2024年广东省广州市九年级中考数学考前练习试卷

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1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，
下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
3 .为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，
则在这组数据中，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，14
【答案】A
【分析】根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）分别求出众数和中位数即可得．
【详解】解：∵睡眠8小时出现的次数最多，为16次，
∴众数是8，
∵被调查的学生人数为3+16+14+7=40（人），
∴总共有40个数据，
将这些数据按从小到大进行排序后，
第20个数和第21个数据分别为9，9，
则中位数是9，
故选：A．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
故选：B．
5. 在物理并联电路里，支路电阻R1、R2与总电阻R之间的关系式为＝+，
若R≠R1，用R、R1表示R2正确的是（ ）
A．R2＝ B．R2＝C．R2＝ D．R2＝
【解答】解：＝+，
＝﹣，
＝，
得R6＝．
故选：B．
6. .小冰和小雪自愿参加学校组织的课后托管服务活动，
随机选择自主阅读、体育活动、科普活动三项中的某一项，
那么小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有l种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：设自主阅读、体育活动、科普活动分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪同时选择“体育活动”的结果有1种，
小冰和小雪同时选择“体育活动”的概率为，
故选：．
7. 若点，，都在反比例函数的图象上，
则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，
测得，，，则点到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】过点A作于点D，根据解直角三角形，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：

在中，，
故选：A．
如图，在中平分，按以下步骤作图：
第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接分别交于点E、F；
第三步，连接，若，，，则的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质．
由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出．
【详解】解：由作法得垂直平分AD，
，，，
平分，
，
，
∴四边形为菱形，
，
，
，
，
，
解得：，
．
故选：B．
10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，
称点是点的“倍增点”，已知点，有下列结论：
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点A是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
④若点是点的“倍增点”，则的最小值是．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证即可；②点，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a的值，即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点，根据“倍增点”定义可得，根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 2022年5月14日，编号为B-001J的大飞机首飞成功．数据显示，
大飞机的单价约为653000000元，数据653000000用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
12. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键．先提出公因式，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为，那么黑球的个数是 ．
【答案】6
【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可
【详解】∵袋子中装有2个白球和n个黑球，摸出白球的概率为，
∴=，
解得n=6，
经检验n=6是原方程的根，
故答案为：6
14. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，
则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】延长FA交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=，再求出正六边形内角∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°， 利用扇形面积公式代入数值计算即可．
【详解】解：延长FA交⊙A于G，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，
∴∠GAB=，
∠FAB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，
∴，
故答案为．
15 .某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，
该时段内甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，
那么从开始，经过 分钟时，当两仓库快递件数相同．

【答案】20
【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法分别求出甲、乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式，在求出两直线的交点即可得到答案．
【详解】解：设甲仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
设乙仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数关系式为，
根据图象得，，
解得：，
∴，
联立，
解得：，
经过20分钟时，当两仓库快递件数相同，
故答案为：20．
如图，矩形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在第一象限，
对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则______．

【答案】
【解析】
【分析】方法一：根据的面积为，得出，，在中，，得出，根据勾股定理求得，根据的几何意义，即可求解．
方法二：根据已知得出则，即可求解．
【详解】解：方法一：∵，
∴
设，则，
∴
∵矩形的面积是6，是对角线，
∴的面积为，即
∴
在中，
即
即
解得：
在中，
∵对角线轴，则，
∴,
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
方法二：∵，
∴
设，则，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 解不等式组，并在数轴上表示解集：
【答案】画图见解析，
【解析】
【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得：，
由②得：
解得：
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴不等式组的解集为：
18. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形AECF是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
（2）证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
19 .化简求值：，其中．
【答案】；
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
20. 疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：．效果很好；．效果较好；．效果一般；．效果不理想）并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）此次调查中，共抽查了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠a的度数；
（3）某班人学习小组，甲、乙人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取人，则“人认为效果很好，人认为效果较好”的概率是多少?（要求画树状图或列表求概率）
【答案】（1）200；（2）补全条形统计图见解析，72°；（3） .
【解析】
【分析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数；
（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到∠∝；
（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“人认为效果很好，人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.
【详解】（1）80÷40%=200（人），
故答案为：200；
（2）“C”的人数为：200-80-60-20=40（人），
补全条形统计图如下：
∠∝=；
（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁，
①画树状图如下：
共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有2种，
∴P（人认为效果很好，人认为效果较好）=；
②列表如下
共有12种可能出现的结果，其中“人认为效果很好，人认为效果较好”的有2种，
∴P（人认为效果很好，人认为效果较好）=；
21. 如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数为常数，的图象在第一象限交于点，与轴交于点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点在轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
（2）或或
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代入再解方程即可得出答案；
（2）首先利用勾股定理求出得的长，再分两种情形讨论即可．
【小问1详解】
解：把点代入一次函数得，
解得：，
故一次函数的解析式为，
把点代入，得，
，
把点代入，得，
故反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：，，，
当时，或，
当时，点关于直线对称，
，
综上所述：点的坐标为或或．
22.“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束元、元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的倍，若消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束．
(1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
(2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低元，康乃馨的售价每束降低元．求花店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）
【答案】(1)康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
(2)购进百合束，购进康乃馨束．
【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
（）设康乃馨的售价为每束元，根据消费者用元购买百合的数量比用元购买康乃馨的数量少束得：，解方程并检验可得答案；
（）设购进百合束，根据使用不超过元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有，，设花店获得利润为元，可得：，再根据一次函数性质可得答案；
【详解】（1）设康乃馨的售价为每束元，则百合的售价为每束元；
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴，
答：康乃馨的售价为每束元，百合的售价为每束元；
（2）设购进百合束，则购进康乃馨束，
∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，
∴，
解得，
设花店获得利润为元，
根据题意得：，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值（元），
此时，
答：购进百合束，购进康乃馨束．
23. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【答案】（1）见解析；（2）BF－AE＝EF，见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由切线的性质可得∠ODP＝90°，∠BOD＝90°，从而根据“内错角相等，两直线平行”即可证明DP∥AB；
（2）先证明△ADE≌△DBF，得到BF＝DE，AE＝DF，进而根据线段的运算得到“BF－AE＝EF”；
（3）由勾股定理运算得出AD，CE，CD的值，再根据PD∥AB得到∠PDA＝∠ACD，从而证明△PAD∽△PDC，根据相似比计算得出PD即可．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵PD切⊙O于点D，
∴OD⊥PD，∠ODP＝90°
∵∠ACD＝∠BCD，∠AOD＝2∠ACD，∠BOD＝2∠BCD，
∴∠AOD＝∠BOD＝×180°＝90°，
∴∠ODP＝∠BOD，
∴PD∥AB
（2）BF－AE＝EF，
证明如下：
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDF＝90°，
∵AE⊥CD，BF⊥CD
∴∠AED＝∠BFD＝90°，
∴∠FBD＋∠BDF＝90°，
∴∠FBD＝∠ADE，
∵∠AOD＝∠BOD
∴AD＝BD
∴△ADE≌△DBF（AAS），
∴BF＝DE，AE＝DF
∴ BF－AE＝DE－DF，
即BF－AE＝EF
（3）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2＝100，
在Rt△ADB中，AB2＝2AD2，
∴AD＝5，
Rt△AEC中，AC2＝AE2＋CE2，
∴AE＝CE＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝4，
∴CD＝CE＋DE＝7，
∵PD∥AB，
∴∠PDA＝∠DAB，
∵∠ACD＝∠BCD＝∠DAB，
∴∠PDA＝∠ACD，
又∵∠P＝∠P，
∴△PAD∽△PDC，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD＋6，
∴＝，
∴PD＝
24. 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，
连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，
以为腰作等腰，使，，连接，
判断和的数量关系，并说明理由；
解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，
以为边作正方形，是正方形的中心，连接．
若正方形的边长为5，，求正方形的边长．
解：（1）问题发现：
∵和都是等边三角形，
∴A，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）变式探究：，
理由如下：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
解决问题：连接、，
如图所示:
∵四边形是正方形，
∴，，
∵是正方形的中心，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
则，
在中，，
即，
解得，（舍去），，
∴正方形的边长为：．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．
P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，或（3，4）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解；
（3）由已知条件可得，进而可得，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据，根据二次函数的性质即可求的最大值．
【小问1详解】
解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以抛物线的解析式为．
【小问2详解】
设直线AB的解析式为，
将A（4，0），B（1，4）代入，
得，
解得．
所以直线AB的解析式为．
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．
过点B作BE⊥PM，垂足为E．
所以
．
因为A（4，0），B（1，4），所以．
因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍，
所以，．
设，则．
所以，
即，
解得，．
所以点P的坐标为或（3，4）．
【小问3详解】
记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点
，
，
设
直线AB的解析式为．
设，则
整理得
时，取得最大值，最大值为
认为效果很好
认为效果较好
A
B
C
D
A
AB
AC
AD
B
BA
BC
BD
C
CA
CB
CD
D
DA
DB
DC