围.
(2)求PM⋅PN的最小值，
(3)若OD=λOC,BD=μBA，求λ2μ+1的最小值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由i+12+i=(i+1)(2−i)(2+i)(2−i)=3+i5=35+15i，
得复数i+12+i对应的点的坐标为(35,15)，位于第一象限．
故选：A.
利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数的几何意义可得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：a=(2,−1)，b=(1,−1)，
则a+2b=(4,−3)，a−3b=(−1,2)，
(a+2b)⋅(a−3b)=4×(−1)+(−3)×2=−10.
故选：B.
利用向量的坐标运算分别求出a+2b，a−3b，再利用数量积的坐标运算求解即可．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵2AE=ED，
由已知可得，AD=12(AB+AC)，
∴AE=16(AB+AC)，
∴BE=AE−AB=16(AB+AC)−AB=−56AB+16AC.
故选：A.
根据图形的几何性质，以及向量加减法、数乘运算的几何意义，即可得出答案．
本题考查平面向量的基本定理，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由a=c−2acsB得a=c−2a⋅a2+c2−b22ac，
即ac=b2−a2，
又c=5，3a=2b，
故10b3=b2−4b92，
∴b=6，b=0(舍).
故选：C.
根据余弦定理化简a=c−2acsB可得ac=b2−a2，再结合条件即可求得答案．
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由Δ=16−4×5=−4，则方程的根为−4± Δ2=−4±2i2=−2±i.
故选：D.
利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可．
本题考查复数的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：已知asinB= 3bcsA，
则sinAsinB= 3sinBcsA，
则tanA= 3，
即A=π3，
又sinC=2sinAcsB，
则sinAcsB+csAsinB=2sinAcsB，
即sinAcsB−csAsinB=0，
即sin(A−B)=0，
又−π