九年级数学下册专题04相似三角形的基本模型(A字型)(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题04相似三角形的基本模型(A字型)(原卷版+解析)(人教版)，共47页。

“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“A”字模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
2）反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
【例题精讲】
例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
例2．（基本模型2）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．
（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．
①如图，若，直接写出的长；
②如图，求证：．
例3．（培优综合）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ．
例4．（与函数综合）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ．
例5．（最值问题）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ．
【变式训练1】．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（ ）

A．24B．12C．6D．10
【变式训练2】．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ．
【变式训练4】．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）

A．9B．12C．15D．18
【变式训练5】．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
课后训练
1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为 ．
3．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ．
4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为 ．
5．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则 ．
6．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ．
7．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
9．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．

（1）在图1中，求证：；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，
求证：①；
②．
10．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
11．如图，中，点D在边上，且．
（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
专题04 相似三角形的基本模型（A字型）
【模型说明】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“A”字模型
条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC).
2）反“A”字模型
条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC).
3）同向双“A”字模型
条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
【例题精讲】
例1．（基本模型1）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．
【答案】
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出和，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为．
所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以．
所以，
所以．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，所以．
因为M为AD的中点，所以，
所以．
因为，
所以，
所以．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为，所以，
所以．
因为M为AD的中点，所以，所以．
因为，所以，
所以．
因为D为BC的中点，且，
所以．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在中，
因为M为AD的中点，，
所以N为AH的中点，即．
在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，
所以．
所以．
例2．（基本模型2）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．
（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．
①如图，若，直接写出的长；
②如图，求证：．
【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.
【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出;
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以．
【详解】（1）证明：如图1
在中，由于，
∴∽，
∴．
同理在△ACQ和△AEP中，，
∴．
（2）①如图2, 作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∵DE边上的高为,
故答案为
②证明：如图3
∵，
∴．
又∵为正方形，
∴，
∴，
∴．
同理，在中有，
∴，
∴．
又因为∽，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
例3．（培优综合）如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为 ．
【答案】．
【分析】延长BE交AC于点F，过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，．
【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，
∵，，
∴，，为等腰．
由题意可得E为CD的中点，且，
∴，
在等腰中，，
，
又∵，
在，

∴（AAS）
∴，
∵，，
∴，
∴
，
∴，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键．
例4．（与函数综合）如图，函数（为常数，）的图象与过原点O的直线相交于A、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴、y轴于C、D两点，连接BM分别交x轴、y轴于点E、F．若，则 ．
【答案】
【分析】过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，由点A，B关于原点对称，可得OA=OB，AG=BN，可证，可求，可得，由，可求即可
【详解】解：过A作AG⊥y轴于G，MH⊥y轴于H，过B作BN⊥y轴于N，如下图：
∵
∴
由题意可得：点A，B关于原点对称，
∴OA=OB，AG=BN，
∵BN⊥y轴，MH⊥y轴，AG⊥y轴
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为2．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及了相似三角形的判定以及性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
例5．（最值问题）如图，矩形 ABCD 中，，，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是 ．
【答案】5
【分析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值
【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，
设，则,
当点A、F、G三点共线时，的最值小，
∵，且，
∴四边形CEFG是平行四边形；
∴，，
又∵点A、F、G三点共线，
∴，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵，
∴四边形AECF是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
又∵，，则，
∴，
解得：，
∴，
在中，由勾股定理得，
，所以
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴，
又∵，，
∴，即最小值是5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定．
【变式训练1】．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（ ）

A．24B．12C．6D．10
【答案】B
【分析】过P作平行于，由与平行，得到平行于，可得出四边形与都为平行四边形，进而确定出与面积相等，与面积相等，再由为的中位线，利用中位线定理得到为的一半，且平行于，得出与相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出的面积，而面积＝面积+面积，即为面积+面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．
【详解】解：过P作交BC于点Q，由，得到，

∴四边形与四边形都为平行四边形，
∴，，
∴，，
∵为的中位线，
∴，，
∴，且相似比为1：2，
∴，，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．
【变式训练2】．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ．
【答案】2
【分析】过D作垂直于H点，过D作交BC于G点，先利用解直角三角形求出的长，其次利用，求出的长，得出的长，最后利用求出的长，最后得出答案．
【详解】解：如图：过D作垂直于H点，过D作交于G点，
∵在中，，
∴，
又∵，
∴ ，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，
在中，，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
即，∴ ，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
又，∴，∴，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
【变式训练3】．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ．
【答案】/
【分析】根据题意，取的中点，连接,，过点作，过点作，当三点共线时，取得最小值，勾股定理求得，根据求解即可．
【详解】如图，取的中点，连接,，过点作，过点作，
，
，
四边形是正方形，
，
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，添加辅助线是解题的关键．
【变式训练4】．如图，△ABO的顶点A在函数y＝（x>0）的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值为（ ）

A．9B．12C．15D．18
【答案】D
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
【详解】解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴，，∴，
∵四边形MNQP的面积为3，∴，∴S△ANQ=1，
∵，∴S△AOB=9，∴k=2S△AOB=18，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确的求出S△ANQ=1是解题的关键．
【变式训练5】．如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长．
【答案】
【分析】先证明，得到，求出BE和BF，然后得到BD，DG和MG的长度，再利用全等三角形的性质，即可得到答案．
【详解】解：如图，连接与交于点，并补全矩形为．
∴，
∴，
又∵，
∴，∴，
又∵，
∴，∴，
∵且，∴，
又∵，∴，
∴，∴，∴，
∵，，，∴，∴，
∴．
【点睛】此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用所学的性质定理得到，从而求出所需边的长度．
课后训练
1．如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴，
∴；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴，
∵AB＞FA，
∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．
2．在矩形ABCD中，，，点E 是AD上一动点，过点E作EF∥BD交AB于F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点落在△BCD的边上时，AE的长为 ．
【答案】2或
【分析】分落在BD上或BC上两种情况，分别画出示意图，根据矩形的性质以及折叠的性质求解即可．
【详解】解：当落在BD上时，如下图：
∵在矩形ABCD中，，，
∴
根据折叠的性质可知，
∵EF∥BD
∴
∴
∴；
当落在BC上时，如下图：
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，∴
∴
∴
故答案为：2或．
【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行线的性质、折叠的性质、相似三角形的判定及性质，考查的范围较广，但难度不大，根据题意画出示意图是解此题的关键．
3．如图，在三角形中，点D为边的中点，连接，将三角形沿直线翻折至三角形平面内，使得B点与E点重合，连接、，分别与边交于点H，与交于点O，若，，，则点A到线段的距离为 ．
【答案】
【分析】如图，过点作交的延长线于．利用勾股定理求出，利用三角形重心的性质求出，再利用勾股定理求出，利用相似三角形的性质求出即可．
【详解】解：如图，过点作交的延长线于．
由翻折的性质可知，垂直平分线段，
，
∵，，
∴，
∵，点D为边的中点，
点是的重心，，，
，
，，
，，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质以及重心的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据AC为直角边可分∠CAB=90°和∠ACB=90°两种情况进行讨论．
【详解】∵为直角三角形，为直角边，
①当时，
∵，又，
∴、、、四点共圆，且为直径，
∵为中点，则为圆心，连接，则为圆的一条弦，
∴圆心一定在的垂直平分线上，
取中点，过做直线，则的运动轨迹为直线，
∴当时，取得最小值，
∵，∴的解析式为，
又∵为中点，∴，∴，
∵，∴，∴的解析式可设为，
代入，得：，，
∴的解析式为，
令，得，∴，∴，
又∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
②当时，
点交于轴原点处不符合题意，故的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四边形和圆的有关性质求解是解题关键．
5．已知，平行四边形中，点是的中点，在直线上截取，连接，交于，则 ．
【答案】； ．
【分析】由于F的位置不确定，需分情况进行讨论，（1）当点F在线段AD上时（2）点F在AD的延长线上时两种情况，然后通过证两三角形相似从而得到AG和CG的比，进一步得到AG和AC的比．
【详解】解：（1）点F在线段AD上时，设EF与CD的延长线交于H，
∵AB//CD，
∴△EAF∽△HDF,
∴HD：AE=DF：AF=1:2，
即HD=AE，
∵AB//CD，
∴△CHG∽△AEG，
∴AG：CG=AE：CH，
∵AB=CD=2AE，
∴CH=CD+DH=2AE+AE=AE，
∴AG：CG=2：5，
∴AG：（AG+CG）=2：（2+5），
即AG：AC=2：7；
（2）点F在线段AD的延长线上时，设EF与CD交于H，
∵AB//CD，∴△EAF∽△HDF，
∴HD：AE=DF：AF=1：2，即HD=AE，
∵AB//CD，∴AG：CG=AE：CH
∵AB=CD=2AE，∴CH=CD-DH=2AE-AE=AE，
∴AG：CG=2：3，∴AG：（AG+CG）=2：（2+3），
即AG：AC=2：5．
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想；其中相似三角形的性质得出的比例式是解题关键，特别注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．
6．如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则 ．
【答案】
【分析】过点G作GR⊥BC于R，过点H作HN∥BC交BD于N，由正方形性质可证明：△ABE∽△FCB，由勾股定理可求BF，由翻折性质可得△HGC≌△BGC，进而可证明：△BHN∽△BED，可求得HN，再由△HNM∽△CBM，可求得，再由△CGR∽△CBF即可求得结论．
【详解】解：如图，过点作于，过点作交于
则，
∵


正方形
，

∽
在中，
，即
，
由翻折知：，，，≌
∽
，即
∽

，
，
，
是等腰直角三角形，设，则，
∽
，即，解得



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型．
7．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
∵
∴
∵
∴
∴
又∵DE∥AC
∴
∴，解得
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
∴
∴，解得
∵
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
【答案】（1）证明见详解；（2）①证明见详解；②EG的长为或．
【分析】（1）AD＝AC，∠ADC＝60°，可证△ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，可得∠HAD=∠B=60°=∠GCD，由∠GDH=∠CDA=60°，可证∠HAD =∠CDG，即可证△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①根据AD＝AC，∠ADC＝α，可得∠ACD=∠ADC＝α，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD∥BC，可得∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，由∠GDH=α=∠ADC，可得∠ADH =∠CDG即可；
②根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证△AGE∽△CGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GM∥CN，再证△AMG∽△ANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，由AE∥CD，△GAE∽△GCD，可求GA=6，由GM∥CN，可证△GMA∽△CNA，可得，，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=．
【详解】（1）证明：∵AD＝AC，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=BC=AD，∠B=∠ADC=60°，AD∥BC，
∴∠HAD=∠B=60°=∠GCD，
∵∠GDH=∠CDA=60°，
∴∠HDA+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60°，
∴∠HDA =∠CDG，
在△ADH和△CDG中
△ADH≌△CDG（ASA）；
（2）①证明：∵AD＝AC，∠ADC＝α，
∴∠ACD=∠ADC＝α，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠HAD=∠ADC=α=∠GCD，
∵∠GDH=α=∠ADC，
∴∠ADH+∠ADG=∠CDG+∠ADG=α，
∴∠ADH =∠CDG，
∴△ADH∽△CDG；
②解：当点E在AB上时，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵四边形ABCD为平行四边形，AB∥DC，AB=DC=9，AD=BC=12，
∴∠EAG=∠DCG，∠AEG=∠CDG，
∴△AGE∽△CGD，
∴，
∴，
∵AD=AC=12，
∴AG+CG=AG+3AG=4AG=12，
∴AG=3，
∴CG=AC-AG=12-3=9，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∴GM∥CN，
∴△AMG∽△ANC，
∴，
∴,，
∴EM=AE-AM=，
在Rt△MGE中，根据勾股定理EG=，
当点E在BA延长线上，过C作CN⊥AB于N，过G作GM⊥AE于M，
∵AE∥CD，
∴∠GAE=∠GCD，∠GEA=∠GDC，
∴△GAE∽△GCD，
∴，
∴，
∵AC=GC-GA=3GA-GA=2GA=12,
∴GA=6，
∵AC=AD=BC，CN⊥AB，
∴AN=BN=，
在Rt△BCN中，根据勾股定理CN=，
∵CN⊥AB， GM⊥AE，
∴GM∥CN，
∴△GMA∽△CNA，
∴，
∴，，
∴EM=AE-AM=3-，
在Rt△GME中，根据勾股定理EG=，
∴综合EG的长为或．
【点睛】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键．
9．在等腰三角形中，，作交AB于点M，交AC于点N．

（1）在图1中，求证：；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，
求证：①；
②．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，利用AAS定理证明；
（2）①根据全等三角形的性质得到BM=NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；
②根据①中得出PE+PF=BM，利用（1）中△BMC≌△CNB，得到MC=BN，证明△AMC∽△OMB，得到，从而得到AM•MB=OM•MC，可得OM•BN-AM•PF=AM•PE．
【详解】解：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CM⊥AB，BN⊥AC，
∴∠BMC=∠CNB=90°，
在△BMC和△CNB中，
，
∴△BMC≌△CNB（AAS）；
（2）∵△BMC≌△CNB，
∴BM=NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴，
∴，
∴PE+PF=BM；
②同（2）的方法得到，PE+PF=BM，
∵△BMC≌△CNB，
∴MC=BN，
∵∠ANB=90°，
∴∠MAC+∠ABN=90°，
∵∠OMB=90°，
∴∠MOB+∠ABN=90°，
∴∠MAC=∠MOB，又∠AMC=∠OMB=90°，
∴△AMC∽△OMB，
∴，
∴AM•MB=OM•MC，
∴AM×（PE+PF）=OM•BN，
∴OM•BN-AM•PF=AM•PE．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
10．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的长分别为或3．
【分析】（1）由比例中项知 ，据此可证 得，再证明 可得答案；
（2）先证 ，结合 ，得 ，从而知 ，据此可得 ，由（1）得，据此知 ，求得 ；
（3）分 和 两种情况分别求解可得．
【详解】（1）证明：∵是和的比例中项
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵与互相垂直
∴
∵
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∵，
又，由（1）得
∴
当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时
1) ，如图
∴
由（2）得：
2），如图
过点作，垂足为点
由（1）得
∴
∴又
设，则，，
又
∴，解得
∴
综上所述，的长分别为或3．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，利用三角形相似以及相关的等量关系来求解MN和DE的长．
11．如图，中，点D在边上，且．
（1）求证：；
（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．
（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11
【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出，证得；
（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出＝60°；
（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．
【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，
∴ ∠A＝90°－∠ABD．
∵∠BDC＋∠BDA＝180°，
∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．
∴ ∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．
∴DB＝AB．
解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，
∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，
∴∠BAE＝∠DBC．
∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，
又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，
∴∠CAE＝∠C．
∴AE＝CE．
∵BE＝CH，
∴BE＋EH＝CH＋EH．
即BH＝CE＝AE．
∵AB＝BD，
∴△BDH≌△ABE．
∴BE＝DH．
∵BE＝CD，
∴CH＝DH＝CD．
∴△DCH为等边三角形．
∴∠ACB ＝60°．
（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．
∵DH∥AE，
∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．
∴△ACE是等边三角形．
设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，
∵DH∥AE，
∴△BFE∽△BDH．
∴．
∴，
．
∵△ABF的周长等于30，
即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，
解得AB＝16－．
在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，
∴BO＝16－．
在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，
即．
解得（舍去）．
∴AC＝．
∴AF＝11．
【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．