九年级数学下册专题06相似三角形的基本模型(子母型)(原卷版+解析)(人教版)

这是一份九年级数学下册专题06相似三角形的基本模型(子母型)(原卷版+解析)(人教版)，共43页。
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
例1．（基本模型1）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；
（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；
（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．
例2．（基本模型）在中，，平分．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过分别作交于，于．
①求证：；
②求的值．
例3．（培优综合1）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ．
例4．（培优综合2）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ．
例5．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为
例6．（与圆综合）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；
（3）若，，求的长．
例7．（与函数综合）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
课后训练
1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
3．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
5．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
7．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长．
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．
（3）连接，当与相似时，求线段的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求PA的长．
9．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是 ，∠BAD＝ °；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．
10．如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
专题06 相似三角形的基本模型（子母型）
【模型说明】
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．

图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
例1．（基本模型1）（1）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，求证：；
（2）如图，点在线段上，点在直线的同侧，，，，，求的值；
（3）如图，中，点在边上，且，，，点在边上，连接，，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）要证，可证，根据可得，即可证得；
（2）根据，，可得到，从而求出相应的线段长度，得到的值；
（3）根据，可得到，可求出的长，再根据已知条件证得即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，
，，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)解：如解图，与交于点，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，∴，
∴，
解得，
∴；
（3）解：如解图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，
以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，
∵，，，
∴，∴，
∵，，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形得性质和判定，根据相似三角形对应边成比例求出相关的线段长度，最后一问以EC为腰作等腰三角形为解题关键．
例2．（基本模型）在中，，平分．
（1）如图1，若，，求的长．
（2）如图2，过分别作交于，于．
①求证：；
②求的值．
【答案】（1）；（2）①见解析；②
【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长；
（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证．
【详解】解：（1）∵在中，，平分，
∴，又∠A=∠A，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）①∵交于，于，
∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②过作，与的延长线交于，
∵，
∴，
∴、和均为等腰三角形，
∴，
∵在等腰中，于，
∴，即，
∴的值为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键．
例3．（培优综合1）如图，在中，平分在延长线上，且，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】通过证 ，得到求出BF=2，，，进而求出CF的长，进而得到∠BAD=∠DFC，从而证CFD∽CAB，得到，将证得边的关系CA=6+CD以及其他各值代入即可得到答案．
【详解】解：∵BD平分∠ABC， DE=BD
∴∠ABD=∠DBC，∠AED=∠ABD
∴∠DBC=∠AED
如图，在BC上取点，使BF=AE
则在与中，

∴
∴AE=BF=2，，
∴CF=BC-BF=8-2=6
∵∠BAD=，∠DFC=
∴∠BAD=∠DFC
又∵∠C=∠C
∴CFD∽CAB
∴
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∠BAD=∠DFC
∴
∵
∴
∴DF=FC=6，则AD=DF =6
∴CA=6+CD
又∵CF=6，BC=8
∴
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识点，是中考综合性题目，而且还要会解一元二次方程，用方程法解几何问题．解答此题的关键是利用性质找到边与边之间的关系．
例4．（培优综合2）如图，在中，，，，，，则CD的长为 ．
【答案】5
【分析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案.
【详解】解：在CD上取点F，使，
，，
由，
，
，，
且，
，
，
∽，
，
，
，
又，
，

∽，
，
又，
，
或舍去，
经检验：符合题意，
．
故答案为：5．
本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.
例5．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，CE的长为
【答案】 2-2； ；
【分析】在正方形中，易证，可得，则点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，因此当、、在同一条直线上时，取最小值，根据勾股定理可得的最小值为，根据，则有可得，得到：，则，设，则，可得，又∵，，得，得到，解之得：，（不合题意，舍去），从而得到的长为．
【详解】解：如图示：
在正方形中，
在和中，
，
，
∴
∵
∴
即有：
点的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆弧，
因此当、、在同一条直线上时，取最小值，
∵,
∴
∴，
∴的最小值为，
∵
∴
∴
∴
∴,
设，则，
∴，
∴
又∵，，
∴
∴,
即：
解之得：，（不合题意，舍去），
∴，
故答案是：，．
【点睛】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
例6．（与圆综合）如图，是的直径，点是上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为点，直线与的延长线相交于点．弦平分，交直径于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）探究线段，之间的大小关系，并加以证明；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得OC⊥CD，则AD∥OC，根据等边对等角，以及平行线的性质即可证得；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠PFC=∠PCF，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△PCB∽△PAC，根据相似三角形的性质求得PB与PC的比值，在直角△POC中利用勾股定理即可列方程求解．
【详解】解：（1）连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵PC是⊙O的切线，AD⊥CD，
∴∠OCP=∠D=90°，
∴OC∥AD．
∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．即AC平分∠DAB．
（2）PC=PF．
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠PCB+∠ACD=90°
又∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．
又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．
∴∠PFC=∠PCF．
∴PC=PF．
（3）连接AE．
∵∠ACE=∠BCE，
∴，
∴AE=BE．
又∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
AB= BE＝10，
∴OB=OC=5．
∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC．
∴．
∵tan∠PCB=tan∠CAB=．
∴．
设PB=3x，则PC=4x，在Rt△POC中，（3x+5）2=（4x）2+52，
解得x1=0，x2＝．
∵x＞0，∴x＝，
∴PF=PC=．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
例7．（与函数综合）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．
【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）．
【分析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；
（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；
（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．
【详解】（1）在中，
令，则，解得，
∴．
令，则，∴．
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为．
，
∴抛物线顶点坐标为
（2）如图，过点D作轴于E，则．
∵，
∴，
设点P的坐标为，
则点D的坐标为，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
而，
∴，
∵，，由二次函数的性质可知：
当时，的最大值为．
，
∴．
（3）设平移后抛物线的解析式，
联立，∴，
整理，得：，
设，则是方程的两根，
∴．
而A为的中点，∴，
∴，解得：．
∴抛物线的解析式．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
课后训练
1．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12．
∵＝＝，＝＝，
∴＝．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQAB；
连接AD，
∵PQAB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4x，∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，∴CP＝3x＝6．
故选C．
【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键．
2．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】延长到，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图所示，延长到，使，连接，
∴
∵，，∴，
∴，，∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰和②构造等腰是解题关键．
3．如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q，使，相交于点O，若，，则的长为 ，的长为 ．
【答案】 4
【分析】证明△ABP和△ACQ全等，得到∠CAQ和∠ABP相等，即可得到∠AOP为60° 角，再证△AOP相似于△BAP，通过对应边成比例即可求得AP长；过A作AG⊥OP，在Rt△AOG和Rt△APG中，通过勾股定理得到等式，求出OG长，即可得到结论．
【详解】∵在△AQC和△BAP中，
∴
∵
∴
过作的垂线与OP交于点G，在△中，
设OG=x，则AO=2x，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AG2=AO2-OG2，即AG2=（2x）2-x2=3x2，
在Rt△APG中，由勾股定理得AG2=AP2-PG2，即AG2=42-（x-2）2，
∴3x2=42-（x-2）2解得x=，又x>0，∴x=，
，
故答案为：4，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
【答案】
【分析】取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，先证出四边形ABNM是正方形，利用SAS证出ABG≌AMH，再利用SAS证出AEG≌AEH，利用勾股定理求出MH，然后利用平行证出AHM∽AFD，列出比例式即可求出结论．
【详解】解：取AD，BC的中点M，N，连接MN，交AF于H，延长CB至G，使BG＝MH，连接AG，
∵点M，点N是AD，BC的中点，
∴AM＝MD＝BN＝NC＝4，
∵AD∥BC，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∵AB＝AM＝4，
∴四边形ABNM是菱形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABNM是正方形，
∴MN＝AB＝BN＝4，∠AMH＝90°，
∵AB＝AM，∠ABG＝∠AMH＝90°，BG＝MH，
∴ABG≌AMH（SAS），
∴∠BAG＝∠MAH，AG＝AH，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAH+∠BAE＝45°，
∴∠GAB+∠BAE＝∠GAE＝∠EAH＝45°，
又∵AG＝AH，AE＝AE
∴AEG≌AEH（SAS）
∴EH＝GE，
∴EH＝2+MH，
在Rt HEN中，EH2＝NH2+NE2，
∴（2+MH）2＝（4﹣MH）2+4，
∴MH＝
∵MN∥CD，
∴AHM∽AFD，
∴
∴DF＝×＝，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质，此题难度较大，掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质、正方形的判定及性质和矩形的性质是解决此题的关键．
5．如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则∽，设FH为x，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点作于，
∵，
∴，
∴，
∵，点是的中点，
∴，
∵，
∴∽
∴
∴，
设为，则，由勾股定理得，
又∵，
∴，
则，
∵且，
∴∽，
∴，
即，
解得，
∴．
∵
∴
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
【答案】．
【分析】过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，则四边形CHBQ为矩形，证明△AKM≌△MQN（AAS），得出KM＝NQ，MQ＝AK＝8，证明△ACE∽△AHN，可求出CE的长．
【详解】解：过点A，B分别作BC，AC的平行线交于点K，则四边形ACBK为矩形，
过点A作AM∥DB交KB于点M，过点M作MN⊥AM交AE的延长线于点N，
过点N作BC的平行线分别交AC，KB的延长线于点H，Q，
则四边形CHBQ为矩形，
∵∠BFE＝45°，AM∥BD，
∴∠BFE＝∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，
∴AM＝MN，
∵∠AMK+∠NMQ＝∠AMK+∠MAK＝90°，
∴∠NMQ＝∠MAK，
又∵∠AKM＝∠MQN＝90°，
∴△AKM≌△MQN（AAS），
∴KM＝NQ，MQ＝AK＝8，
∵D为AC的中点，AC＝6，
∴AD＝DC＝BM＝3，
∴MK＝NQ＝3，
∴BQ＝CH＝5，
∴HN＝HQ﹣NQ＝8﹣3＝5，
∵CE∥HN，
∴△ACE∽△AHN，
∴，
即，
∴CE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．
（1）如图，当点与点重合时，求的长．
（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．
（3）连接，当与相似时，求线段的长．
【答案】（1）3；（2）；（3）或1
【分析】（1）由，得，又，得，得即可；
（2）过点作，垂足为点，四边形是矩形，，可证，得，设，，利用线段和差即可得到；
（3）， ，推出，当与相似时，分类讨论①若，推出，，，求得， ②若，设与交于点，由，，知，可证△AEO∽△ABC，利用性质可求，，综上所述，线段的长为或1时与相似．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴2x-y=4,
当点在线段上时，
∴．
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当与相似时，
①若，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵设，，，
∴．
②若，设与交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵AB=4，BC=3，则AC=5，
设，
由EO∥BC
∴△AEO∽△ABC
∴即
则，，
∴，
∴，∴，，∴，
综上所述，线段的长为或1时与相似．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式，相似三角形的性质，三角函数等知识，掌握等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数解析式的求法，相似三角形的性质，三角函数是解题关键．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求PA的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；
（2）如图（见解析），先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得证；
（3）先根据圆周角定理、直角三角形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，又根据圆周角定理、正切三角函数可得，然后设，由题（2）的结论可得，最后根据相似三角形的性质可得，由此即可得出答案．
【详解】（1）如图，连接OC
由圆周角定理得：，即
，即
又是⊙O的半径
PC是⊙O的切线；
（2）如图，连接BC
由圆周角定理得：
在和中，
即；
（3），即
由圆周角定理得：
又
在和中，
，即
或（不符题意，舍去）
，即
解得
，
设，则
由（2）可知，，即
又由（2）可知，
，即
解得或
经检验，是所列方程的根，是所列方程的增根
故PA的长为．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（3），利用圆周角定理找出两个相似三角形，从而求出AC的长是解题关键．
9．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点E，则图中与△BEP全等的三角形是 ，∠BAD＝ °；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CP＝AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．
【答案】（1）△PAD，90；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）由“SAS”可证△PAD≌△BEP，可得∠PAD=∠BEP=135°，依据∠ABC=45°，可得∠BAD=90°；
（2）过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，由“SAS”可证△APD≌△HBP，可得PH=AD，通过证明△CAB∽△CPH，可得，即可得结论；
（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解．
【详解】证明：（1）∵点P是边AC的中点，PE∥AB，
∴点E是BC的中点，
∴CE＝BE，
∵AC＝BC，
∴BE＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠APD+∠BPC＝90°，∠EBP +∠BPC＝90°，
∴∠EBP＝∠APD，
又∵PB＝PD，
∴△PAD≌△BEP（SAS），
∴∠PAD＝∠BEP，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
∵PE∥AB，
∴∠ABC＝∠PEC＝45°，
∴∠BEP＝135°，
∴∠BAD＝∠PAD﹣∠BAC＝135°﹣45°＝90°，
故答案为：△PAD，90；
（2）如图，过点P作PH∥AB，交CB的延长线于点H，
∴∠CBA＝∠CHP，∠CAB＝∠CPH，
∵CB＝CA，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴∠CHP＝∠CPH，
∴CH＝CP，
∴BH＝AP，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．
∴PB＝PD，
∵∠BPD＝∠C，
∴∠BPD+∠BPC＝∠C+∠BPC，
∴∠PBH＝∠APD，
∴△APD≌△HBP（SAS），
∴PH＝AD，
∵PH∥AB，
∴△CAB∽△CPH，
∴
∴
∵AC＝BC＝AB，
∴，
∴CP＝PH＝AD；
（3）当点P在CA的延长线上时，
∵AC＝BC＝AB＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，
∴BP＝PD，∠BPD＝60°＝∠ACB，
过点P作PE∥AB，交CB的延长线于点E，
∵∠ACB＝∠APB+∠ABP，
∴∠ABP＝∠APB＝30°，
∴AB＝AP＝2，
∴CP＝4，
∵AB∥PE，
∴
∴CP＝PE＝4，
由（2）得，PE＝AD＝4，
∵∠APD＝∠APB+BPD＝90°，
∴DP＝，
∴△ADP的周长＝AD+AP+DP＝+6，
当点P在AC延长线上时，如图，
同理可求△ADP的周长＝6+，
综上所述：△ADP的周长为6+．
【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．
10．如图1，，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向点运动，点同时从点出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．
(1)求的长．
(2)当以点、、为顶点的三角形与相似时，求的值．
(3)如图2，将本题改为点从点出发以每秒3个单位长度的速度在上向点运动，点同时从点出发向点运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当为何值时，为等腰三角形．
【答案】(1)10；
(2)当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
(3)当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
【分析】（1）根据三角函数解得即可；
（2）分①当时和②当时，两种情况利用相似三角形的性质解答即可；
（3）分类讨论：①当时，②当时，③当时，三种情况，利用等腰三角形的性质得出比例解答即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：①当时，
∴，
即，
解得：；
②当时，
∴，
即，
解得：，
综上所述，当秒或秒时，以点M、C、N为顶点的三角形与相似；
（3）解：①如图3，当时，，
解得：，
②如图4，当时，过点M作于D，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
③如图5，当时，过点N作于D，
则，，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上所述，当t的值为2秒或秒或秒时，能成为等腰三角形．
【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．