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八年级数学下册专题07平行四边形综合压轴特训(原卷版+解析)
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这是一份八年级数学下册专题07平行四边形综合压轴特训(原卷版+解析)，共54页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．B．C．3D．4
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（ ）
A．1B．C．D．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①③④
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3，）或（3，3）
C．（3，）或（3，1）
D．（3，）或（3，1）或（3，3）
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 ．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 ．
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝ ．
将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和
为 cm2．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝ ．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．
33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
专题07 平行四边形综合压轴特训
一．选择题（共16小题）
1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP＝90°，
又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
∵AE＝AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
∵AE＝AP＝1，
∴PE＝AE＝，
在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，
∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，
＝×1×1+××2，
＝0.5+，故④正确；
过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝×2＝，
即点B到直线AE的距离为，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：A．
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，
∴平行四边形ABC1O1的面积为，
∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，
∴平行四边形ABC2O2的面积为×＝，
…，
依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．
故选：B．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，
∴MN＝，
∴MN2＝MC2+NC2．
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2
∴MC＝NC．
∴BM＝DN
易证△ABM≌△ADN（SAS）．
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．
综上①②③都正确．
故选：D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，
∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O
∵在正方形ABCD中，AB＝4
∴AC＝AB＝4，
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝2
∵N为OA的中点
∴ON＝
∴ON'＝CN'＝
∴AN'＝3
∵BM＝3
∴CM＝4﹣3＝1
∴＝＝
∵∠MCN'＝∠BCA
∴△MCN'∽△BCA
∴∠CMN'＝∠ABC＝90°
∵∠MCN'＝45°
∴△MCN'为等腰直角三角形
∴MN'＝CM＝1
∴PM﹣PN的值为1．
故选：A．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即，
∴OE＝，
即点B（，3），
∴AF＝OE＝，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，
∴点C（﹣，4）．
故选：B．
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，
∴△BQA≌△BQE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，
∴PQ＝DE＝3．
故选：C．
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，
∴AC＝2CD，CD＝＝2，
∴EC2＝22+22，＝8，
∴S2的面积为EC2＝8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9，
∴S1+S2＝8+9＝17．
故选：B．
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：已知第一个矩形的周长为1；
由中位线定理，可知第二个矩形的边长是菱形对应的对角线的，即第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的，所以第二个矩形的周长为第一个矩形周长的，故第二个矩形的周长为；
同理，第三个矩形的周长是第二个矩形周长的，故第三个矩形的周长为（）2；
…
故第n个矩形的周长为（）n﹣1．
故选：C．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
【答案】C
【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故选：C．
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，A，B，C部分的面积，
A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，
所以，阴影部分面积＝1﹣﹣＝．
故选：A．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
【答案】D
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选：D．
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解答】解：依题意有，AC＝，
所以A′C＝1．
则平移的距离是AA′＝﹣1．
故选：B．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①③④
【答案】B
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故错误；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故正确；
∴其中正确的结论为①④，
故选：B．
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3，）或（3，3）
C．（3，）或（3，1）
D．（3，）或（3，1）或（3，3）
【答案】D
【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝＝4，
∵BM＝2AM，
∴BM+AM＝AB＝4，
∴AM＝BN＝，BM＝，
∵AD∥BN，
∴△NQB∽△AQD，
∴＝＝＝，
∴DQ＝3BQ，
∴DQ＝3，BQ＝，
∵O是BD的中点，
∴OD＝2，
∴OQ＝DQ﹣OD＝，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠PAD+∠BAN＝90°，
∴∠PAD+∠ADM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵∠DAM＝90°，AM＝，AD＝4，
∴DM＝＝，
∵S△ADM＝AD•AM＝DM•AP，
∴AP＝＝，
∴PM＝＝，
∴PD＝DM﹣PM＝，
∵△ADM≌△BAN，
∴AN＝DM＝，
∵＝，
∴NQ＝，AQ＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝﹣＝，
如图，过点O作OG⊥DM于点G，
∵OG∥PQ，
∴△OGD∽△QPD，
∴＝＝＝，
∴DG＝DP＝×＝，OG＝QP＝×＝，
∴PG＝DP﹣DG＝﹣＝，
∴OP＝＝＝．
故答案为：．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 EF2＝AE2+CF2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM
在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；
∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中
∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴AC•BC＝AB•PC，
∴PC＝．
∴线段EF长的最小值为；
故答案为：．
21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．
故答案为：1
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝ 128 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8＝27＝128．
故答案为128．
23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为：．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 （）n﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．AC⊥DB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，
∴BM＝，
∴AM＝，
∴AC＝，
同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 1.5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，
∵∠AFB＝90°，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝ 36 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：显然PO≠PD，不考虑；
当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，
根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；
当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，
根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；
当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，
根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC …（12分）
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BE：AB＝DB：BC，
∵D为BC中点，
∴DB：BC＝1：2，
∴BE：AB＝1：2，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；
（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．
31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，
，
故△BDE≌△BCF．
（2）△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
（3）设BE＝BF＝EF＝x，
则S△BEF＝•x•x•sin60°＝x2，
当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，此时△BEF的面积最小，
此时点E、F分别位于AD、CD的中点，
故此时BD垂直平分EF．
33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】（Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，
矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
又∵AM＝DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS）
∴∠AMB＝∠DMC
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC＝90°，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°
∴AM＝DM＝DC，即AD＝2DC．
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；
法2：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠M为直角，
∴B、C、M三点共圆，BC为直径，
又∵M为AD的中点，
∴BC＝2CD，
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB＝MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC
又∵点P是BC中点，
∴PE＝PF＝MC
∴四边形PEMF为正方形．
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠NEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∴∠N＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，
∴∠NAE＝∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠1＝∠2，
∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵EA＝EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，
而EF′•AB＝EF•AP，
∴AB＝AP．
解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF
＝EC+CF+EF′
＝EC+BE+CF+BF′
＝BC+CF+DF
＝BC+CD＝2AB＝10．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC＝∠MAN，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD＝180°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAN＝×180°＝90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，DF＝AB，理由是：
∵四边形ADCE为矩形，
对角线DE与AC相交于点F，
∴F是AC的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF＝AB，DF∥AB．
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE又为正方形．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
综上所述，所以点D的坐标为（2，0）．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝．
证明：如图2，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴＝．即PG＝PC．
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1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．B．C．3D．4
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（ ）
A．1B．C．D．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①③④
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3，）或（3，3）
C．（3，）或（3，1）
D．（3，）或（3，1）或（3，3）
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 ．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 ．
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝ ．
将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和
为 cm2．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 ．
25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝ ．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 ．
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．
33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
专题07 平行四边形综合压轴特训
一．选择题（共16小题）
1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：
①△APD≌△AEB；
②点B到直线AE的距离为；
③EB⊥ED；
④S△APD+S△APB＝+．
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③④B．①②③C．②③④D．①②④
【答案】A
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，
∵AP⊥AE，
∴∠BAE+∠BAP＝90°，
又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAP，
在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；
∵AE＝AP，AP⊥AE，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，
∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，
∴EB⊥ED，故③正确；
∵AE＝AP＝1，
∴PE＝AE＝，
在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，
∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，
＝×1×1+××2，
＝0.5+，故④正确；
过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，
∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝×2＝，
即点B到直线AE的距离为，故②错误，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：A．
2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，
∴平行四边形ABC1O1的面积为，
∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，
∴平行四边形ABC2O2的面积为×＝，
…，
依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．
故选：B．
3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，
∴MN＝，
∴MN2＝MC2+NC2．
当MN＝MC时，
MN2＝2MC2，
∴MC2＝NC2
∴MC＝NC．
∴BM＝DN
易证△ABM≌△ADN（SAS）．
∴∠BAM＝∠DAN，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM＝22.5°，故①正确；
②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，
则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
则在△EAN和△MAN中，
∴△EAN≌△MAN（SAS），
∴∠AMN＝∠AED，
∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，
∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，
∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，
故②正确；
③：∵△EAN≌△MAN，
∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，
∴△MNC的周长为：
MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，
∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．
综上①②③都正确．
故选：D．
4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，
∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，
根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O
∵在正方形ABCD中，AB＝4
∴AC＝AB＝4，
∵O为AC中点
∴OA＝OC＝2
∵N为OA的中点
∴ON＝
∴ON'＝CN'＝
∴AN'＝3
∵BM＝3
∴CM＝4﹣3＝1
∴＝＝
∵∠MCN'＝∠BCA
∴△MCN'∽△BCA
∴∠CMN'＝∠ABC＝90°
∵∠MCN'＝45°
∴△MCN'为等腰直角三角形
∴MN'＝CM＝1
∴PM﹣PN的值为1．
故选：A．
5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ）
A．（，3）、（﹣，4）B．（，3）、（﹣，4）
C．（，）、（﹣，4）D．（，）、（﹣，4）
【答案】B
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC＝OB，
∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE＝CF＝4﹣1＝3，
∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOD＝∠OBE，
∵∠ADO＝∠OEB＝90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即，
∴OE＝，
即点B（，3），
∴AF＝OE＝，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，
∴点C（﹣，4）．
故选：B．
6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，
而CE＝DF，
∴AF＝DE，
在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴AE＝BF，所以（1）正确；
∴∠ABF＝∠EAD，
而∠EAD+∠EAB＝90°，
∴∠ABF+∠EAB＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴AE⊥BF，所以（2）正确；
连接BE，
∵BE＞BC，
∴BA≠BE，
而BO⊥AE，
∴OA≠OE，所以（3）错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．
故选：B．
7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】C
【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，
∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，
∴△BQA≌△BQE，
∴BA＝BE，
∴△BAE是等腰三角形，
同理△CAD是等腰三角形，
∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），
∴PQ是△ADE的中位线，
∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，
∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，
∴PQ＝DE＝3．
故选：C．
8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，
根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，
∴AC＝2CD，CD＝＝2，
∴EC2＝22+22，＝8，
∴S2的面积为EC2＝8；
∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9，
∴S1+S2＝8+9＝17．
故选：B．
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：已知第一个矩形的周长为1；
由中位线定理，可知第二个矩形的边长是菱形对应的对角线的，即第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的，所以第二个矩形的周长为第一个矩形周长的，故第二个矩形的周长为；
同理，第三个矩形的周长是第二个矩形周长的，故第三个矩形的周长为（）2；
…
故第n个矩形的周长为（）n﹣1．
故选：C．
10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．
11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
【答案】C
【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，
连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，
所以四边形EFGH是平行四边形，
要使四边形EFGH为矩形，
根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）
故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．
故选：C．
12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，A，B，C部分的面积，
A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，
所以，阴影部分面积＝1﹣﹣＝．
故选：A．
13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
【答案】D
【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，
∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；
∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，
∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，
在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，
∴＜MN＜，
当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是＜MN≤．
故选：D．
14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解答】解：依题意有，AC＝，
所以A′C＝1．
则平移的距离是AA′＝﹣1．
故选：B．
15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（ ）
A．①③B．①④C．②③D．①③④
【答案】B
【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，
∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，
故正确；
②∵EF＝，
∴OE＝2，
∵AO＝AB＝3，
∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，
故错误；
③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG＝1，
CF＝＝＝，
BH＝3﹣1＝2，
DH＝3+1＝4，
BD＝＝＝2，
故错误；
④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，
故正确；
∴其中正确的结论为①④，
故选：B．
16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1）或（3，3）
B．（3，）或（3，3）
C．（3，）或（3，1）
D．（3，）或（3，1）或（3，3）
【答案】D
【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，
∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；
①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
在Rt△MPC中，由勾股定理得：
CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，
又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，
∴2a2﹣8a+26＝20，
∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，
解得：a＝3或a＝1，
∴P（3，3）或（3，1）；
②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：
CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，
在Rt△MPA中，由勾股定理得：
MP2＝MA2+AP2＝1+a2，
∵CM2＝OM2+OC2＝20，
在Rt△MCP中，由勾股定理得：
CM2+MP2＝CP2，
∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，
解得：a＝．
∴P（3，）．
综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．
故选：D．
二．填空题（共11小题）
17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 ．
【答案】．
【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴BD＝＝4，
∵BM＝2AM，
∴BM+AM＝AB＝4，
∴AM＝BN＝，BM＝，
∵AD∥BN，
∴△NQB∽△AQD，
∴＝＝＝，
∴DQ＝3BQ，
∴DQ＝3，BQ＝，
∵O是BD的中点，
∴OD＝2，
∴OQ＝DQ﹣OD＝，
在△ADM和△BAN中，
，
∴△ADM≌△BAN（SAS），
∴∠ADM＝∠BAN，
∵∠PAD+∠BAN＝90°，
∴∠PAD+∠ADM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∵∠DAM＝90°，AM＝，AD＝4，
∴DM＝＝，
∵S△ADM＝AD•AM＝DM•AP，
∴AP＝＝，
∴PM＝＝，
∴PD＝DM﹣PM＝，
∵△ADM≌△BAN，
∴AN＝DM＝，
∵＝，
∴NQ＝，AQ＝，
∴PQ＝AQ﹣AP＝﹣＝，
如图，过点O作OG⊥DM于点G，
∵OG∥PQ，
∴△OGD∽△QPD，
∴＝＝＝，
∴DG＝DP＝×＝，OG＝QP＝×＝，
∴PG＝DP﹣DG＝﹣＝，
∴OP＝＝＝．
故答案为：．
18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：
①DE＝EF；
②△DAE≌△DCG；
③AC⊥CG；
④CE＝CF．
其中正确的结论序号是 ①②③ ．
【答案】①②③．
【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，故①正确；
∴矩形DEFG为正方形；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∴∠ACG＝90°，
∴AC⊥CG，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，
∴CE不一定等于CF，故④错误，
综上所述：①②③．
故答案为：①②③．
19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为 EF2＝AE2+CF2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH
则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM
在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN
在△DAN和△DCF中
；
∴△DAN≌△DCF（SAS）
∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°
又∵∠DAC＝45°
∴∠NAE＝90°
∴AN2+AE2＝NE2
∵∠GDH＝45°，
∴∠NDE＝45°
在△DNE和△DFE中
∴△DNE≌△DFE
∴NE＝EF
又∵AN＝CF
∴CF2+AE2＝EF2
故答案为：EF2＝AE2+CF2．
20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接PC．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
∴当PC最小时，EF也最小，
即当CP⊥AB时，PC最小，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∴AC•BC＝AB•PC，
∴PC＝．
∴线段EF长的最小值为；
故答案为：．
21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，
∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，
∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．
故答案为：1
22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝ 128 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8＝27＝128．
故答案为128．
23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为 cm2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．
故答案为：．
24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是 （）n﹣1 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB．AC⊥DB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB＝AD＝1，
∴BM＝，
∴AM＝，
∴AC＝，
同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，
故答案为（）n﹣1．
25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 1.5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，
∵∠AFB＝90°，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝ 36 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，连接EF，FG，GH，EH，
∵E、H分别是AB、DA的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴EH＝BD＝3，
同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，
∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，
∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，
∴四边形EFGH为菱形，
∴EG⊥HF，且垂足为O，
∴EG＝2OE，FH＝2OH，
在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，
等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，
∴（2OE）2+（2OH）2＝36，
即EG2+FH2＝36．
故答案为：36．
27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 （2，4）或（3，4）或（8，4） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：显然PO≠PD，不考虑；
当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，
根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；
当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，
根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；
当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：
过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，
根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），
综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）
三．解答题（共13小题）
28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 垂直 ，数量关系为 相等 ．
②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分）
故答案为：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD＝∠BAC＝90°
∴∠BAD＝∠CAF
在△BAD与△CAF中，
∵
∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝90°
∴CF⊥BD …（7分）
（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）
则∵∠ACB＝45°
∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°
∵AG＝AC，AD＝AF，
∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠GAD＝∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分）
∴∠ACF＝∠AGD＝45°
∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°
∴CF⊥BC …（12分）
29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴BE：AB＝DB：BC，
∵D为BC中点，
∴DB：BC＝1：2，
∴BE：AB＝1：2，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE＝BC，
证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），
∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），
∴AD∥CF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF且BD∥CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），
∵DE＝EF＝DF，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，
∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，
同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，
四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，
…，
∴四边形的周长之和l＝1++++…；
（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），
所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．
31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；
（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．
（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；
证明：△BDE≌△BCF．
在△BDE和△BCF中，
，
故△BDE≌△BCF．
（2）△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
（3）设BE＝BF＝EF＝x，
则S△BEF＝•x•x•sin60°＝x2，
当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，此时△BEF的面积最小，
此时点E、F分别位于AD、CD的中点，
故此时BD垂直平分EF．
33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小，
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．
（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？
【答案】见试题解答内容
【解答】（Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，
矩形ABCD的长是宽的2倍．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，
又∵AM＝DM，
∴△AMB≌△DMC（SAS）
∴∠AMB＝∠DMC
∵四边形PEMF为矩形，
∴∠BMC＝90°，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°
∴AM＝DM＝DC，即AD＝2DC．
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；
法2：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠M为直角，
∴B、C、M三点共圆，BC为直径，
又∵M为AD的中点，
∴BC＝2CD，
∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．
（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．
∵△AMB≌△DMC，
∴MB＝MC．
∵四边形PEMF为矩形，
∴PE∥MB，PF∥MC
又∵点P是BC中点，
∴PE＝PF＝MC
∴四边形PEMF为正方形．
35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠NEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∴∠N＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，
∴∠NAE＝∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若AB＝5，求△ECF的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，
∴△ABF′≌△ADF（SAS），
∴AF′＝AF，∠1＝∠2，
∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，
又∵EA＝EA，
∴△EAF′≌△EAF（SAS），
∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，
而EF′•AB＝EF•AP，
∴AB＝AP．
解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF
＝EC+CF+EF′
＝EC+BE+CF+BF′
＝BC+CF+DF
＝BC+CD＝2AB＝10．
37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．
（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．
（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图1中，作DH⊥BC于H．则四边形ABHD是矩形．
∴AD＝BH＝20，CH＝BC﹣BH＝4，
①当四边形PQCD是平行四边形时，PD＝CQ，
∴20﹣t＝3t，
解得t＝5．
②当四边形PQCD是等腰梯形时，PQ＝CD，易知CQ﹣PD＝2CH，
∴3t﹣（20﹣t）＝8，
解得t＝7．
综上所述，t＝5或7s时，PQ＝CD．
（2）设Q点运动的速度xcm/s时，
∵四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，
∴PA＝BQ＝4或PA＝BQ＝16，
∴t＝4或16，
∴24﹣4x＝4或24﹣16x＝16，
解得x＝5或，
∴要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，Q点运动的速度为5cm/s或cm/s．
38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形．
（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又AN平分∠MAC，
∴∠NAC＝∠MAN，
∵∠MAN+∠CAN+∠BAD+∠CAD＝180°，
∴∠DAE＝∠CAD+∠CAN＝×180°＝90°，
又CE⊥AN，AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）DF∥AB，DF＝AB，理由是：
∵四边形ADCE为矩形，
对角线DE与AC相交于点F，
∴F是AC的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF＝AB，DF∥AB．
（3）当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE又为正方形．
39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；
（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵A（6，0），C（0，10），
∴OA＝6，OC＝10．
∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝10，
∴点B的坐标为（6，10）．
∵OC＝10，OA＝6，
∴长方形OABC的周长为：2×（6+10）＝32．
（2）∵CD把长方形OABC的周长分为3：5两部分，
∴被分成的两部分的长分别为12和20．
①当点D在AB上时，
AD＝20﹣10﹣6＝4，
所以点D的坐标为（6，4）．
②当点D在OA上时，
OD＝12﹣10＝2，
综上所述，所以点D的坐标为（2，0）．
40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．
（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝1；
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；＝．
证明：如图2，延长GP交DC于点H，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP＝∠HDP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP＝HP，GF＝HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，
∴CG＝CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC＝∠BEF＝60°，
∴∠GCP＝60°，
∴＝；
（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．
证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，
连接CH，CG，DH，
∵P是线段DF的中点，
∴FP＝DP，
∵∠GPF＝∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，
∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，
∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，
∴∠GBC＝120°，
∵四边形BEFG是菱形，
∴GF＝GB，
∴HD＝GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，
∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，
即∠HCG＝120°
∵CH＝CG，PH＝PG，
∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，
∴＝．即PG＝PC．
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