八年级数学下册专题06几何最值四大模型(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题06几何最值四大模型(原卷版+解析)，共45页。试卷主要包含了6D．4等内容，欢迎下载使用。

模型一：轴对称最值模型 模型二：直角之最值模型
模型三：费马点最值模型 模型四：面积法求定值
模型一：将军饮马问题
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
模型二：费马点
【费马点问题】
问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
图文解析：
如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，
∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．
∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长
∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′
【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.
【知识应用】两点之间线段最短.
模型一：轴对称最值模型
1.（春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（ ）
A．4B．2C．2D．8
2.（2022•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
3.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．2B．3C．2D．
4．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（ ）
A．B．C．D．
5．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（ ）
A．26B．25C．24D．22
模型二：直角之最值模型
6．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
7．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023秋•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ．
9．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（ ）
A．12B．10C．9.6D．4.8
10．（2023秋•头屯河区期末）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
12．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
模型三：费马点最值模型
13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．3+3C．6+D．
14．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（ ）
A．B．C．D．
模型四：面积法求定值
15．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．B．C．D．
1．（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝2，则DE+CF的最小值为（ ）
A．10B．C．D．
2．（2023春•邗江区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春•南谯区期末）如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC的最小值为（ ）
A．7B．C．10D．
4．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1B．C．D．3
5．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
6．（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
7．（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．是定值B．是定值8
C．有最小值D．有最大值8
8．（2023春•庐江县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
9．（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB＝AM＝6，BC＝4，点N为线段AM上一点，且AN＝AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
10．（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
11．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
12．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
A．8B．8C．8D．12
13．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．2.4B．3C．4.8D．4
14.（2022春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
15．（2023春•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．2.4
16．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
专题06 几何最值四大模型
模型一：轴对称最值模型 模型二：直角之最值模型
模型三：费马点最值模型 模型四：面积法求定值
模型一：将军饮马问题
1.
已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；
要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小
解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,
PA+PB的最小值即为线段AB的长度
理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，
在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP
∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.

已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧
要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小
（或△ABP的周长最小）
解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，
点P即为所求；
理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，
由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则
需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.
模型二：费马点
【费马点问题】
问题：如图1，如何找点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
图文解析：
如图1，把△APC绕C点顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′．则△CPP′为等边三角形，CP=PP′，PA=P′A′，
∴PA+PB+PC= P′A′+PB+PP′BC′．
∵点A′可看成是线段CA绕C点顺时针旋转60°而得的定点，BA′为定长
∴当B、P、P′、A′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．最小值为BA.′
【如图1和图2，利用旋转、等边等条件转化相等线段.】
∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，
∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.
因此，当△ABC的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费马点问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
【方法总结】利用旋转、等边等条件转化相等线段，将三条线段转化成首尾相连的三条线段.
【知识应用】两点之间线段最短.
模型一：轴对称最值模型
1.（春•庐江县期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB＝4，BD＝4，E为AB的中点，点P为线段AC上的动点，则EP+BP的最小值为（ ）
A．4B．2C．2D．8
【答案】C
【解答】解：如图，设AC，BD相交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，
∵AB＝4，
∴AO＝2，
连接DE交AC于点P，连接BP，作EM⊥BD于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分线，
∴PD＝PB，
∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，
∵E是AB的中点，EM⊥BD，
∴EM＝AO＝1，BM＝BO＝，
∴DM＝DO+OM＝BO＝3，
∴DE＝＝＝2，
故选：C．
2.（2022•埇桥区校级月考）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．4
【答案】B
【解答】解：如图，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB＝BC＝4，AB•CE′＝8，
∴CE′＝2，
在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，
∵BE＝EA＝2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE＝2，
故选：B．
3.（2022春•裕华区校级期末）如图，在菱形ABCD中，∠D＝135°，AD＝3，CE＝2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则PE+PF的最小值（ ）
A．2B．3C．2D．
【答案】D
【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE＝PG，CE＝CG＝2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH＝∠CBH＝45°，
∴Rt△BHC中，BH＝CH＝BC＝3，
∴HG＝3﹣2＝1，
∴Rt△BHG中，BG＝＝，
∵当点F与点B重合时，PE+PF＝PG+PB＝BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
4．（2023•西乡塘区校级模拟）如图，在边长为的4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为​（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接AE，如图1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°．
又BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS）．
∴AE＝BF．
所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值．
作点A关于BC的对称点H点，如图2，
连接BH，则A、B、H三点共线，
连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点．
根据对称性可知AE＝HE，HB＝AB＝4，
所以AE+DE＝DH．
在Rt△ADH中，AH＝8，DH＝，
∴BF+DE最小值为4．
故选：D
5．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点E在AD上，点F在BC上，且AE＝CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为（ ）
A．26B．25C．24D．22
【答案】A
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠BAE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴CE+DF＝CE+BE，
如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，
CB'即为CE+BE的最小值，
∵AB＝12，AD＝10，
∴BB'＝24，BC＝10，
∴，
∴CE+DF的最小值为26，故A正确．
故选：A．

模型二：直角之最值模型
6．（2023春•河东区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（ ）
A．5B．3.6C．2.4D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，
∴．
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴四边形AMDN为矩形，
∴AD＝MN，
∴当AD最小时，MN最小．
当AD⊥BC时，AD最小，此时S△ABC＝AB•AC＝AD•BC，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8，
∴线段MN的最小值为4.8．
故选：D．
7．（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝2，则GH的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即GH的最小值为，
故选：D
8．（2023秋•石景山区期末）如图，E是正方形ABCD内一点，满足∠AEB＝90°，连接CE．若AB＝2，则CE长的最小值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：取AB中点O，连接OC，
∵AB＝2，
∴OB＝1，
∴OC＝＝＝，
∵∠AEB＝90°，
∴点E在以O为圆心，OB为半径的圆上，
∴当点E在OC上时，CE有最小值，
∴CE的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
9．（2023秋•洪洞县期中）如图，在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，点D，E分别是AB，BC边上的动点，连结DE，F，M分别是AD，DE的中点，则FM的最小值为（ ）
A．12B．10C．9.6D．4.8
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，
∵F，M分别是AD，DE的中点，
∴FM＝，
∴当AE取最小值时，FM的值最小，
由垂线段最短可知，当AE⊥BC于点E时，AE的值最小，
在△ABC中，AB＝BC＝10，AC＝12，
∴CH＝，
∴BH＝＝＝8，
∴＝48，
又∵，
∴，
∴AE＝9.6，
∴FM＝4.8，
故选：D．
10．（2023秋•头屯河区期末）正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上，
设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC＝4，BG＝2，
∴CG＝＝＝2，
∵PG＝AG＝BG＝2，
∴CP＝2﹣2，
故选：A．
11．（2023秋•海珠区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
∴BD＝＝10，
∵点A和点M关于BE对称，
∴AB＝BM＝6，
∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4．
故DM的最小值为4．
故选：C．
12．（2023秋•建湖县期中）如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（ ）
A．2B．3C．3.5D．4
【答案】A
【解答】解：如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝10，
∵DE＝6，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CN＝DE＝3，CM＝AB＝5，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣3＝2．
故选：A．
模型三：费马点最值模型
13.（2023秋•白银区期末）如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，且∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是（ ）
A．B．3+3C．6+D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝DC＝BC，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠MAE＝30°，
∴AM＝2ME，
∵MD＝MB，
∴MA+MB+MD＝2ME+2DM＝2DE，
根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，
∵菱形ABCD的边长为6，
∴DE＝＝＝3，
∴2DE＝6．
∴MA+MB+MD的最小值是6．
故选：D．
14．（2023秋•太和县期末）如图，P是边长为1的正方形ABCD内的一个动点，且满足∠PBC+∠PDC＝45°，则CP的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
在凹四边形BCDP中，
∵∠BCD＝90°，∠PBC+∠PDC＝45°，
∴∠BPC+∠CPD＝360°﹣∠BCD﹣（∠PBC+∠PDC）＝225°，
∴∠BPD＝360°﹣（∠BPC+∠CPD）＝135°，
得点P在运动过程中，使得∠BPD＝135°，
即点P在正方形ABCD内，以A为圆心，AB为半径的圆弧上，
由图可得AP+CP≥AC，
当点A、P、C三点共线时，CP取得最小值，最小值为AC﹣AP，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝1，
∴AC＝＝，
∵AP＝AB＝1，
∴CP＝AC﹣AP＝．
故选：D．
模型四：面积法求定值
15．（2023秋•东河区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为12，AC＝，
∴AO＝DO＝AC＝，
∵对角线AC，BD交于点O，
∴△AOD的面积为3，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，
∴3＝××EO+×EF，
∴5（EO+EF）＝12，
∴EO+EF＝，
故选：C．
16.（2023春•东昌府区期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，
过P作PM⊥BC于M，
则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，
∵S菱形ABCD＝×6×8＝5NQ，
∴NQ＝，
即PM+PN的最小值是，
故选：D．
1．（2023•深圳模拟）如图，点E是正方形ABCD内部一个动点，且AD＝EB＝8，BF＝2，则DE+CF的最小值为（ ）
A．10B．C．D．
【答案】A
【解答】解：在BC上截取BG＝BF，连接BE，CE，
∵四边形ABCD是正方形，AD＝8，
∴BC＝AD＝8，
∵BF＝BG＝2，
∴CG＝BC﹣BG＝6，
∵EB＝8，BF＝2，
∴点E在以B为圆心，8为半径的圆上运动，点F在以B为圆心，2为半径的圆上运动，
在△BGE和△BFC中，
，
∴△BGE≌△BFC（SAS），
∴∠BEG＝∠BCF，∠BGE＝∠BFC，BE＝BC，
∴∠EGC＝∠CFE，
∵BE＝BC＝8，
∴∠BEC＝∠BCE，
即∠FEC＝∠GCE，
∴∠FCE＝∠GEC，
又CG＝EF＝6，∠EGC＝∠CFE，
∴△FCE≌△GEC（ASA），
∴CF＝EG，
当E，G，D三点共线时，DE+CF取得最小值，最小值为DG的长，
∴DG＝＝＝10，
故选：A．
2．（2023春•邗江区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、AD、CD上，AB＝3，AE＝1，DG＞AE，BF＝EG，BF与EG交于点P．连接DP，则DP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，过点E作EM⊥CD于点M，取BE的中点Q，连接QP、QD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠A＝∠ADC＝∠DME＝90°，AB∥CD，
∴四边形ADME是矩形，
∴EM＝AD＝AB，
在Rt△BAF和Rt△EMG中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△EMG（HL），
∴∠ABF＝∠MEG，∠AFB＝∠EGM，
∵AB∥CD，
∴∠MGE＝∠BEG＝∠AFB，
∵∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BEG＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴BF⊥EG，
∵△EPB是直角三角形，Q是BE的中点，
∴，
∵AB＝3，AE＝1，
∴BE＝3﹣1＝2，
∴QB＝QE＝1，
∵QD﹣QP≤DP，
∴当Q、D、P共线时，DP有最小值，
∵，AQ＝AE+EQ＝1+1＝2，
∴，
∴，
∴PD的最小值为．
故选：A．
3．（2023春•南谯区期末）如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为4和3，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC＝BF，连接FC，当点E在边CD上移动时，AE+FC的最小值为（ ）
A．7B．C．10D．
【答案】B
【解答】解：延长CB到M，使得BM＝BC，过点M作MT⊥MC，且MT＝AB，连接BT，TF，CT．
在△ABC和△TMB中，
，
∴△ABC≌△TMB（SAS），
∴AC＝BT，∠ACB＝∠TBM，
∵∠ACB+∠ACD＝90°，∠TBM+∠TBF＝90°，
∴∠TBF＝∠ACD，
在△ACE和△TBF中，
，
∴△ACE≌△TBF（SAS），
∴AE＝FT，
∴AE+CF＝FT+CF，
∵CF+FT≥CT，CT＝，
∴AE+CF≥2，
∴AE+CF的最小值为2．
故选：B．
4．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴OD＝OC，
∵DF∥AC，OD∥CF，
∴四边形OCFD为菱形，
∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．
过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，
∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，
∴2×AC•DM＝12，
即2××6•DM＝12，
解得DM＝2，
∵G为CD的中点，
∴GP为△DMC的中位线，
∴GP＝DM＝1，
故PG的最小值为1．
故选：A．
5．（2023春•常州期末）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，点E、F分别在边AB、AD上，且BE＝AF，则EF的最小值是（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【解答】解：连接AC，作CG⊥AD于点G，则∠CGD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠B＝60°，
∴AB＝CB＝AD＝CD＝6，∠D＝∠B＝60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠CAF＝60°，CB＝CA＝CD＝6，DG＝AG＝AD＝×6＝3，
∴CG＝＝＝3，
∵CF≥CG，
∴CF≥3，
∴CF的最小值是3，
在△BCE和△ACF中，
，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝∠ACE+∠BCE＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
∴EF＝CF，
∴EF的最小值为3，
故选：D．
6．（2023春•遵化市期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△PAB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵S△PAB＝S矩形ABCD，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2+2＝4，
∴BE＝＝＝4，
即PA+PB的最小值为4．
故选：D．
7．（2023春•长丰县期末）如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且BE＝BC，点P是CE上一动点，则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值（ ）
A．是定值B．是定值8
C．有最小值D．有最大值8
【答案】A
【解答】解：如图，连接BP，作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝90°，
∵正方形的性质可知∠EBF＝45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∵正方形的边长为8，
∴BE＝BC＝8，
∴BF＝EF＝BE＝4，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S△BPE+S△BPC＝S△BEC，
∴BE•PM+BC•PN＝BC•EF，
∵BE＝BC，
∴PM+PN＝EF＝4．
则点P到边BD，BC的距离之和PM+PN的值是定值4．
故选：A．
8．（2023春•庐江县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【解答】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵AP＝CQ，
∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，
∴DP＝QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB＝DQ，
则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB＝PE，
∴PC+PB＝PC+PE，
连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，
∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，
∴CE＝＝13．
∴PC+PB的最小值为13．
故选：C．
9．（2023•福田区校级三模）如图，点M是矩形ABCD内一个动点，AB＝AM＝6，BC＝4，点N为线段AM上一点，且AN＝AM，连接BN和CM，则BN+CM的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【解答】解：在AB上截取BE＝MN，连接ME，CE，
∵，AB＝AM＝6，
∴AN＝4，MN＝2，
∴BE＝MN＝2，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，
∴AE＝AN，
∵AB＝AM，∠BAN＝∠MAE，
∴△BAN≌△∠MAE（SAS），
∴BN＝ME，
∴BN+CM＝ME+CM≥CE，
当C、M、E在一条直线上时，ME+CM的最小值为CE的长，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，
由勾股定理得，
即BN+CM的最小值为，
故选：A．
10．（2023•河东区一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别为DC、BC上的点，且DE＝CF，连接DF，BE，求DF+BE的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2+2
【答案】B
【解答】解：延长AB到G，使BG＝AB＝2，连接DG交BC于F'，连接GF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝BG＝2，∠ABC＝∠FBG＝∠C＝90°，
∴DG＝＝＝2，
在△BCE和△GBF中，
，
∴△BCE≌△GBF（SAS），
∴BE＝FG，
∴DF+BE＝DF+FG，
∴当F运动到F'，即D、F、G共线时，DF+FG最小，此时DF+BE最小，最小值为DG的长，
∴DF+BE最小值为2．
故选：B．
11．（2023春•梁园区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．2
【答案】C
【解答】解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1＝．
∴PB的最小值是．
故选：C．
12．（2023春•江阴市期末）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝4，M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）
A．8B．8C．8D．12
【答案】C
【解答】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点G，连接AG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠B＝∠BAD＝90°，
∵AB＝12，BE＝4，
∴AE＝＝＝4，
∵DH∥MN，AB∥CD，
∴四边形DHNM是平行四边形，
∴DH＝MN，
∵MN⊥AE，DH∥MN，EG∥MN，
∴DH⊥AE，AE⊥EG，
∴∠BAE+∠AHD＝90°＝∠AHD+∠ADH，∠AEG＝90°，
∴∠BAE＝∠ADH，
在△ABE和△DAH中，
，
∴△ABE≌△DAH（ASA），
∴DH＝AE＝4，
∴MN＝DH＝AE＝4，
∵EG∥MN，MG∥NE，
∴四边形NEGM是平行四边形，
∴NE＝MG，MN＝EG＝AE＝4，
∴AM+NE＝AM+MG，
∴当点A，点M，点G三点共线时，AM+NE的最小值为AG，
∴AG＝＝＝8．
故选：C．
13．（2023秋•莱西市期末）如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（ ）
A．2.4B．3C．4.8D．4
【答案】A
【解答】解：连接OE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝BD＝3，OC＝AC＝4，
由勾股定理得CD＝＝5，
又∵EF⊥OC，EG⊥OD，
∴四边形OFEG为矩形，
∴GF＝OE，
当OE⊥CD时，OE值最小，
此时，S△OCD＝OC•OD＝CD•OE，
∴OE＝＝2.4，
∴FG的最小值为2.4．
故选：A．
14.（2022春•海口期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解答】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，
∴PN＝PE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠BCD，AD＝AB＝BC＝CD，OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，
∵E为AB的中点，
∴N在AD上，且N为AD的中点，
∵AD∥CB，
∴∠ANP＝∠CFP，∠NAP＝∠FCP，
∵AD＝BC，N为AD中点，F为BC中点，
∴AN＝CF，
在△ANP和△CFP中
∵，
∴△ANP≌△CFP（ASA），
∴AP＝CP，
即P为AC中点，
∵O为AC中点，
∴P、O重合，
即NF过O点，
∵AN∥BF，AN＝BF，
∴四边形ANFB是平行四边形，
∴NF＝AB，
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，OA＝AC＝4，BO＝BD＝3，
由勾股定理得：AB＝＝5，
故选：C．
15．（2023春•孝南区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．2.4
【答案】A
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC＝＝5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝2.4，
∴AP最短时，AP＝2.4，
∴当PM最短时，PM＝AP＝1.2．
故选：A．
16．（2023•芜湖一模）如图，在正方形ABCD中，已知边AB＝5，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
​
A．5B．C．D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，连接AF，AC，
∵正方形ABCD的边长为5，
∴AC＝，
∵B，F关于AE成轴对称，
∴AE垂直平分BF，
∴AB＝AF＝5，
∵AF+CF≥AC，
∴当C，F，A在同一直线上时，CF的最小值为AC﹣AF＝﹣5，
故选：B．