九年级数学下册专题03反比例函数与特殊四边形存在性问题(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题03反比例函数与特殊四边形存在性问题(原卷版+解析)(人教版)，共62页。试卷主要包含了平行四边形形存在性问题，菱形存在性问题，矩形存在性问题，正方形存在性问题等内容，欢迎下载使用。
例．如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练1】．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．

(1)求点的坐标．
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标．
(3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；
(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；
(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【变式训练4】．综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线．
(1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
(3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标．
类型三、矩形存在性问题
例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．
(1)求双曲线的表达式；
(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值；
(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．
【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分，交AO于点E，交AC于点F，．若OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根，且．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
(1)求，的值．
(2)当的面积为3时，求点的坐标．
(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．
【变式训练2】．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．

(1)求n的值．
(2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标．
(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
(1)求k，b的值.
(2)当的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【变式训练4】．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
专题03 反比例函数与特殊四边形存在性问题
类型一、平行四边形形存在性问题
例．如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)的面积为
(3)存在，点的坐标为，，
【分析】（1）作垂直于轴，根据等腰三角形的三线合一求出，再由等腰直角三角形OAB求出点A的坐标，最后用待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）将三角形的面积转化为，再根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）分别考虑OP，AP，BP为对角线构成的平行四边形，再求出P点坐标即可．
【详解】（1）作垂直于轴，垂足为点，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴
∴点
设一次函数解析式为，反比例函数解析式为
将点和代入，得，，
∴一次函数的解析式为．
将点代入，得．
∴反比例函数的解析式为，
即一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
（2）将两个函数联立得，整理得2，
解得，，所以，，所以点
，
即的面积为；
（3）由（1），（2）可知，，O(0，0)，
当OP为对角线时，点P；
当DP为对角线时，点P；
当AP为对角线时，点P
∴点的坐标为，，．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的判定，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．
【变式训练1】．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点．
(1)求的值；
(2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标．
【答案】(1)4
(2)
(3)或或
【分析】（1）过点D作DM⊥y轴于点M，根据ED=EA，△EDM≌△EAO，得到AO=DM=1，从而得到D（1，k），是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），根据反比例函数的性质，得到k=2(-2+k)，求解即可．
（2）根据（1）可确定点C（2，2），确定直线BC解析式为y=2x-2，从而确定点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，根据FM=FN，得到MH=HN即，设点G（0，t），则，构造等式，求解即可．
（3）根据点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），运用平移思想，分A平移得到Q和A平移得到P两种情形计算即可．
【详解】（1）如图1，过点D作DM⊥y轴于点M，
∵A（-1，0），
∴ OA=1．
∵ED=EA，∠DME=∠AOE=90°，∠DEM=∠AEO，
∴ △EDM≌△EAO，
∴AO=DM=1，
∵点D在第一象限，且在反比例函数上，
∴D（1，k）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ D（1，k）是点A向右平移2个单位，向上平移k个单位得到，
∴ 将点B（0，-2）作同样的平移即可得到点C（2，-2+k），
∴k=2(-2+k)，
解得k=4．
（2）如图2，连接FM、FN．
根据（1）可确定点C（2，2），∵点B（0，-2），
∴设直线BC的解析式为y=kx-2，
∴2=2k-2，
解得k=2，
∴直线BC解析式为y=2x-2，
∴2x-2=0，
解得x=1，
∴点F（1，0），
过点F作FH⊥MN于点H，
∴H的横坐标为1，,
根据FM=FN，
∴MH=HN即，
设点G（0，t），则，
∴，
∴，
解得t=，
故点G坐标为（0，）．
（3）∵点A（-1，0），B（0，-2），设Q（0，n），P（m，），
∵四边形ABPQ是平行四边形，
∴平行四边形的对边平行且相等，
当A平移得到Q时，
∵点A（-1，0），Q（0，n），
∴点A向右平移1个单位，当n＞0时，向上平移n个单位得到Q，如图3所示，
∴点B向右平移1个单位，向上平移n个单位得到P，
∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+n），
∵P在反比例函数上，
∴1×（-2+n）=4，
解得n=6，
此时点Q(0，6)；
当n＜0时，向下平移|n|个单位得到Q，如图4所示，
∴点B向右平移1个单位，向下平移|n|个单位得到P，
∵B（0，-2），
∴点P（1，-2+|n|），
∵P在反比例函数上，
∴1×（-2+|n|）=4，
解得n=-6，n=6(舍去)，
此时点Q(0，-6)；
当A平移得到P时，
∵点A（-1，0）平移得到P（m，），则B（0，-2）平移得到Q（0，n），
∴m=-1，
故点P（-1，-4），
即点A向下平移4个单位，
当点B向下平移4个单位，得到（0，-6），当点B向上平移4个单位，得到（0，2），
如图5所示，此时点Q(0，-6)或（0，2）
综上所述，点Q的坐标为（0，6）或（0，-6）或（0，2）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，反比例函数的解析式和性质，分类思想，平移思想，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质，平行四边形的性质，平移思想是解题的关键．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．

(1)求点的坐标．
(2)求反比例函数的表达式及点的坐标．
(3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由．
【答案】(1)点的坐标为
(2)，点D的坐标为
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）利用勾股定理求得，即可求得点的坐标；
（2）由中点的性质可得点的坐标为，将点的坐标代入反比例函数即可求得，进而求得反比例函数的表达式，再求得直线的函数表达式，联立方程组，即可求得点的坐标；
（3）分三种情况讨论：①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）解：，，
在中，根据勾股定理，得，
点的坐标为；
（2）解：是的中点，轴，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
反比例函数的表达式为，
设直线的函数表达式，
由点，可得，，
解得：，
直线的函数表达式为，
联立，即，
解得：，
反比例函数在第二象限，
，
，
点的坐标为；
（3）解：存在，点E的坐标为或或.
如图，有3种情况：

①若以为对角线，则四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
.
②若以为对角线，则四边形为平行四边形，
，
点与关于原点对称，
.
③若以为对角线，则四边形为平行四边形，
，，
，
.
综上所述，点的坐标为或或.
【点睛】本题考查了勾股定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内．
(1)求点B的坐标；
(2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
(3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（-3，1）
(2)， 反比例函数的关系式为；
(3)或或
【分析】（1）先求出OA=6，OG=7，DG=3，再判断△CGA≌△AHB，得CG=AH=3，BH=AG=1，即可得出答案；
（2）先根据运动表示出点F，E的坐标，进而求出k，t，即可得出结论；
（3）先求出点F，E的坐标，再分三种情况讨论，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出解，即可得出结论．
【详解】（1）过点B，C作BH⊥x轴，CG⊥x轴交于点H，G，
∵点A（-6，0），D（-7，3），
∴OA=6，OG=7，CG=3，
∴AG=OG-OA=1．
∵∠CAG+∠BAH=90°，∠CAG+∠GCA=90°，
∴∠GCA=∠BAH．
又∠CGA=∠AHB=90°，AC=AB，
∴△CGA≌△AHB，
∴CG=AH=3，BH=AG=1，
∴点B的坐标是（-3，1）；
（2）由（1），得点B（-3，1），C（-7，3），
∴运动t秒时，点，．
设反比例函数的关系式为，
∵点，在反比例函数图像上，
∴，
解得，k=6，
∴反比例函数的关系式为；
（3）存在，理由：由（2）知，点，,，
∴，，反比例函数关系式为，
设点Q，点P（n，0）．
以点以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是平行四边形，
∴①当EF是对角线时，
∴,
解得，
∴；
②当EP是对角线时，
∴,
解得，
∴；
③当EQ是对角线时，
∴,解得，∴；
综上所述： 或或．
【点睛】这是一道关于反比例函数的综合题目，主要考查了待定系数法，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
类型二、菱形存在性问题
例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
(1)求出点D坐标和反比例函数关系式；
(2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）；
(3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】(1)D，反比例函数表达式为y＝
(2)E，DE∥AC，理由见解析
(3)点G的坐标为或都在反比例函数图象上
【分析】（1）根据B，则BC＝2，而BD＝，则CD＝，故点D=，将D点代入函数解析式中可得到系数的值．
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D，点E ，点B，可知BD＝，BE＝，则，，即可证明平行；
（3）根据题意可分为两种情况（1）点F在点C的下方,（2）点F在点C的上方，分别讨论其两种情况即可．
【详解】（1）解：（1）∵B，则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝，故点D，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D，点E ，点B，
则BD＝，BE＝，
故，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，
当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝，
则tan∠OCA＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cs∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．
【点睛】本题考查反比例函数的图象和解析式，菱形的存在性问题，能够掌握属性结合思想是解决本题的关键．
【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
(1)求点C的坐标和反比例函数的表达式；
(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)C（9，3），
(2)
(3)存在，（－3，6）或（12，6）或或
【分析】（1）过点C作CH⊥x轴，交于点H，根据正方形的性质及各角之间的关系得出∠OAB=∠CBH，利用全等三角形的判定和性质得出BH=OA=6，CH=OB=3，即可确定点的坐标；
（2）利用（1）中方法确定D(6,9)，由点A’恰好落在反比例函数图象上，确定函数图象的平移方式即可得出点D’的坐标；
（3）根据题意进行分类讨论：当OA’=OP时；当A’O=A’P时；当PO=PA’时；分别利用菱形的性质及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点C作CH⊥x轴，交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠CBH，
∴∆AOB≅∆BHC，
∴BH=OA=6，CH=OB=3，
∴OH=9，
∴C(9，3)
∵反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C，
∴k=9×3=27，
∴；
（2）如图所示，过点D作轴，，,
同（1）方法可得：，
∵，
∴四边形OGEA为矩形，
∴AO=EG=6，DE=OB=3，AE=AO=6，
∴D(6，9)，
∵点A’恰好落在反比例函数图象上，
∴当y=6时，x=，
∴m=，
∴D’(6+，9)即D’(，9)；
（3）当OA’=OP时，如图所示：
∵A’(，6)，
OA’=，
四边形OPQA’是菱形，
A’Q∥OP，A’Q=OP，
Q(12,6)，
当点Q’在第二象限时，Q’(-3,6)；
当A’O=A’P时，如图所示：
点A’与点Q关于x轴对称，
Q(，-6)；
当PO=PA’时，如图设P（m,0），
则PO=PA’，
∴，
解得：，
∴OP=A’Q=，
∴Q(，6)，
综上可得：Q(，6)或(，-6)或(12,6)或(-3,6) ．
【点睛】题目主要考查反比例函数的性质，正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等，理解题意，（3）中根据等腰三角形进行分类讨论是解题关键．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm；
(2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值：
(3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)2．5
(3)存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形
【分析】（1）先分别求出OC=AB=5，CD=8，再根据P、Q的运动速度进行求解即可；
（2）先求出点P的坐标为（t，4），则反比例函数解析式为，点M的坐标为（5，，），则，，再根据，列出方程求解即可；
（3）先求出点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），则，，，然后根据菱形的性质进行分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（5，4），
∴OC=AB=5，
∵点D的坐标为（-3，0），
∴OD=3，
∴CD=8，
∵点Q的运动速度为每秒2cm，点P的运动速度为每秒1cm，
∴
故答案为：，；
（2）：如图1，连接PM，
由（1）可知点AP=t，点M的横坐标为5，
∴点P的坐标为（t，4），
∵点P在反比例函数上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点M的坐标为（5，），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）；
（3）解：由题意得，DQ=2t，AP=t，点C的坐标为（5，0）
∴点P的坐标为（t，4），点Q的坐标为（2t-3，0），
∴，，；
当PQ=PC时，则，
解得（不合题意，舍去）；
当PQ=CQ时，，
解得（负值已舍去）；
当PC=CQ时，
解得（负值已舍去）；
综上所述，存在或时，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，反比例函数与几何综合等等，熟知相关知识是解题的关键．
【变式训练4】．综合与探究
如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线．
(1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由；
(2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形；
(3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标．
【答案】(1)点在反比例函数的图象上，理由见解析；(2)见解析
(3)，和
【分析】（1）求出点B的坐标，判断即可；
（2）证明OA=OB，OC=OD，推出四边形ADBC是平行四边形，再证明AB=CD，可得结论；
（3）当四边形OBPQ是菱形时，对图形进行分类讨论，设点P的坐标为，然后根据邻边相，用两点间距离公式表示线段长度列方程即可．
【详解】（1）结论：点在反比例函数的图象上，
理由如下：∵反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，
∴把代入中，得，
∴点的坐标是，
∵点关于坐标原点的对称点为点，
∴点的坐标是，
把代入中，得，
∴点在反比例函数的图象上；
（2）证明：在反比例函数中令x=4则y=-2，
∵过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，
∴C，D关于原点对称，
∴C（4，-2），D（-4，2），OC=OD，
∵A，B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∵CD=，AB=，
∴AB=CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（3）设点P的坐标为，如图，
当四边形OBP1Q1是菱形时，可得，
∴，解得，
∴P1；
当四边形OBQ2P2是菱形时，可得，
∴，∴P2；
当四边形OP3BQ3是菱形时，可得,
∴，
解得，
∴P3，
综上所述，满足条件的点的坐标分别为，和．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
类型三、矩形存在性问题
例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）．
(1)求双曲线的表达式；
(2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值；
(3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标．
【答案】(1)双曲线的表达式为y＝
(2)AP＋PQ的最小值为
(3)当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（－3，0）或（3，0）或（－1，）或
【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；
（2）作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，分别求出A′P和PQ的值即可；
（3）分三种情形：①当∠BAM=90°时．②当∠ABM=90°时．③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（-，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．
【详解】（1）∵直线y=x+1经过点A（a，2），
∴2=a+1，
∴a=1，
∴A（1，2），
∵双曲线y=经过点A（1，2），
∴k=2，
∴双曲线的表达式为y＝．
（2）如图，作A关于y轴的对称点A′，AA′交y轴于K，过A′作A′Q⊥l于Q，交y轴于P，此时AP＋PQ取得最小值，AP＋PQ＝A′P＋PQ＝A′Q．
∵A（1，2），
∴AK＝A′K＝1，OK＝2，∠AKP＝∠A′KP＝90°．
∵将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，
∴直线l的表达式为y＝x，
∴∠POQ＝45°，
∴∠OPQ＝45°，
∴∠A′PK＝∠KA′P＝45°，
∴A′K＝PK＝1，
∴A′P＝，OP＝OK－PK＝1．
∵∠POQ＝45°，
∴PQ＝OQ，PQ2＋OQ2＝OP2，
∴PQ＝，
∴A′Q＝A′P＋PQ＝＋＝．
∴AP＋PQ的最小值为．
（3）如图2中，设直线y＝x＋1交y轴于点E，交x轴于点F，对于y＝x＋1，当x=0时，y=1；当y=0时，x=-1，
∵E（0，1），F（-1，0），
∴OE=OF=1，
∴△OEF是等腰直角三角形，
∴∠OFE=∠OEF=45°．
由，解得或，
∴B（-2，-1）；
①当∠BAM=90°时，则∠AEM1=∠OEF=45°，
∴AM1=AE．
∵A（1，2）， E（0，1），
∴AE=
∴EM1=，
∴OM1=1+2=3，
∴M1（0，3），
∴M1可看作由A向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，
∵B（-2，-1），
∴N1（-3，0）；
②当∠ABM=90°时，同理可求M2（0，-3），N2（3，0）；
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
∵A（1，2），B（-2，-1），
∴J（-，），
∵AB=，
∴AJ=JB=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
设N3（m，n），
∵JN3=JM3，
∴-=，=，
∴m=-1，n=，
∴N3（-1，），
同理可求N4（-1，），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（-3，0）或（3，0）或（-1，）或（-1，）．
【点睛】本题考查了反比例函与一次函数综合，待定系数法，矩形的判定和性质，轴对称最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离；
(3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．
【答案】(1)
(2)4
(3)，
【分析】（1）用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）连接、，设平移后直线的解析式为，得出点，
根据直线平行直线，得出，根据点A、点B关于原点对称，得出点，根据，列出关于b的方程，解方程即可；
（3）设，，，得出，，，分两种情况，当为边时，当为对角线时，分别求出m的值即可．
【详解】（1）解：令一次函数中，则
解得：，即点A的坐标为，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：连接、，如图所示：
设平移后直线的解析式为，
∴点，
∵直线平行直线，
∴，
∵的面积为16，
∵点A、点B关于原点对称，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线向上平移的距离为4．
（3）解：设，，，
则，
，
，
①如图，当为边时，此时满足，
即：，
解得，
∴；
②如图，当为对角线时，此时满足，
即，
解得（舍去），
∴；
【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，一次函数平移，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD//BC，BD平分，交AO于点E，交AC于点F，．若OB，OC的长分别是一元二次方程的两个根，且．
请解答下列问题：
(1)求点B，C的坐标；
(2)若反比例函数图象的一支经过点D，求这个反比例函数的解析式；
(3)平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，C（2，0）
(2)
(3)存在，N1（，），N2（-9，12），N3（，），，，．
【分析】（1）解方程得出方程的解，即可确定点B，C的坐标；
（2）首先证明∠AFB＝∠AOB＝90°，再证明AB=BC=5，由得，从而得，即可得到AD=AD=5，再由勾股定理求出AO=4，得出点D的坐标即可求出反比例函数解析式；
（3）如图，分两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由解得，．
∵OB，OC的长分别是方程的两个根，且OB>OC，
∴，．
∴，C（2，0）．
（2）解：∵AO⊥BC，
∴∠AOB＝90°．
∵∠CAO＝∠DBC，，
∴∠AFB＝∠AOB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC．
∵∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵在Rt△ABO中，．
∴D（5，4）．
∴反比例函数解析式为．
（3）解：如下图，过点D作DQ⊥x轴于点Q，过点作轴于点,
∴
∵四边形是矩形，
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴点（，），
同理可求出N2（-9，12），N3（，），
②如图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点WT 于点F，设与x轴交于点G，
∴
又
∴
∵BD是圆的直径，
∴点E在圆上，
∴
∴
∴
∵DE=4，BE=3+5=8，
∴
又，
设
由勾股定理得，
∴，解得，
∴
设GE=x，则BG=8-x，代入比例式得，
∴
在Rt中，
∴
解得，（舍去）
∴BG=
∵
∴
由勾股定理可得，BF=
∴
∴
同理可得，
综上，点N的坐标为：N1（，），N2（-9，12），N3（，），，，．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，求反比例函数解析式，相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图像上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为．
(1)求反比例和一次函数解析式．
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，在平移中若反比例函数图像与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．
(3)在直线AB上是否存在M、N两点，使以MNOD四点的四边形构成矩形？若不存在，请说明理由，若存在直接求出M、N（点M在点N的上方）两点的坐标．
【答案】(1)，
(2)0≤m≤
(3)点N坐标为（，）；点M的坐标为（，）
【分析】（1）延长AD交x轴于F，根据菱形的性质和勾股定理得到A、B的坐标，利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）根据平移性质，只需求得点D平移后落在反比例函数图像上时的坐标即可求解；
（3）延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，证明△ONB≌△OFD（AAS）得到S△ONB=S△OFD，求出NH即可求得点N坐标，设M（x，），利用中点坐标公式即可求出点M坐标．
【详解】（1）解：延长AD交x轴于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD=AD，AD∥OB，
则AF⊥x轴，
∵点D坐标为（4，3），
∴OF=4，DF=3，
∴OD=5，即OB=AD=5，
∴A（4，8），B（0，5），
∴k=4×8=32，
∴反比例函数的解析式为；
将A、B坐标代入中，得
，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由题意知，将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，使得点D落在反比例函数的图像D′处，
∵点D平移后的坐标为D′（4+m，3），
∴，
∴m= ，
∴满足条件的m的取值范围为0≤m≤．
（3）解：存在，理由为：
如图，延长AD交x轴于F，过点N作NH⊥y轴于H，则∠NHO=∠OFD=90°，
由题意，∠ONB=∠NOD=∠HOF=90°，
则∠NOB=∠FOD，
又∠ONB=∠OFD=90°，OB=OD，
∴△ONB≌△OFD（AAS），
∴S△ONB=S△OFD，则，
∴NH=，
∵点N在直线AB上，
∴当x=时，，
∴点N坐标为（，）；
设M（x，），则x+0=+4，
解得：x=，，
∴点M的坐标为（，）．
【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合题，涉及菱形的性质、矩形的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、平移性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合思想求解是解答的关键．
类型四、正方形存在性问题
例．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，．
(1)求，的值．
(2)当的面积为3时，求点的坐标．
(3)设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)或，
【分析】（1）将点代入，求得，进而求得，将代入可求得，再把点的坐标代入，即可求得；
（2）用含的代数式表示的长，根据铅锤定理，解得，进而求得点的坐标；
（3）分情况讨论，当是边，点在轴正半轴上和点在轴的负半轴上；当是对角线，点在轴负半轴上和点在轴正半轴上，证明，进而得出，从而求得的值．
【详解】（1）解：直线过点，
，
，
直线过点，
，
，
过点，
；
（2）解：，，，，
，
，、、分别表示、、三点的横坐标，
，
解得，经检验是原方程的解，
；
（3）解：如图1，
，，
，
当是边，点在轴正半轴上，
作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
，
如图2，
当点在轴的负半轴上时，
由上知：，
，
，
当是对角线时，
当是对角线时，点在轴负半轴上时，
可得：，，
，
，
，
如图4，
，，
，
，（舍去），
当时，，，
综上所述：或，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合问题，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是运用分类讨论的思想，画出图形，根据线段之间的和差关系列方程求解．
【变式训练1】．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线AB与反比例函数的图象在第一象限相交于点．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图2，点，连接，点E是反比例函数图象第一象限内一点，且点E在点C的右侧，连接，，若的面积与且的面积相等，求点E的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，连接，并在左侧作正方形，当顶点F或顶点N恰好落在直线上，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)M点坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式，再将代入，即可求得点C坐标，进而求得反比例函数解析式；
（2）过点C、E分别作轴，轴，连接，利用A、C坐标求得，进而得到；根据的面积且与的面积相等，可知，进而得到，表示点E坐标，再通过计算即可得出点E坐标，根据题意取舍即可；
（3）设，分两种情况讨论：当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，过点D作交于点H，通过证明，确定点，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标；当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，同理可得：，确定点N的坐标，再将点F代入直线的解析式，即可求出t的值,从而确定M点坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点，点代入，
，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入中，
，
解得：，
，
将代入，
，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：如图，过点C、E分别作轴，轴，连接，

∵，
，
，
∵的面积且与的面积相等，
∴E点在过D点且与平行的直线上，即，
，
设，
则

解得，（不合题意，舍去）
，
∴；
（3）解：设，
如图，当F点在直线上时，过点M作轴，过点F作交于G点，
过点D作交于点H，

，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
解得，
如图，当N点在直线上时，过点D作轴，过点M作于点P，过点N作于点Q，

同理可得：，
，
，
，
解得：或，
点M在点D左侧，
，
综上所述：M点坐标为或．
【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定及性质，属于反比例函数几何综合题，难度较大．
【变式训练2】．如图，直线分别与反比例函数和的图像交于A，B两点，点B横坐标为2．

(1)求n的值．
(2)若点C为图像上一点，过点C作直线轴，交反比例函数于点D，当时，求C点横坐标．
(3)若点E在直线AB上，请在坐标平面内找一点F，使得以C，D，E，F四点为顶点的四边形是正方形，并求出点F的坐标．
【答案】(1)8
(2)或
(3)或或或
【分析】（1）先求出B的坐标，然后把B的坐标代入求解即可；
（2）设，则可求，然后根据三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）分以为边，为对角线讨论即可．
【详解】（1）解：∵点B横坐标为2，且B在直线上，
∴，
∴，
把代入，得，
解得；
（2）解：由（1）知，
设，
∵轴，
∴D的横坐标为c，
又D在的图像上，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得或；
（3）解：设，则
一、以为边时，
①如图，四边形为正方形，

则，C和E的纵坐标相同，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
解得，（舍去），（舍去），
∴，，
∴；
②如图，四边形为正方形，

则，D和E的纵坐标相同，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，，
∴；
二、以为对角线时，
如图，四边形为正方形，

则是中点，，M和E的纵坐标相同
∴，
把代入，得，解得，
∴，
∴，
解得，（舍去），，（舍去）
∴，，或，
∴或
综上，点F的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了反比例函数，正方形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点，点P是反比例函数的图象上一动点，过点P作直线轴交直线于点Q，设点P的横坐标为t，且，连接
(1)求k，b的值.
(2)当的面积为3时，求点P的坐标.
(3)设的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)或，
【分析】（1）将点B代入求得进而求得将A点坐标代入求得n；
（2）表示出的长，根据求得进而得出点P的坐标；
（3）分为是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及为对角线．当为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作轴，作，证明，进而得出，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．
【详解】（1）∵直线过点，
∴，
∴，
∵直线过点，
∴，
∴，
∵过点，
∴；
（2）∵点P的横坐标为t，
∴，
∴
∴，
∵，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）如图1，
∵，，
∴
当是边，点D在x轴正半轴上，
作于F，作于G，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍去），
∴
如图2，
当点D在x轴的负半轴上时，
由上知：，
∴，
∴，
当是对角线时，
当是对角线时，点D在x轴负半轴上时，
可得：，
∴，
∴，
∴，
如图4，
，
∴，
∴，（舍去），
当时，，
∴，
综上所述： 或，.
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．
【变式训练4】．在平面直角坐标系中，直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与反比例函数y=(k≠0)的图象在第一象限相交于点C，且点B是AC的中点.
(1)如图1，求反比例函数y=(k≠0)的解析式；
(2)如图2，若矩形FEHG的顶点E在直线AB上，顶点F在点C右侧的反比例函数y=(k≠0)图象上，顶点H，G在x轴上，且EF=4
①求点F的坐标；
②若点M是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F的左侧，连结MG，并在MG左侧作正方形GMNP．当顶点N或顶点P恰好落在直线AB上，直接写出对应的点M的横坐标．
【答案】(1)；
(2)①点F的坐标为（4，2）；②点M的横坐标为或；
【分析】（1）根据题意，先求出点C的坐标，然后即可求出反比例函数的解析式；
（2）①由矩形的性质，得到EF∥x轴，设点E的坐标为（，），则点F为（，），然后求出x的值，即可求出点F的坐标；
②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点N落在直线AB上时；当点P落在直线AB上时；利用正方形的性质和全等三角形的判定和性质，分别求出每一种情况的答案即可．
【详解】（1）解：根据题意，
∵直线y=x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令，则；令，则；
∴点A为（，0）；点B为（0，2）；
∵点B是AC的中点.，
∴点C的坐标为（2，4）；
∵点C在反比例函数图像上，
∴，
∴；
（2）解：①∵四边形FEHG是矩形，
∴EF∥x轴，
设点E的坐标为（，），则点F为（，），
∵EF=4，
∴，
解得：或，
∵顶点F在点C右侧的反比例函数上，
∴，解得，
∴，
∴点F的坐标为（4，2）；
②根据题意，∵点F的坐标为（4，2）；
∴点G为（4，0）；
当点N落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点N作NE⊥DM，交DM延长线于点E；
∵四边形GMNP是正方形，则MG=MN，∠NMG=90°，
∵∠E=∠D=90°，
∴∠EMN+∠GMD=∠GMD+∠DGM=90°，
∴∠EMN=∠DGM，
∴△EMN≌△DGM（AAS），
∴EN=DM，EM=DG；
∵点M在的图像上，点N在直线上，且点M在点F的左侧，
设点M为（m，）（），点N为（n，），
∵点G为（4，0），
∴，，，，
∴，
解得：，
∴点M的横坐标为；
当点P落在直线AB上时，如图：过点M作MD⊥GF，交GF延长线于点D，过点P作PE⊥FG，交FG延长线于点E；
与①同理，可证△DMG≌△EGP，
∴EG=DM，EP=DG；
设点M为（m，）（），点P为（p，），
∵点G为（4，0），
∴，，，，
∴，
解得：，
∵，
∴；
∴点M的横坐标为；
综合上述，点M的横坐标为：或；
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，坐标与图形，以及解方程组，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助，运用数形结合的思想进行分析题意．