九年级数学下册专题02反比例函数与特殊三角形存在性问题(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题02反比例函数与特殊三角形存在性问题(原卷版+解析)(人教版)，共38页。试卷主要包含了等腰三角形存在性问题，直角三角形存在性问题，等腰直角三角形存在性问题等内容，欢迎下载使用。
例．如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；
(2)求点的坐标：
(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标
【变式训练1】．如图，正方形的顶点，点，反比例函数的图象经过点．

(1)试说明反比例函数的图象也经过点；
(2)如图，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、．
①求的面积；
②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．

(1)求k的值．
(2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图象直接写出时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标 ．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图像上，反比例函数，且，，的图像经过点A，且与边相交于点E．

(1)若，求点的坐标；
(2)连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接．
(1)求的值与点的坐标；
(2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．

(1)求，的值及反比例函数的解析式；
(2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；
(3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，．
(1)求反比例函数的表达式及E点坐标；
(2)如图2，连接，，试判断与的数量和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，在反比例函数的图象上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【变式训练3】．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，．
(1) ， ；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标 ．
专题02 反比例函数与特殊三角形存在性问题
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，双曲线的图像经过矩形的边的中点，若且四边形的面积为．

(1)求双曲线的解析式；
(2)求点的坐标：
(3)若点为轴上一动点，使得为以为底边的等腰三角形，请直接写出点的坐标
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)点的坐标为或
【分析】（1）如图所示，连接，设矩形的长，宽，可得的坐标，分别表示出的面积，根据，，可求出点横坐标，纵坐标的关系，代入反比例函数解析式即可求解；
（2）设，可得，在中，根据勾股定理可的的关系，联立方程即可求解；
（3）根据题意，分类讨论，以为底，作的垂直平分线，运用相似三角形求出与轴的交点，由此即求出的直线解析式，再根据与轴的交点，图形结合即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接，设矩形的长，宽，

∴，，，
∵分别是边中点，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，即，则
∵点在反比例函数图像上，且反比例函数图像在第一象限，
∴，
∴，
∴，
∴双曲线的解析式为．
（2）解：设，
∵，
∴
∴①，
在中，根据勾股定理得：，即②，
联立①②解得：或，
当时，；
当时，．
（3）解：①当时，以为底边的等腰三角形，
∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∵，，
∴点的横坐标为，纵坐标为，即，且，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，，，
∴，解得，，
∴直线的解析式是为，
∵直线与轴交于点，
∴令，得，
∴点的坐标为；
②当时，以为底边的等腰三角形，
∴作的垂直平分线，交轴于点，交于点，交轴于点，如图所示，

∴，，，，，∴，
在中，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
设所在直线的解析式为，，，
∴，解得，，
∴直线的解析式是为，
∵直线与轴交于点，
∴令，得，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合，掌握坐标与图形的性质，反比例函数与几何图形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题的关键．
【变式训练1】．如图，正方形的顶点，点，反比例函数的图象经过点．

(1)试说明反比例函数的图象也经过点；
(2)如图，正方形向下平移得到正方形，边在轴上，反比例函数的图象分别交正方形的边、于点、．
①求的面积；
②在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①；②存在，或
【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数表达式求得值，再验证点即可；
（2），即可求解；
分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）点，点，四边形是正方形，
点，，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数表达式为：，
当时，得，
反比例函数的图象也经过点；
（2）解：平移后点、、、的坐标分别为：、，、，
则平移后点横坐标为，则点，
同理点，
；

点、的坐标分别为：、，
设点，则，，，
当时，即，解得：或，
当时，点、、三点共线，故舍去，，
当时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当时，同理可得：，
故点的坐标为：或，使得是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
【变式训练2】．如图，四边形是面积为4的正方形，函数的图象经过点B．

(1)求k的值．
(2)将正方形分别沿直线翻折，得到正方形，正方形．设线段，分别与函数的图象交于点E，F，求线段所在直线的解析式．
(3)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直按写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由正方形面积求得点B的坐标为，即可得解；
（2）由翻折可得点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，由解析式得，设直线的解析式为，将两点坐标代入求解；
（3）设点，由得，，，分情况讨论：①若，②若，③若，分别列方程求解．
【详解】（1）解：∵四边形是面积为4的正方形，
∴.
∴点B的坐标为．
∴．
（2）解：∵正方形，正方形是由正方形翻折得到，
∴．
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4 ．
∵点E，点F在函数的图象上，
∴．
设直线的解析式为，将两点坐标代入，得
解得
∴直线的解析式为．
（3）解：存在．
如图，设点，由得
，，，
①若，则，解得或；
②若，，解得或；
③若，，解得；
∴点P的坐标为．

【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形性质，两点距离求解；坐标系内灵活运用轴对称性质求解点坐标是解题的关键．
【变式训练3】．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)观察图象直接写出时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标 ．
【答案】(1)，；
(2)
(3)或
(4)或，或或
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应的取值；
（4）存在三种情况：，，，根据点的坐标综合图形可得点的坐标．
【详解】（1）解：点坐标为
把点的坐标代入中得：
反比例函数的解析式是：
把点的坐标为代入中，得：，
把、两点的坐标代入中得：，解得：
一次函数的解析式为：；
（2）解：如图1，当时，，，
，
；
（3）解：由图象得：时的取值范围是：或；
（4）解：当是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当时，如图2，
，，，或，；
②当时，如图3，
；
③当时，如图4，过作轴于，
设，则，，，
，，，；
综上，的坐标为或，或或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，或或或
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为，利用勾股定理求出，；再分当时，当时，当时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把将代入中得：，
∴，
将代入中得：，
∴，；
（2）解：∵直线和交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，
∴，
设点D的坐标为，
∴，；
当时，则，
∴，
解得，
∴点D的坐标为；
当时，则，
∴，
∴，
解得，
∴点D的坐标为或，
当时，则，
∴，
解得，
∴点D的坐标为；
综上所述，x轴上是否存在一点D或或或使得为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是矩形，且，，．反比例函数（）的图象分别交、于点E、点F ．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接、、，求的面积；
(3)是否存在x轴上的一点P，使得是不以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，请求出符合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)
(3)，
【分析】（1）根据题意得到点的坐标为，根据待定系数法可得的值，即可；
（2）求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出；
（3）设点坐标为，求出点与点的坐标，运用分类讨论思想结合勾股定理解决问题．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，
，
，，
所以点的坐标为，
点在反比例函数上，代入，得到，
故反比例函数解析式为；
（2）如图，
，
，
时，，
，
即，，，
，
；
（3）如图，
，
设所求点坐标为，
，，
，
，
，
当时，
，
即，，
解得，，
故；
当时，
，
即，，
解得，，
故，
综上所述；存在点，坐标为，．
【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合性问题，涉及到反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式、坐标表与图形的关系、勾股定理等知识，分类讨论思想的运用是解决最后一问的关键．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在轴的正半轴上，以线段为边向上作正方形，顶点A在正比例函数的图像上，反比例函数，且，，的图像经过点A，且与边相交于点E．

(1)若，求点的坐标；
(2)连接，．
①若的面积为24，求的值；
②是否存在某一位置使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①18；②不存在，理由见解析
【分析】(1)根据，设，代入解析式确定A的坐标，确定反比例函数解析式，根据，代入反比例函数解析式计算即可；
(2)①设，则，，，根据题意，得，列出等式计算即可；②假设，证明，利用反比例函数解析式建立等式证明即可．
【详解】（1）∵正方形，，，
∴，，
设，则，，
代入，得，
解得，
故，即，
∴，
∴；
（2）①∵点A在直线上，
∴设，
∵正方形，，
∴，，，
∴，，
根据题意，得，
∴，
解得，（舍去），故，
故；
②∵，
∴ ，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，∴，
∵点A在直线上，
∴设，此时：，则，，
∴，即：，
∴，∴，
∵B、C两点在x轴的正半轴上，
∴，∴，
这是不可能的，故不存在某一位置使得．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，三角形面积的分割法计算，熟练掌握正方形的性质，反比例函数解析式，三角形全等的判定和性质，是解题的关键．
【变式训练3】．如图，矩形的边分别在轴、轴的正半轴上，．反比例函数的图象经过的中点，交边于点，连接．
(1)求的值与点的坐标；
(2)轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是轴上的一点，以点为顶点的三角形是直角三角形，请求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)或
【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，进而求得的值，根据点在反比例函数图象上，将的横坐标代入解析式即可求解；
（2）设，根据勾股定理求得的长，根据等腰三角形的定义，分类讨论即可求解；
（3）根据是轴上的一点，设，则，，，根据勾股定理建立方程，分类列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，的横坐标为，
∴，
∴；
（2）解：存在，设，
∵，，
∴，，，
设直线的解析式为，则，
，
解得，
∴，
①当时，，
解得：，
∴，
②当时，，
此方程无解，
③当时，，
解得或，
∵线的解析式为，当时，，
∴,在直线上，
综上所述，或，
（3）是轴上的一点，设，则，，，
①当为直角顶点时，，
解得：，则，
②当为直角顶点时，，
解得：，则
③当为直角顶点时，，
此方程无解，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形，勾股定理求两点距离，等腰三角形的定义，掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
类型三、等腰直角三角形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点和点，点，分别是轴和轴的正半轴上的动点，且满足．

(1)求，的值及反比例函数的解析式；
(2)若，求点的坐标，判断四边形的形状并说明理由；
(3)若点是反比例函数图象上的一个动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)矩形，理由见解析
(3)，，
【分析】（1）把和分别代入得：；进而把代入得，即可求解；
（2）根据，设的解析式为，依题意得出的坐标为，进而可得解析式为，进而得出，过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，得出，即可得出结论；
（3）①当时，根据图形可得，②当时，由图得，代入反比例数解析式，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：把和分别代入得：；
把代入得，
所求反比例函数解析式为，
（2），
设的解析式为，
又，在轴的正半轴上，
的坐标为，
以点、、、构成的四边形是矩形，理由如下：
解析式为，
，
，，，
，
又
四边形是平行四边形
过点作轴于点，则，故和都等腰直角三角形，
，
，
是矩形

（3）①当时，由图得：，
，则，
，

②当时，由图得
，解得：舍去
，
综上所述：的坐标为，，．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，矩形的性质与判定，勾股定理，解一元二次方程，分类讨论，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式训练1】．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，
，
，
∴；
（3）解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．
【变式训练2】．如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，且顶点B的坐标为，．
(1)求反比例函数的表达式及E点坐标；
(2)如图2，连接，，试判断与的数量和位置关系，并说明理由；
(3)如图3，连接，在反比例函数的图象上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，点E坐标为
(2)与的位置关系为，数量关系为，理由见详解
(3)存在，点F的坐标为或
【分析】（1）由B点坐标和可求得D点横坐标，再由轴可得D点纵坐标，由D点坐标可得反比例函数解析式，再把E点的横坐标代入解析式求出E点纵坐标；
（2）根据已知的点的坐标求出，，，，再计算出对应线段的比值证得，再利用相似三角形的性质求得最终结论；
（3）分类讨论F点在第一象限和第三象限的两种情况，作等腰直角三角形构造角，再利用三垂直模型得到全等的三角形，从而求得直线上的点的坐标，再利用待定系数法求出点F所在的一次函数的解析式，联立一次函数和反比例函数即可求得F点坐标．
【详解】（1）解：根据题意，由点B的坐标为得，，
点D的坐标为，代入中得，得，
反比例函数的表达式为
由题意知，点E的横坐标为6
代入中
得点E纵坐标为
点E坐标为
（2）解：DE与AC的位置关系为，数量关系为，理由如下：
，，，，
，，，
，
，
（3）解：存在
①当点F在第一象限的反比例函数图象上时，如图4
作，且使，连接，则，过点G作轴于点M，过点E作轴于点N，易得（三垂直模型）
∴，
∴点G坐标为
将和代入直线的表达式中，得
解得
所以，直线的表达式为：
联立反比例函数之和直线得
解得或
所以，点F的坐标为
②当点F在第三象限的反比例函数图象上时
如图5，作，且使，连接，则，过点S作轴于点T
∴易得，（三垂直模型）
∴，
∴点S坐标为
将和代入直线的表达式中，得
解得
所以，直线的表达式为：.
联立反比例函数和直线得，
解得，或
所以，点F的坐标为
综上所述，使得时，点F的坐标为或
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，不仅涉及到反比例函数相关知识和待定系数法求一次函数的解析式，还考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握函数与几何的基础知识并能灵活运用是解决本题的关键．
【变式训练3】．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．将线段先向右平移个单位长度、再向上平移个单位长度，得到对应线段，反比例函数的图像恰好经过，两点，连接，．
(1) ， ；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)点在轴正半轴上，点是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形时，点的坐标 ．
【答案】(1)；
(2)
(3)或
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点 ， 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出 ，再判断出 ，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）将点 代入 ，得， ，
直线的解析式为 ，
将 代入，得 ，
（2）由（）知，，
，
由平移可得：设点，．
将点， 分别代入 ，得

反比例函数的解析式为
（3）①当 、 时，如图2，过点 作直线 轴，交 轴于点 ．过点 作于点 ，交 轴于点 ．过点 作于点
设点 （其中 ），则 ， ．
，
．
于点E，
，
．
， ，
，
， ，
，
．
将 代入 ，得 ，
点 ；
②当 、 时，如图3，过点 作直线 轴与点 ，则
．过点 作 轴于点 ， 交直线 与点E，则于点 ， ．
，
．
于点 ，
，
．
又 ， ， ， ， ．
设 ，则 ， ， 点 ．
将点 代入 ，得 ．解得，，
，
点
综合①②可知：点M的坐标为 或．
【点睛】本题是综合考查反比例函数待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．