八年级数学下册专题10一次函数几何压轴(十九种题型)(原卷版+解析)

这是一份八年级数学下册专题10一次函数几何压轴(十九种题型)(原卷版+解析)，共119页。
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
模型8：一次函数存在等角求动点坐标
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
模型11：一次函数过定点问题
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
模型13：一次函数与动点线段比例问题
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标
【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积
【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：
①知底求高、转化线段；
②图形割补、面积和差；
③平行交轨、等积变换。
【技巧点睛3】处理线段问题
（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；
（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
【技巧点睛4】角度问题
（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。
（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。
【技巧点睛5】最值问题
（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；
（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型
【技巧点睛6】特殊三角形存在问题
等腰三角形存在性问题
1、找点方法：
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B
构成以 A 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B
构成以 B 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三
角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
2、求点方法：
直角三角形存在性问题
若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。
【技巧点睛6】四边形存在问题
1．坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等：
（2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合．
以上两条可统一为：
总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等
方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意
模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）
【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证：△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．
【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）求直线l1的解析式；
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标；
【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
【变式1】如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；
②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐标；
④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．
【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．
（1）求直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．
（1）求k，m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；
（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
（1）求OC的长；
（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线AC的解析式；
（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．
（1）BC的长为 5 ，OD的长为 ；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求证：△OAB是直角三角形；
（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．
（1）求m、n的值；
（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；
【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m的值；
（2）点D是直线l1上一动点．
①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；
②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
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模型8：一次函数存在等角求动点坐标
【典例8】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直接写出A、B、C的坐标：A（ ﹣4，0 ）、B（ 0，2 ）、C（ 4，0 ）；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；
②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【变式1】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【变式2】如图①，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y轴对称．
（1）求BC的长．
（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；
（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若 DE＝2，求点M的坐标；
（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．
【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
模型11：一次函数过定点问题
【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数y＝mx﹣（3m+2）的图象过定点（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．
（1）该函数图象经过定点 ．
（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是 ．
【变式1】（2023春•都昌县期中）对于一次函数y＝kx﹣k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 ．
【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是 ．
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
【典例12】（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于点A、B两点，直线CP与直线AB相交于点P（﹣，a），交x轴于点C，且△PAC的面积为．
（1）则A点的坐标为 ；a＝ ；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点D是线段AB上一动点，过点D作DE∥x轴交直线PC于点E，若DE＝2，求点D的坐标．
模型13：一次函数与动点线段比例问题
【典例13】（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，9），且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是 ；
（2）求一次函数的函数解析式；
（3）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，求点M的坐标．
【变式1】（2023秋•淮安期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数y＝kx+b的图象经过点B，并与x轴交于点C（3，0），点D是直线AB上的一个动点．
（1）k＝ ，b＝ ；
（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线BC于点F．若，求点D的坐标；
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标
【典例14】如图，直线l1：y＝k1x+b与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，3），直线l2：y＝k2x与直线l1相交于点C（，n）．
（1）求直线l1和l2的解析式；
（2）求△BCO的面积；
（3）点M为y轴上的一动点，连接MA，MC．当MA+MC的值最小时，则点M的坐标是 ．
【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，点D在直线l1上，且点D的横坐标为3．直线l2经过点C（1，0），D两点，与y轴交于点E．
（1）求点D的坐标和直线l2的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P使得PB+PD的值最小，最小值为多少？
【变式2】如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b经过点C（﹣1，0），D，与直线AB交于点E．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）连接BC，求△BCE的面积；
（3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
【典例15】（2020春•海淀区校级期末）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣，0）且与x轴相交夹角为30°，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（ ）
A．（，2）B．（1，）C．（，3）D．（2，）
【变式1】（2023•涧西区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝x﹣5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y＝x﹣5上运动．当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（ 0，﹣4）
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
【典例16】如图，直线l1过点A（0，2）、B（2，0），直线l1和直线l2交于点C（3，a），直线l2与y轴交于点D（0，﹣7）．
（1）求直线l1和直线l2对应的函数解析式；
（2）直线l1上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；
（3）y轴上有一动点M，直线l2上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标．
【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．
（1）求OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为 平行四边形 ；
（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式1】（2023春•离石区期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C（0，1），连接AC，直线l1l2交于点D，且点D的横坐标为．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．
（1）直接写出直线CD的解析式；
（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
【典例18】已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求直线CD的解析表达式；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【变式2】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标．
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标
【典例19】（2023秋•顺德区月考）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A（0，5），B（10，0）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O，B重合），过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求点E的坐标．
【变式1】（2023春•郧阳区期末）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，△ABC面积为11．
（1）求出点C的坐标；
（2）如图1，过点C的直线CD交y轴于点D，若∠OCD＝∠OBC，求点D的坐标；
（3）如图2，F为线段AB的中点，点G在y轴上，以FG为边，向右作正方形FGQP，点Q落在直线BC上，求点G的坐标．
【变式2】（2023春•天桥区期末）已知一次函数的图象y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点A，点B，与直线y＝x交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，在平面内是否存在点F，使四边形APEF是正方形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，说明理由．
专题10 一次函数几何压轴（十九种题型）
模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
模型8：一次函数存在等角求动点坐标
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
模型11：一次函数过定点问题
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
模型13：一次函数与动点线段比例问题
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标
【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积
【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径：
①知底求高、转化线段；
②图形割补、面积和差；
③平行交轨、等积变换。
【技巧点睛3】处理线段问题
（1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）；
（2）线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。
【技巧点睛4】角度问题
（1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。
（2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点。
【技巧点睛5】最值问题
（1）求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑；
（2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型
【技巧点睛6】特殊三角形存在问题
等腰三角形存在性问题
1、找点方法：
①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B
构成以 A 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆，
此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B
构成以 B 为顶点的等腰三角形
（原理：圆上半径相等）
③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三
角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
2、求点方法：
直角三角形存在性问题
若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。
【技巧点睛6】四边形存在问题
1．坐标系中的平行四边形：

（1）对边平行且相等：
（2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合．
以上两条可统一为：
总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等
方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意
模型1：一次函数求三角形面积问题（铅锤法）
【典例1】在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC放在第一象限，斜靠在两条坐标轴上，∠ACB＝90°，且A（0，4），点C（2，0），BE⊥x轴于点E，一次函数y＝x+b经过点B，交y轴于点D．
（1）求证：△AOC≌△CEB；
（2）求△ABD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形
∴∠ACB＝90°，AC＝BC
∴∠ACO+∠BCE＝90°
BE⊥CE，∴∠BCE+∠CBE＝90°
∴∠ACO＝∠CBE
∴△AOC≌△CEB
（2）解：∵△AOC≌△CEB
∴BE＝OC＝2，CE＝OA＝4
∴点B的坐标为（6，2）
又一次函数y＝x+b经过点B（6，2）
∴2＝6+b
∴b＝﹣4
∴点D的坐标为（0，﹣4）
∴|AD|＝4+4＝8
在△ABD中，AD边上高的长度就是B点纵坐标的绝对值．
∴S△ABD＝×8×6＝24
∴△ABD的面积为24．
【变式1】（2023秋•开江县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．
（1）求直线l1的解析式；
（2）设P（2，m），求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；
【答案】（1）y＝﹣x+1；
（2）当m时，S＝2m﹣1；当m＜时，S＝1﹣2m；
【解答】解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），
∴0＝4k+1．
∴k＝﹣．
∴直线l1：y＝﹣x+1；
（2）由得：．
∴D（2，）．
∵P（2，m），
∴PD＝|m﹣|．
∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．
当m时，S＝2m﹣1；
当m＜时，S＝1﹣2m；
模型2：一次函数已知面积求动点坐标
【典例2】如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点A（﹣1，0），B（0，2），过点C（2，0）作x轴的垂线，与直线AB交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）点E是线段CD上一动点，直线BE与x轴交于点F．若△BDF的面积为8，求点F的坐标；
【答案】（1）（2，6）；
\（2）F（﹣5，0）或（3，0）．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（0，2），
∴直线AB的解析式为y＝2x+2，
∵CD⊥x轴，
∴点D的横坐标为2，
∴y＝6，
∴点D的坐标为：（2，6）；
（2）设F（m，0）有两种情况；
①当F在C点右侧时，
∵D（2，6），A（﹣1，0），B（0，2），DC⊥x轴．
∴S△ADF＝AF•DC＝（m+1）×6＝3（m+1），S△ABF＝AF•OB＝（m+1）×2＝m+l．
∵S△BDF＝8，
∴S△ADF＝S△ABF+S△DBF，即：3（m+1）＝m+1+8
∴m＝3．
∴F（3，0）；
②当F点在C点左侧时，
∵点A（﹣1，0），B（0，2），C（2，0），D（2，6）．
∴S△ADF＝AF×CD＝（﹣1﹣m）×6＝﹣3﹣3m，S△ABF＝AF×OB＝（﹣1﹣m）×2﹣＝﹣1﹣m，
∴S△BDF＝S△ADF﹣S△ABF＝8，
∴﹣（﹣3﹣3m）﹣（﹣1﹣m）＝8，解得：m＝﹣5，
∴F（﹣5，0）；
综上所述：F（﹣5，0）或（3，0）．
【变式1】如图①，直线y＝kx+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与直线y＝﹣2x交于点C（a，﹣4）．
（1）求点C的坐标及直线AB的表达式；
（2）点P在y轴上，若△PBC的面积为6，求点P的坐标；
【答案】（1）C（2，﹣4）；y＝2x﹣8；
（2）点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
【解答】解：（1）∵点C（a，﹣4）在直线y＝﹣2x上，
∴﹣2a＝﹣4，
解得a＝2，
∴C（2，﹣4），
将A（4，0），C（2，﹣4）代入直线y＝kx+b，得：
，
解得，
∴直线AB的解析式为：y＝2x﹣8；
（2）设点P的坐标为（0，p），
∵直线AB的解析式为：y＝2x﹣8，
∴B（0，﹣8），
∴BP＝|p+8|，
∵△PBC的面积为6，C（2，﹣4），
∴S△PBC＝×2|p+8|＝6，
∴p＝﹣2或﹣14，
∴点P的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣14）；
模型3：一次函数已知面积相等求动点坐标
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
【答案】（1）y＝x+2；
（2）点P坐标为（4，4）或（﹣，）；
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到，
解得，
∴直线l的表达式为y＝x+2；
（2）如图1，
∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
∴OB＝2，OC＝2，
设P（p，p+2），
∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，
S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，
∴点P坐标为（4，4）或（﹣，）；
【变式1】如图，直线l1的解析式为y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0）、B（3，），直线l1、l2交于点C．
（1）求直线l2的解析式；
（2）求△ADC的面积；
（3）试问：在直线l2上是否存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线l2的解析式是y＝kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线l2的解析式是y＝x﹣6；
（2）在y＝﹣3x+3中，令y＝0，解得：x＝1．
则D的坐标是（1，0）．
根据题意得：，
解得：，
则C的坐标是（2，﹣3），
则AD＝4﹣1＝3，
S△ADC＝AD×3＝；
（3）点P的纵坐标是3，把y＝3代入y＝x﹣6，得x＝6．
则P的坐标是（6，3）．
【变式2】（2023秋•东港市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝kx+b的图象交y轴于点A（0，3），交x轴于点B（﹣4，0）．（1）求直线AB的函数表达式；
（2）直线a垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线a上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为m．
①利用图1位置，用含m的代数式表示△ABP的面积S；
②当△ABP的面积为7时，求点P的坐标；
③在②的条件下，在y轴上找到点Q，使得△ABQ与△ABP面积相等，求出点Q的坐标；
④连接OP，与AB交于点H，当△AOH与△PBH的面积相等时，请直接写出点P坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）①2m﹣3；
②（﹣2，5）；
③Q ，
④P（﹣2，3）．
【解答】解：（1）设直线AB的表达式为 y＝kx+3，
∵直线过点B（﹣4，0），
∴0＝﹣4k+3，
解得：，
∴直线AB的表达式为：y＝；
（2）①过点P作PH⊥y轴，垂足为H，
∵直线a垂直平分OB，B（﹣4，0），
∴点E的坐标为（﹣2，0），
∵点P是直线a上一动点，点P的纵坐标为m，
∴点P的坐标为（﹣2，m），
S梯形PBOH﹣S△AOB﹣S△PHA＝
＝3m﹣6﹣m+3
＝2m﹣3；
②2m﹣3＝7，
∴m＝5，
∴此时点P的坐标为（﹣2，5）；
③设点Q的坐标为（0，q），
当点Q在点A的上方时，
，
解得：，
此时点Q的坐标为 ；
当点Q在点A的下方时，
，
解得：，
此时点Q的坐标为 ，
∴点Q的坐标为 ，
④∵△AOH与△PBH的面积相等，
∴S△ADH+S△PHA＝S△PHB+S△PHA，
∴S△PAB＝S△PAO，
∴底均为AP，高相同，面积相同，
∴P（﹣2，3）．
【变式3】如图，直线l与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，点P（0，a）为y轴上一个动点．
（1）求直线l的表达式；
（2）求出△ABC的面积；
（3）当△ABC与△ABP面积相等时，求实数a的值．
【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）；
（3）a＝或a＝﹣．
【解答】解：（1）设直线AB所在的表达式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
故直线l的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AB2＝OA2+OB2＝32+22＝13，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴S△ABC＝AB2＝；
（3）①当P在y轴正半轴时，P点为：（0，a），如图1所示：
S△ABP＝AO•BP＝，
∵AO＝3，
∴BP＝，
∵B（0，2），
∴a﹣2＝，
∴a＝．
②）①当P在y轴负半轴时，如图2所示：
S△ABP＝S△ABO+S△APO＝，
∵S△ABO＝3，
∴S△APO＝﹣3＝，
即有：×AO×PO＝，
∴PO＝，
∵P在y轴负半轴，
∴a＝﹣．
综上：a＝或a＝﹣．
模型4：一次函数存在等腰三角形求动点坐标
【典例4】如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．
（1）求k，m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P在x轴上，当△PBC为等腰三角形时，直接写出此时点P的坐标．
【答案】（1）k＝﹣1，m＝﹣2；
（2）9；
（3）（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．
【解答】解：（1）将B（﹣1，4）代入y＝kx+3，可得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+3．
将A（5，m）代入y＝﹣x+3，可得m＝﹣2；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），即CO＝3，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝×3×4+×3×2＝9；
（3）①如图所示，当CB＝CP1＝4时，OP1＝﹣3，
∴P1（3﹣，0）；
②如图所示，当CB＝CP2＝4时，OP2＝+3，
∴P2（3+，0）；
③如图所示，当CB＝BP3时，CP3＝2CD＝8，
∴OP3＝8﹣3＝5，
∴P3（﹣5，0）；
④如图所示，当BP4＝CP4时，△BCP4是等腰直角三角形，
∴CP4＝BP4＝4，
∴OP4＝4﹣3＝1，
∴P4（﹣1，0）．
综上所述，当△PBC为等腰三角形时，点P的坐标为（3﹣，0），（3+，0），（﹣5，0），（﹣1，0）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，且经过点C（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若点A关于y轴的对称点A'，求△A′BC的面积；
（3）在x轴上，是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m＝2；
（2）S△A′BC＝4；
（3）存在，点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）．
【解答】解：（1）一次函数y＝kx+4的图象与x轴交于A（2，0），
∴2k+4＝0，解得k＝﹣2，
∴一次函数y＝﹣2x+4，
∵一次函数y＝kx+4的图象经过点C（1，m）．
∴m＝﹣2+4＝2；
（2）∵点A关于y轴的对称点A'，A（2，0），
∴A′（﹣2，0），
∵一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于A（2，0），B两点，
∴点B坐标为（0，4），
∵m＝2，
∴点C（1，2）．
∴S△A′BC＝S△A′BA﹣S△A′AC＝×4×（2+2）﹣×4×2＝4；
（3）存在点P，使△PAB为等腰三角形，
设P（p，0），
∵点A（2，0），B（0，4），
∴AB2＝22+42＝20，
AP2＝（p﹣2）2，
BP2＝p2+42＝p2+16，
当AB＝AP时，
（p﹣2）2＝20，解得p＝2±2，
∴点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）；
当AP＝BP时，
（p﹣2）2＝p2+16，解得p＝﹣3，
∴点P的坐标为（﹣3，0）；
当AB＝BP时，
p2+16＝20，解得p＝﹣2或2（舍去），
∴点P的坐标为（﹣2，0）；
综上所述：点P的坐标为（2+2，0）或（2﹣2，0）或（﹣3，0）或（﹣2，0）
【变式2】如图，直线的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，AB的垂直平分线l与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC．
（1）求OC的长；
（2）若点E在x轴上，且△BED的面积为10，求点E的坐标；
（3）已知y轴上有一点P，若以点B、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4；令y＝0，得x＝8；所以直线与两轴交点分别为A（8，0），B（0，4）．
∵CD垂直平分AB；
∴CA＝CB．
设C（m，0），在Rt△OBC中，根据勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，即：
t2+42＝（8﹣t）2 解得：t＝3；
∴OC＝|3﹣0|＝3．
（2）设点E（m，0），则EA＝|8﹣m|；
∵D为AB的中点；
∴；
A、E在x轴上，OB⊥AE，；
再依题意：；
解得：m＝﹣2或18．
∴点E坐标为：（﹣2，0），（18，0）．
（3）P在y轴上，设P（0，p）．分别以B、C、P为等腰三角形的顶点，分三种情况：
①B为顶点，BP＝BC，由（1）得BC＝8﹣3＝5；
∴|p﹣4|＝5，解得：P＝﹣1或9．
②C为顶点，BC＝PC，
又∵∠BOC＝∠POC＝90°，OC＝OC，
∴△BOC≌△POC（HL）．
∴PO＝BO＝4，即p＝﹣4．
③P为顶点，PB＝PC，在Rt△OPC中，根据勾股定理得：
OP2+OC2＝PC2，即：
p2+32＝（4﹣p）2．
解得：．
综上：满足条件的P点坐标为：（0，），（0，﹣4），（0，﹣1），（0，9）．
模型5：一次函数存在直角三角形求动点坐标
【典例5】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OB上有一点C，点B关于直线AC的对称点B'在x轴上．
（1）求△AOB的面积；
（2）求直线AC的解析式；
（3）点P是直线AC上一点，当△ABP为直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）S△AOB＝6；
（2）直线AC的解析式为y＝x+；
（3）点P的坐标为（1，2）或（2，）．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令y＝0，则x+4＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝4，
∴点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴S△AOB＝×3×4＝6；
（2）连接BB′交AC于M，
∵点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴AB＝＝5，
∵点B、点B'关于直线AC对称，
∴AB′＝AB＝5，BM＝B′M，
∴B′（2，0），
∵B（0，4），
∴M（1，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+；
（3）∵点P是直线AC上一点，直线AC的解析式为y＝x+，
设P（p，p+），
∵点A（﹣3，0），点B（0，4），
∴AB2＝32+42＝25，
PA2＝（p+3）2+（p+）2＝p2+p+，
PB2＝p2+（p+﹣4）2＝p2﹣p+，
①当P为直角顶点时，AB2＝PA2+PB2，
∴p2+p++p2﹣p+＝25，
解得p＝1或﹣3（舍去），
∴点P的坐标为（1，2）；
②当A为直角顶点时，AB2+PA2＝PB2，
∴p2+p++25＝p2﹣p+，
解得p＝﹣3（舍去），
∴此种情况不存在；
③当B为直角顶点时，AB2+PB2＝PA2，
∴p2+p+＝p2﹣p++25，
解得p＝2，
∴点P的坐标为（2，）；
综上，点P的坐标为（1，2）或（2，）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（0，2），D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且OC＝5OA，连接BC，CD，已知S△ADC＝2S△ABC．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在x轴上是否存在一点M，使得△BCM是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝2x+2；
（2）△ADC的面积为12；
（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，满足条件的点M的坐标为（0，0）或（，0）．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝kx+b得：
，
解得：，
∴直线AB的表达式y＝2x+2；
（2）∵OC＝5OA，A（﹣1，0），
∴OC＝5，
∴AC＝OC+OA＝5+＝6，
∵B（0，2），
∴OB＝2，
∴S△ABC＝6×2×＝6，
∵S△ADC＝2S△ABC，
∴S△ADC＝6×2＝12；
∴△ADC的面积为12；
（3）在x轴上存在一点M，使得△BCM是直角三角形，理由如下：
∵OB＝2，OC＝5，
∴BC2＝22+52＝29，
△ABM是直角三角形，分两种情况：
①当∠BMC＝90°时，由图象可知点M的坐标为（0，0）；
②当∠CBM＝90°时，设M（m，0），
而B（0，2），C（5，0），
∴BM2＝m2+22，CM2＝（5﹣m）2，
∵BC2+BM2＝CM2，
∴29+m2+4＝（5﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述，满足条件的点M的坐标为（0，0）或（，0）．
模型6：一次函数存在全等三角形求动点坐标
【典例6】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过AB中点D的直线CD交x轴于点C，且经过第一象限的点E（6，4）．
（1）求A，B两点的坐标及直线CD的函数表达式；
（2）连接BE，求△DBE的面积；
（3）连接DO，在坐标平面内找一点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与△COD全等，请直接写出点F的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）一次函数y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝4，
∴A（0，4），B（4，0），
∵D是AB的中点，
∴D（2，2），
设直线CD的函数表达式为y＝kx+b，则
，解得，
∴直线CD的函数表达式为y＝x+1；
（2）y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝2＝4＝6，
∴△DBE的面积＝△BCE的面积﹣△BCD的面积＝×6×（4﹣2）＝6；
（3）如图所示，当点F在第一象限时，点F与点D重合，即点F的坐标为（2，2）；
当点F在第二象限时，点F的坐标为（﹣4，2）；
当点F在第三象限时，点F的坐标为（﹣4，﹣2）；
当点F在第四象限时，点F的坐标为（2，﹣2）．
【变式1】（2023秋•碑林区校级期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（﹣3，0），连结BC，过点O作OD⊥AB于点D，点Q为线段BC上一个动点．
（1）BC的长为 5 ，OD的长为 ；
（2）在线段BO上是否存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）5，；
（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝3，
∴A（3，0），B（0，4），
∵C（﹣3，0），
∴BC＝＝5；AB＝＝5；
∵OD⊥AB，
∴2S△AOB＝OA•OB＝AB•OD，
∴OD＝＝＝；
故答案为：5，；
（2）在线段BO上存在一点P，使得△BPQ与△OAD全等，理由如下：
∵OD⊥AB，
∴∠OBD＝90°﹣∠BOD＝∠DOA，
∵A（3，0），C（﹣3，0），
∴A，C关于y轴对称，
∴∠CBO＝∠OBD，
∴∠CBO＝∠DOA，
要使△BPQ与△OAD全等，只需夹∠CBO，∠DOA的两边对应相等即可；
当BQ＝OA，BP＝OD时，如图：
由（1）知，OD＝，
∴BP＝OD＝，
∴OP＝OB﹣BP＝4﹣＝，
由B（0，4），C（﹣3，0）可得直线BC解析式为y＝x+4，
在y＝x+4中，令y＝得x＝﹣，
∴Q（﹣，），
由Q（﹣，），B（0，4）得BQ＝＝3，
此时BQ＝OA＝3符合题意；
∴Q的坐标为（﹣，）；
当BP＝OA＝3，BQ＝OD＝时，如图：
设Q（m，m+4），
∵BQ＝，
∴＝，
解得m＝﹣（正值已舍去）；
∴Q（﹣，），
综上所述，Q的坐标为（﹣，）或（﹣，）．
模型7：一次函数存在45°求动点坐标
【典例7】如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m和b的值；
（2）求证：△OAB是直角三角形；
（3）直线l1上是否存在点D，使得∠ODB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m的值为2，b的值为；
（2）见解析；
（3）存在．点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．
【解答】（1）解：∵点B（3，m）在直线l2：y＝x上，
∴m＝×3＝2，即m的值为2，
∴点B（3，2），
将点B（3，2）代入直线l1：y＝﹣x+b得2＝﹣×3+b，
∴b＝；
（2）证明：∵b＝，
∴直线l1：y＝﹣x+，
∴A（0，），
∵B（3，2），
∴OM＝3，BM＝4．
∴OB2＝32+22＝13，
AB2＝32+（﹣2）2＝，
OA2＝（）2＝，
∵OB2+AB2＝OA2，
∴∠OBA＝90°，
∴△OAB是直角三角形；
（3）解：存在．如图，
∵∠ODB＝45°，∠OBA＝90°．
∴BD＝OB＝＝，
∵点D是直线l1：y＝﹣x+上一动点，
设D（n，﹣n+），
则BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣2）2＝13，
解得n＝1或5，
∴点D的坐标为（1，5）或（5，﹣1）．
【变式1】已知，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（m，0），B（0，n），m、n满足m2+n2+2m﹣4n+5＝0，点P是坐标平面内任意一点．
（1）求m、n的值；
（2）如图1，若点P在y轴上，当∠BPA＝45°时，求点P的坐标；
【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；
（2）点P的坐标为（0，﹣1）；
【解答】解：（1）∵m2+n2+2m﹣4n+5＝0，
∴m2+2m+1+n2﹣4n+4＝0
（m+1）2+（n﹣2）2＝0，
∴m+1＝0，n﹣2＝0，
∴m＝﹣1，n＝2；
（2）∵m＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点P在y轴上，∠BPA＝45°，
∴OP＝OA＝1，
∴点P的坐标为（0，﹣1）；
【变式2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与直线交于点B（3，m）．
（1）求m的值；
（2）点D是直线l1上一动点．
①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；
②是否存在点D，使得∠DOB＝45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）m的值为4；
（2）①直线OD的表达式为y＝x；
②存在．点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．
【解答】解：（1）∵点B（3，m）在直线l2：y＝x上，
∴m＝×3＝4，即m的值为4；
（2）①∵m＝4，
∴B（3，4），
∵直线l1：y＝﹣x+b经过点B（3，4），
∴﹣×3+b＝4，
∴b＝，
∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x+；
令y＝0，则0＝﹣x+，解得x＝，
∴A（，0），
如图2，过点B作BM⊥OA，垂足为点M，过D作DN⊥OA，垂足为点N，
∴∠BMO＝∠AMB＝90°．
∵B（3，4），
∴OM＝3，BM＝4．
∴OB＝＝5，
∴AM＝OA﹣OM＝，
在Rt△AMB中，
AB＝＝，
∵OB2+AB2＝52+（）2＝＝（）2＝OA2，
∴∠OBA＝90°．
∴AB⊥OB，
∵OD平分∠AOB，
∴∠BOD＝∠NOD，DB＝DN，
∵OD＝OD，
∴Rt△ODN≌Rt△ODB（HL）．
∴ON＝OB＝5．
在直线l1：y＝﹣x+上，令x＝5，得y＝，
∴D（5，），
设直线OD的函数表达式为y＝kx．
把D（5，）代入，得k＝．
∴直线OD的表达式为y＝x；
②存在．如图3，
∵∠DOB＝45°，∠OBA＝90°．
∴BD＝OB＝5，
∵点D是直线l1：y＝﹣x+上一动点，
设D（n，﹣n+），
∴BD2＝（n﹣3）2+（﹣n+﹣4）2＝25，解得n＝7或﹣1，
∴点D的坐标为（7，1）或（﹣1，7）．
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模型8：一次函数存在等角求动点坐标
【典例8】如图，已知函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）直接写出A、B、C的坐标：A（ ﹣4，0 ）、B（ 0，2 ）、C（ 4，0 ）；
（2）求直线AB的函数解析式；
（3）设点M是x轴上的负半轴一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为2，求点Q的坐标；
②点M在线段AO上运动的过程中，连接BM，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．
【答案】（1）﹣4，0；0，2；4，0；
（2）；
（3）①Q（﹣2，3）；
②．
【解答】解：（1）对于，
令x＝0，得y＝2，则B的坐标为B（0，2），
令y＝0，得x＝4，则C的坐标为C（4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴A的坐标为A（﹣4，0），
故答案为：﹣4，0；0，2；4，0；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣4，0），B（0，2）代入得：
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为；
（3）①由题意，设M（m，0），其中m＜0，则OM＝﹣m，
∵直线BC的解析式为：；直线AB的解析式为：；
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：m＝﹣2（舍去正值），
将m＝﹣2代入直线BC的解析式，得y＝3，
∴点Q的坐标为Q（﹣2，3）；
②如图所示，由（1）知：A（﹣4，0），B（0，2），C（4，0），
∵点M在线段AO上运动，
∴设M（x，0），其中﹣4≤x≤0，
∴BM2＝x2+4，MC2＝（4﹣x）2，BC2＝20，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴∠BMP＝∠BAC＝∠ACB，
∵MP∥y轴，
∴∠PMC＝90°，
∴∠BMP+∠BMC＝∠ACB+∠BMC＝90°，
∴当∠BMP＝∠BAC时，∠MBC＝90°，
∴MB2+BC2＝CM2
∴x2+4+20＝（4﹣x）2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入直线AB的解析式，得，
∴点P的坐标为．
【变式1】如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；
②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）对于y＝x+3，
由x＝0得：y＝3，
∴B（0，3）．
由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴A（﹣6，0），
∵点C与点A关于y轴对称．
∴C（6，0）
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；
（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），
过点B作BD⊥PQ与点D，
则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，
故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；
②如图2，当点M在y轴的左侧时，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵∠BMP＝∠BAC，
∴∠BMP＝∠BCA，
∵∠BMP+∠BMC＝90°，
∴∠BMC+∠BCA＝90°
∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，
∴BM2+BC2＝MC2，
设M（x，0），则P（x，x+3），
∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，
∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，
∴P（﹣，），
如图2，当点M在y轴的右侧时，
同理可得P（，），
综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．
【变式2】如图①，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C点A关于y轴对称．
（1）求BC的长．
（2）设点M是x轴上一动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为，求点M的坐标．
②连接BM，如图②，若∠BMP＝∠BAC．直接写出点P的坐标．
【答案】（1）3；
（2）①点M的坐标为：（，0）；②点P的坐标为：（﹣，）或（，）．
【解答】解：（1）对于y＝x+3，当x＝0，y＝3，
令y＝x+3＝0，则x＝﹣6，
即点A、B的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，3），
则点C（6，0），
由点B、C的坐标得，BC＝＝3；
（2）①由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点M（m，﹣m+3），点P（m，m+3），
则PQ＝|m|，
则△PQB的面积＝PQ×|m|＝m2＝，
解得：m＝，
即点M的坐标为：（，0）；
②∵∠BMP＝∠BAC，∠PBM＝∠MBA，
∴△PBM∽△MBA，
则MB2＝AB•PM，
由①中的点A、B、M、P的坐标得，BM2＝m2+9，PB＝|m|，AB＝BC＝3，
则m2+9＝|m|×3，
解得：m＝（不合题意的值已舍去），
即点P的坐标为：（﹣，）或（，）．
模型9：一次函数存在2倍角求动点坐标
【典例9】（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．
（1）求出直线l2的函数表达式；
（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；
（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．
【答案】（1）y＝2x﹣4；
（2）点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由见解析．
【解答】解：（1）y＝x+2，令y＝0，则0＝x+2得，x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
∴OA＝4，
∵OA＝2OB，
∴OB＝2，
∴B（2，0），
设直线l2的函数表达式为：y＝kx+b，
将D（0，﹣4）、B（2，0）分别代入y＝kx+b得：
，解得，
∴直线l2的函数表达式为：y＝2x﹣4；
（2）∵点C是直线l1和l2的交点，
∴，解得，
∴C（4，4），
∵A（﹣4，0），B（2，0），
∴AB＝6．
∴△ABC的面积为：×AB×yC＝×6×4＝12，
∵S△ABC＝2S△BCE，
∴S△BCE＝6，
设E（m，0），
∴S△BCE＝×4×|m﹣2|＝6，
∴m＝﹣1或5，
∴点E的坐标为（﹣1，0）或（5，0）；
（3）△BCF是等腰直角三角形，理由如下：
设直线l1：y＝x+2与y轴相交于点N，过点C作CM∥x轴，
∴∠MCA＝∠CAO，CM⊥y轴，N（0，2），
∵∠ACF＝2∠CAO，
∴∠MCA＝∠MCF＝∠CAO，
∵A（﹣4，0），C（4，4），
∴OA＝MC＝4，
∵∠CMF＝AON，
∴△AON≌△CMF（ASA），
∴MF＝ON＝2，
∴F（0，6），
∴CF2＝42+（6﹣4）2＝20，
CB2＝42+（4﹣2）2＝20，
FB2＝22+62＝40，
∴CF2+CB2＝FB2，CF＝CB，
∴△BCF是等腰直角三角形．
模型10：一次函数存在等腰直角三角形求动点坐标
【典例10】（2023秋•新都区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
（1）求直线l的表达式；
（2）点P是直线l上一动点，且△BOP和△COP的面积相等，求点P坐标；
（3）在平面内是否存在点Q，使得△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+2；
（2）点P坐标为（4，4）或（﹣，）；
（3）存在，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．
【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A、B两点坐标代入得到，
解得，
∴直线l的表达式为y＝x+2；
（2）如图1，
∵点A（﹣4，0），点B（0，2），已知点C（﹣2，0）．
∴OB＝2，OC＝2，
设P（p，p+2），
∴S△BOP＝×2×|p|＝|p|，
S△COP＝×2×|p+2|＝|p+2|．
∵△BOP和△COP的面积相等，
∴|p+2|＝|p|，解得p＝4或﹣，
∴点P坐标为（4，4）或（﹣，）；
（3）∵△ABQ是以AB为底的等腰直角三角形，
∴∠AQB＝90°，AQ＝BQ，
设Q（m，n），
分两种情形：
①点Q在AB上方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，
∴∠ANQ＝∠QMB＝90°，∠AQN+∠BQM＝∠AQN+∠QAN＝90°，
∴∠QAN＝∠BQM，
∵AQ＝BQ，
∴△ANQ≌△QMB（AAS），
∴AN＝MQ＝﹣m＝n，NQ＝MB＝n﹣2，
∵点A（﹣4，0），
∴MN＝MQ+NQ＝n+n﹣2＝4，
∴n＝3，m＝﹣3，
∴点Q的坐标为（﹣3，3）；
②点Q在AB下方时，过点Q作QM⊥y轴于M，过点A作AN⊥QM于N，
同理得△ANQ≌△QMB（AAS），
∴AN＝MQ＝﹣m＝﹣n，NQ＝MB＝2﹣n，
∵点A（﹣4，0），
∴MN＝MQ+NQ＝﹣n+2﹣n＝4，
∴n＝﹣1，m＝﹣1，
∴点Q的坐标为（﹣1，﹣1）；
综上所述，点Q的坐标为（﹣3，3）或（﹣1，﹣1）．
【变式1】（2023秋•成华区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与直线l2：交于点C，点C的横坐标为2．
（1）求直线l1的解析式；
（2）在x轴上取点M，过点M作x轴的垂线交直线l1于点D，交直线l2于点E．若 DE＝2，求点M的坐标；
（2）在第二象限内，是否存在点Q，使得△QAB为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x+3；
（2）M的坐标为（，0）或（，0）；
（3）Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．
【解答】解：（1）在y＝x中，令x＝2得y＝，
∴C（2，）；
设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（2，）代入得：
，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝x+3；
（2）如图：
设M（m，0），则D（m，m+3），E（m，m），
∵DE＝2，
∴|m+3﹣m|＝2，
∴3﹣m＝2或3﹣m＝﹣2，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，0）或（，0）；
（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，
∴B（0，3），
①当B为直角顶点时，过B作BH⊥y轴于H，如图：
∵△QAB为等腰直角三角形，
∴AB＝QB，∠QBA＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠QBH＝∠BQH，
∵∠AOB＝90°＝∠QHB，
∴△ABO≌△BQH（AAS），
∴OA＝BH＝4，OB＝QH＝3，
∴OH＝OB+BH＝7，
∴Q的坐标为（﹣3，7）；
②当A为直角顶点时，过Q作QT⊥x轴于T，如图：
同理可得△AQT≌△BAO（AAS），
∴AT＝OB＝3，QT＝OA＝4，
∴OT＝OA+AT＝7，
∴Q的坐标为（﹣7，4）；
③当Q为直角顶点时，过Q作WG⊥y轴于G，过A作AW⊥WG于W，如图：
同理可得△AQW≌△QBG（AAS），
∴AW＝QG，QW＝BG，
设Q（p，q），
∴，
解得，
∴Q的坐标为（﹣，）；
综上所述，Q的坐标为（﹣3，7）或（﹣7，4）或（﹣，）．
【变式2】（2023秋•温江区期末）如图1，直线AB的解析式为y＝kx+3，D点坐标为（4，0），点O关于直线AB的对称点C在直线AD上．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图2，在x轴上是否存在点F，使S△ABF＝2S△ABC，若存在求出F点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P是直线AB上方第一象限内的动点．如图3，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】（1）直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点F的坐标为或；
（3）点P的坐标为或或．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝kx+3，得y＝3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵D（4，0），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝5，
∵点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，
∴OA＝AC＝3，OB＝BC，
∴CD＝AD﹣AC＝2，
设OB＝BC＝a，则BD＝4﹣a，
在Rt△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2，
∴（4﹣a）2＝a2+22，
解得，
∴点B的坐标为，
把B代入y＝kx+3，得，
解得k＝﹣2，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+3；
（2）点O关于直线AB的对称点C在直线AD上，得AO＝AC，OB＝CB，
∴△AOB≌△ACB（SSS），
∴，
由题得，
∵S△ABF＝2S△ABC，
∴BF＝2×，
解得BF＝3，
∵B，
∴点F的坐标为或；
（3）①若∠PAB＝90°，AP＝AB，
过点P作PM⊥y轴，垂足为M，
∵∠MAP+∠APM＝90°，∠MAP+∠BAO＝90°，
∴∠APM＝∠BAO，
∵∠PMA＝∠AOB＝90°，PA＝AB，
∴△APM≌△BAO（AAS），
∴PM＝OA＝3，AM＝OB＝，
∴点P的坐标为；
②若∠ABP＝90°，BA＝BP，
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠PBM＝90°，
∴∠BAO＝∠PBM，
∵∠AOB＝∠BMP＝90°，BA＝BP，
∴△AOB≌△BMP（AAS），
∴BM＝OA＝3，PM＝OB＝，
∴点P的坐标为；
③若∠APB＝90°，PA＝PB，
过点P作直线垂直x轴，交x轴于N，过点A作AM⊥PN，垂足为M，
设点P的坐标为（m，n），
∵∠APM+∠PAM＝90°，∠APM+∠BPN＝90°，
∴∠PAM＝∠BPN，
∵∠AMP＝∠PNB＝90°，PA＝PB，
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴AM＝PN，PM＝BN，
即，
解得，
∴点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或．
【变式3】（2023秋•榆次区期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，一次函数y＝﹣x+b的图象经过点B，并与x轴交于点C．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在平面内是否存在点P，使得△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；
（2）；
（3）存在，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣3，
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝x﹣3＝0时，则x＝6，
即点A、B的坐标分别为：（6，0）、（0，﹣3）；
（2）将点B的坐标代入y＝﹣x+b得：﹣3＝b，
则BC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
则点C（﹣3，0）；
则△ABC的面积＝AC×OB＝9×3＝；
（3）存在，理由：
过点P作PQ⊥y轴于点Q，
∵△PAB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，
则∠PBA＝90°，BP＝BA，
∴∠ABO+∠PBQ＝90°，
∵∠PBQ+∠BPQ＝90°，
∴∠ABO＝∠BPQ＝90°，
∵∠AOB＝∠BQP＝90°，BP＝BA，
∴△AOB≌△BQP（AAS），
∴BQ＝OA＝6，PQ＝OB＝3，
∴点P（3，﹣9）；
当点P（P′）在AB上方时，
则点B是PP的中点，
则点P′（﹣3，3），
综上，点P的坐标为：（3，﹣9）或（﹣3，3）．
综上所述，若以B，C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，m＝6或4或3．
模型11：一次函数过定点问题
【典例11】（2023春•仓山区校级期末）无论m取任何非零实数，一次函数y＝mx﹣（3m+2）的图象过定点（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（﹣3，﹣2）
【答案】B
【解答】解：∵y＝mx﹣（3m+2），
整理得：3m+2＝mx﹣y，
要想这个式子恒成立，那么mx＝3m，﹣y＝2，
∴x＝3，y＝﹣2．
故选：B．
2．（2023秋•庐阳区期末）已知函数y＝（k﹣3）x+k．
（1）该函数图象经过定点 （﹣1，3） ．
（2）如果直线y＝（k﹣3）x+k不经过第三象限，则k的范围是 0≤k＜3 ．
【答案】（1）（﹣1，3）；
（2）0≤k＜3．
【解答】解：（1）∵y＝（k﹣3）x+k＝k（x+1）﹣3x，
∴该函数过定点（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
（2）∵一次函数y＝（k﹣3）x+k的图象不经过第三象限，
∴，
解得0≤k＜3，
故答案为：0≤k＜3．
【变式1】（2023春•都昌县期中）对于一次函数y＝kx﹣k+4的图象，无论k为何值，都过一个定点，则这个点的坐标是 （1，4） ．
【答案】（1，4）．
【解答】解：y＝kx﹣k+4＝（x﹣1）k+4，
当x﹣1＝0，即x＝1时，无论k为何值，y的值都为4，
因此这个点的坐标是（1，4）．
故答案为：（1，4）．
【变式2】（2023春•枣阳市期中）一次函数y＝﹣3x+mx﹣m的图象经过定点A，则点A的坐标是 （1，﹣3） ．
【答案】（1，﹣3）．
【解答】解：y＝﹣3x+mx﹣m＝m（x﹣1）﹣3x，
当x＝1时，y＝﹣3，
因此该函数的图象一定经过点（1，﹣3），
即点A的坐标是（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
模型12：一次函数与线段结合求动点问题
【典例12】（2023秋•蜀山区校级期中）如图，直线y＝﹣x+3与坐标轴交于点A、B两点，直线CP与直线AB相交于点P（﹣，a），交x轴于点C，且△PAC的面积为．
（1）则A点的坐标为 （3，0） ；a＝ ；
（2）求直线PC的解析式；
（3）若点D是线段AB上一动点，过点D作DE∥x轴交直线PC于点E，若DE＝2，求点D的坐标．
【答案】（1）（3，0）；；
（2）y＝2x+4；
（3）点D的坐标为（1，2）．
【解答】解：（1）当x＝﹣时，a＝﹣x+3＝，
当y＝0时，﹣x+3＝0，解得：x＝3，
∴点A的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）；；
（2）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图：
由（1）得：PH＝，
∴S△PAC＝AC•PH＝，即וAC＝，
∴AC＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝2，
∴点C的坐标为（﹣2，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点P （﹣，）、C（﹣2，0）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线PC的解析式为y＝2x+4；
（3）如图：
设点D的坐标为（t，﹣t+3），
∵DE∥x轴交直线PC于点E，DE＝2，
∴点E的坐标为（t﹣2，﹣t+3），
代入直线PC的解析式为y＝2x+4得，2（t﹣2）+4＝﹣t+3，
解得t＝1，
∴点D的坐标为（1，2）．
模型13：一次函数与动点线段比例问题
【典例13】（2023春•崂山区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，9），且与x轴相交点B，与y轴交于点D，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1．
（1）不等式kx+b﹣3x＜0的解集是 x＞1 ；
（2）求一次函数的函数解析式；
（3）M为直线AB上一点，过点M作y轴的平行线交y＝3x于点N，当MN＝2OD时，求点M的坐标．
【答案】（1）x＞1；
（2）y＝﹣2x+5；
（3）点M的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，7）．
【解答】解：（1）由图象可得x＞1时，直线y＝kx+b落在直线y＝3x下方，即kx+b＜3x，
∴kx+b﹣3x＜0的解集为x＞1．
故答案为：x＞1；
（2）把x＝1代入y＝3x，得y＝3，
点C坐标为（1，3），
把（1，3），（﹣2，9）代入y＝kx+b，
得，
解得：，
∴一次函数的函数解析式为y＝﹣2x+5；
（3）设M（m，﹣2m+5），则N（m，3m），
∴MN＝|3m﹣（﹣2m+5）|＝|5m﹣5|，
在y＝﹣2x+5中，令x＝0，得y＝5，
∴D（0，5），
∴OD＝5，
∵MN＝2OD，
∴|5m﹣5|＝5×2，
解得：m＝3或﹣1，
∴点M的坐标为（3，﹣1）或（﹣1，7）．
【变式1】（2023秋•淮安期末）如图1，平面直角坐标系中，一次函数y＝x+1的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数y＝kx+b的图象经过点B，并与x轴交于点C（3，0），点D是直线AB上的一个动点．
（1）k＝ ﹣ ，b＝ 1 ；
（2）如图2，当点D在第一象限时，过点D作y轴的垂线，垂足为点E，交直线BC于点F．若，求点D的坐标；
【答案】（1）﹣，1；
（2）点D的坐标为（，）；
【解答】解：（1）在y＝x+1中，令x＝0得y＝1，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
把B（0，1），C（3，0）代入y＝kx+b得：，
解得，
故答案为：﹣，1；
（2）∵k＝﹣，b＝1，
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y＝﹣x+1，
∵A（﹣1，0），C（3，0），
∴AC＝4，
设D（m，m+1），则F（﹣3m，m+1），
∴DF＝m+3m＝4m，
∵DF＝AC＝2，
∴4m＝2，
∴m＝，
∴点D的坐标为（，）；
模型14：一次函数存在线段和最小值求动点坐标
【典例14】如图，直线l1：y＝k1x+b与x轴，y轴分别交于点A（﹣3，0），B（0，3），直线l2：y＝k2x与直线l1相交于点C（，n）．
（1）求直线l1和l2的解析式；
（2）求△BCO的面积；
（3）点M为y轴上的一动点，连接MA，MC．当MA+MC的值最小时，则点M的坐标是 （0，） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）A（﹣3，0），B（0，3）代入y＝k1x+b得：
，解得，
∴直线l1的解析式为：y＝x+3，
C（，n）代入y＝x+3得：
n＝﹣+3＝，
∴C（﹣，），
C（﹣，）代入y＝k2x得：
＝﹣•k2，解得k2＝﹣3，
∴直线l2的解析式为：y＝﹣3x；
（2）∵B（0，3），
∴OB＝3，
而C（﹣，），
∴△BCO的面积S△BCO＝OB•|xC|＝×3×＝；
（3）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C，交y轴于M′，连接AM，如图：
∵A关于y轴的对称点A′，
∴MA＝A′M，
MA+MC的值最小即是A′M+MC的值最小，
此时A′、M、C共线，即M与M′重合，
∵A（﹣3，0），A关于y轴的对称点A′，
∴A′（3，0），
而C（﹣，），
设A′C解析式为y＝mx+t，则，
解得：，
∴A′C解析式为y＝﹣x+，
令x＝0得y＝，
∴M′（0，），即MA+MC的值最小时，则点M的坐标是（0，），
故答案为：（0，）．
【变式1】平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，点D在直线l1上，且点D的横坐标为3．直线l2经过点C（1，0），D两点，与y轴交于点E．
（1）求点D的坐标和直线l2的函数表达式；
（2）在x轴上找一点P使得PB+PD的值最小，最小值为多少？
【答案】（1）点D的坐标为（3，4），直线l2的函数表达式为y＝2x﹣2；
（2）点P的坐标为（），PB+PD的值最小值为；
【解答】解：（1）将x＝3代入y＝x+1得，
y＝3+1＝4，
所以点D的坐标为（3，4）．
令直线l2的函数解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线l2的函数表达式为y＝2x﹣2．
（2）作点B关于x轴的对称点B′，
连接B′D，与x轴的交点即为PB+PD取得最小值时点P的位置，
将x＝0代入y＝x+1得，
y＝1，
所以点B的坐标为（0，1），
则点B′的坐标为（0，﹣1）．
令直线B′D的函数表达式为y＝mx+n，
则，
解得，
所以直线B′D的函数表达式为y＝，
令y＝0得，
，
解得x＝，
所以点P的坐标为（）．
由B′，D两点坐标可得，
B′D＝，
所以PB+PD的值最小值为．
【变式2】如图，直线AB：y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线CD：y＝kx+b经过点C（﹣1，0），D，与直线AB交于点E．
（1）求直线CD的函数关系式；
（2）连接BC，求△BCE的面积；
（3）设点Q的坐标为（m，2），求m的值使得QA+QE值最小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线CD解析式为y＝kx+b，
把C（﹣1，0），D（0，）代入得：，
解得：k＝b＝，
则直线CD解析式为y＝x+；
（2）对于直线y＝﹣x+2，
令x＝0，得到y＝2，令y＝0，得到x＝2，即A（2，0），B（0，2），
∴OB＝OA＝2，AC＝OA+OC＝2+1＝3，
∴S△ABC＝×2×3＝3，
联立得：，
解得：，即E（，），
∴S△ACE＝×3×＝，
则S△BCE＝S△ABC﹣S△ACE＝3﹣＝；
（3）作出A关于y＝2的对称点A′，连接A′E，与y＝2交于点Q，此时AQ+EQ最小，
可得A′（2，4），
设直线A′E解析式为y＝px+q，
把A′与E坐标代入得：，
解得：，即直线A′E解析式为y＝x﹣，
把（m，2）代入得：2＝m﹣，
解得：m＝．
模型15：一次函数求点到直线距离最小值问题
【典例15】（2020春•海淀区校级期末）已知直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣，0）且与x轴相交夹角为30°，P为直线l上的动点，A（，0）、B（3，0）为x轴上两点，当PA+PB时取到最小值时P点坐标为（ ）
A．（，2）B．（1，）C．（，3）D．（2，）
【答案】A
【解答】解：如图，∵直线l：y＝kx+b（k＞0）过点（﹣，0）且与x轴相交夹角为30°，
∴OM＝，
∴ON＝OM＝1，MN＝＝2，
∴直线l为y＝x+1，
∵OM＝OA＝，
∴AN＝MN＝2，
过A点作直线l的垂线，交y轴于A′，则∠OAA′＝60°，
∴OA′＝OA＝3，
∴A′N＝2，
∴A′N＝AN，
∵A′A⊥直线l，
∴直线l平分AA′，
∴A′是点A关于直线l的对称点，
连接A′B，交直线l于P，此时PA+PB＝A′B，PA+PB时取到最小值，
∵OA′＝3，
∴A′（0，3），
设直线A′B的解析式为y＝mx+n，
把A′（0，3），B（3，0）代入得，解得，
∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+3
由解得，
∴P点的坐标为（，2），
故选：A．
【变式1】（2023•涧西区一模）如图，点A的坐标为（﹣2，0），直线y＝x﹣5与x轴交于点B，与y轴交于点C，点D在直线y＝x﹣5上运动．当线段AD取得最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（，）B．（2，﹣2）C．（1，﹣）D．（ 0，﹣4）
【答案】A
【解答】解：对于直线y＝x﹣5，
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，即B（5，0），OB＝5，
当x＝0时，y＝﹣5，即C（0，﹣5），OC＝5，
Rt△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
由垂线段最短可知，如图，当AD⊥BC时，线段AD最短，
则Rt△ABD是等腰直角三角形，
过点D作DE⊥轴于点E，
∴点E是AB的中点（等腰三角形的三线合一），
∴点E的坐标为E（，0），即为E（，0），
∴点D的横坐标为，
将x＝代入直线y＝x﹣5得：y＝﹣5＝﹣，则点D的坐标为（，﹣）．
故选：A．
模型16：一次函数存在平行四边形求动点坐标
【典例16】如图，直线l1过点A（0，2）、B（2，0），直线l1和直线l2交于点C（3，a），直线l2与y轴交于点D（0，﹣7）．
（1）求直线l1和直线l2对应的函数解析式；
（2）直线l1上有一动点P，使得△CDP的面积为12，求点P的坐标；
（3）y轴上有一动点M，直线l2上有一动点N，使以M、N、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求出点M的坐标．
【答案】（1）直线l1的函数解析式为y＝﹣x+2，直线l2对应的函数解析式为y＝2x﹣7；
（2）P的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）M的坐标为（0，5）或（0，﹣13）或（0，﹣1）．
【解答】解：（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx+b，把A（0，2）、B（2，0）代入得：
，
解得，
∴直线l1的函数解析式为y＝﹣x+2，
把C（3，a）代入y＝﹣x+2得：
a＝﹣3+2＝﹣1，
∴C（3，﹣1），
设直线l2对应的函数解析式为y＝k'x+b'，把C（3，﹣1），D（0，﹣7）代入得：
，
解得，
∴直线l2对应的函数解析式为y＝2x﹣7；
（2）当P在直线CD左侧时，如图；
∵A（0，2），C（3，﹣1），D（0，﹣7），
∴AD＝2﹣（﹣7）＝9，
∴S△ACD＝AD•xC＝×9×3＝，
∵S△PCD＝12，
∴S△APD＝﹣12＝，
∴×9•xP＝，
∴xP＝，
在y＝﹣x+2中，令x＝得y＝，
∴P的坐标为（，）；
当P在直线CD右侧时，如图：
同理可得S△APD＝S△ACD+S△PCD＝+12＝，
∴×9•xP＝，
∴xP＝，
在y＝﹣x+2中，令x＝得y＝﹣，
∴P的坐标为（，﹣）；
综上所述，P的坐标为（，）或（，﹣）；
（3）设M（0，m），N（n，2n﹣7），
又A（0，2）、B（2，0），
①若MN，AB为对角线，则MN，AB的中点重合，
∴，
解得，
∴M（0，5）；
②若MA，NB为对角线，则MA，NB的中点重合，
∴，
解得，
∴M（0，﹣13）；
③若MB，NA为对角线，则MB，NA的中点重合，
∴，
解得，
∴M（0，﹣1）；
综上所述，M的坐标为（0，5）或（0，﹣13）或（0，﹣1）．
【变式1】（2024春•崇川区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，线段OA，OC的长分别是m，n且满足，点D是线段OC上一点，将△AOD沿直线AE翻折，点O落在矩形的对角线AC上的点E处．
（1）求OD的长；
（2）求点E的坐标；
（3）DE所在直线与AB相交于点M，在x轴的正半轴上是否存在点N，使以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）OD＝3；
（2）点E的坐标为（4.8，2.4），
（3）存在，N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
【解答】解：（1）设OD＝x，
∵线段OA，OC的长分别是m，n且满足，
∴OA＝m＝6，OC＝n＝8，
由翻折的性质可得：OA＝AE＝6，OD＝DE＝x，DC＝8﹣OD＝8﹣x，
AC＝＝10，
可得：EC＝10﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：DE2+EC2＝DC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
可得：DE＝OD＝3；
（2）过E作EG⊥OC，
在Rt△DEC中，S△ACD＝DE•EC＝DC•EG，
即×3×4＝5•EG，
解得：EG＝2.4，
在Rt△DEG中，DG＝＝1.8，
所以点E的坐标为（4.8，2.4），
（3）存在，理由：
由点D、E的坐标得，DE的解析式为：y＝x﹣4，
把y＝6代入DE的解析式y＝x﹣4，可得：x＝7.5，
即AM＝7.5，
当以M、A、N、C为顶点的四边形是平行四边形时，
CN＝AM＝7.5，
所以ON＝8+7.5＝15.5，ON'＝8﹣7.5＝0.5，
即存在点N，且点N的坐标为（0.5，0）或（15.5，0）．
模型17：一次函数存在矩形求动点坐标
【典例17】（2023秋•开原市月考）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x+18的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A作直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的解析式；
（2）将△AMB沿着AM翻折，点B落在点B1处，连接OB1，则四边形AMB1O的形状为 平行四边形 ；
（3）若点H是直线AM上的动点，在坐标平面内是否存在这样的点Q，使以A、B、Q、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）平行四边形；
（3）存在，点Q的坐标为：（﹣，）或（﹣3，﹣3）．
【解答】解：（1）对于y＝2x+18，令x＝0，则y＝18，
令y＝2x+18＝0，则x＝﹣9，
即点A、B的坐标分别为：（﹣9，0）、（0，18），
∵点M为线段OB的中点，则点M（0，9），
设直线AM的表达式为：y＝kx+9，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣9k+9，则k＝1，
即直线AM的表达式为：y＝x+9；
（2）设点B1的坐标为：（x，y），
由题意得，B1M＝BM，AB＝AB1，
则，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点B1的坐标为：（9，9）；
由点A、M的坐标得，AM＝9＝OB1，
∵AO＝B1M＝9，
∴四边形AMB1O的形状为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（3）存在，理由：
设点Q（s，t）、点H（m，m+9），
由点AB的坐标得，AB2＝405，同理可得：AH2＝2（m+9）2，
当AB为对角线时，由中点坐标公式和AB＝QH得：
，解得：（不合题意的值已舍去），
即点Q的坐标为：（﹣，）；
当AQ是对角线时，由中点坐标公式和AQ＝BH得：
，解得：，
即点Q的坐标为：（﹣，）（舍去）；
当AH是对角线时，由中点坐标公式和AH＝BQ得：
，解得：，
即点Q的坐标为：（﹣3，﹣3），
综上，点Q的坐标为：（﹣，）或（﹣3，﹣3）．
【变式1】（2023春•离石区期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝2x﹣1与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：y＝kx+b与x轴，y轴分别交于点P，C（0，1），连接AC，直线l1l2交于点D，且点D的横坐标为．
（1）求直线l2的函数解析式；
（2）求△ACD的面积；
（3）若点E在直线l1上，F为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）S△ACD＝；
（3）存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，点F的坐标为或（1，﹣1）．
【解答】解：（1）∵点D在直线直线l1：y＝2x﹣1上，且点D的横坐标为，
∴yD＝＝，
∴D，
将点C（0，1），D代入直线l2：y＝kx+b中，得，
解得：，
∴直线l2的函数解析式为；
（2）在l1：y＝2x﹣1中，令y＝0，得0＝2x﹣1，
解得：x＝，
∴A，
在l2：中，令y＝0得，，
解得：x＝2，
∴P（2，0），
∴AP＝＝，
∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP，
∴S△ACD＝＝＝；
（3）存在以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，理由如下：
设E（m，2m﹣1），
∵直线l1：y＝2x﹣1与y轴分别交于点B，
∴B（0，﹣1），
∵C（0，1），
∴BC2＝4，
CE2＝（m﹣0）2+（2m﹣1﹣1）2＝5m2﹣8m+4，
BE2＝（m﹣0）2+[2m﹣1﹣（﹣1）]2＝5m2，
如图，当BC为对角线时，
∵以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，CE2+BE2＝BC2，
∴5m2﹣8m+4+5m2＝4，
解得：m1＝0（舍去），m2＝，
∴E，
∴F；
如图，当BC为边时，
∵以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形，
∴∠BCE＝90°，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，
∴4+5m2﹣8m+4＝5m2，
解得：m＝1，
∴E（1，1），
∴F（1，﹣1）．
综上，点F的坐标为或（1，﹣1）．
【变式2】（2023春•九龙坡区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD（点A与点C对应，点B与点D对应）．
（1）直接写出直线CD的解析式；
（2）点E为线段CD上一点，过点E作EF∥y轴交直线AB于点F，作EG∥x轴交直线AB于点G，当EF+EG＝AD时，求点E的坐标；
（3）如图2，若点M为线段AB的中点，点N为直线CD上一点，点P为坐标系内一点．且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程．
【答案】（1）y＝﹣x+2；
（2）点E的坐标为（，）；
（3）点N的坐标为（2，1）或（﹣，）或（0，2）．
【解答】解：（1）一次函数y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，4），即OA＝2，OB＝4，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴OC＝OA＝2，OD＝OB＝4，
∴C（0，2），D（4，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+2；
（2）设E（a，﹣a+2），则F（a，2a+4），
∵EG∥x轴，
∴点G的纵坐标为﹣a+2，
将y＝﹣a+2代入一次函数y＝2x+4得：2x+4＝﹣a+2，
∴x＝﹣a﹣1，即点G的横坐标为﹣a﹣1，
∴EF＝2a+4﹣（﹣a+2）＝a+2，EG＝a﹣（﹣a﹣1）＝a+1，
∵A（﹣2，0），D（4，0），
∴AD＝6，
∵EF+EG＝AD，
∴a+2+a+1＝6，
∴a＝，
∴点E的坐标为（，）；
（3）①OM为矩形的边时，如图，分别过点O、M作ON⊥OM交直线CD于N，作MN′⊥OM交直线CD于N′，在分别过点N、N′作NP⊥ON交直线MN′于P，作N′P′⊥MN′交直线ON于P′，则四边形MONP、四边形MN′P′O均为矩形，
∵A（﹣2，0），B（0，4），点M为线段AB的中点，
∴M（﹣1，2），OM＝AM＝BM＝AB，
∵将△AOB绕点O顺时针旋转90°得△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA＝OC＝2，∠OAB＝∠OCD，AB＝CD，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴ON＝OM，CN＝AM，
∴ON＝CN＝CD，
∴点N为线段CD的中点，
∵C（0，2），D（4，0），
∴N（2，1）；
设直线ON的解析式为y＝mx，则2m＝1，
∴m＝，
∴直线ON的解析式为y＝x，
∵MN′⊥OM，ON⊥OM，
∴MN′∥ON，
∴可设直线MN′的解析式为y＝x+n，
将M（﹣1，2）代入得，﹣+n＝2，
∴n＝，
∴直线MN′的解析式为y＝x+，
联立直线CDy＝﹣x+2得，
解得，
∴N′（﹣，）；
综上，OM为矩形的边时，点N的坐标为（2，1）或（﹣，）；
②OM为矩形的对角线时，如图，
∵M（﹣1，2），C（0，2），
∴MC⊥y轴，
∵四边形MNOP为矩形，
∴MN⊥y轴，
∴点N与点C重合，
∴N（0，2）．
综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为（2，1）或（﹣，）或（0，2）．
模型18：一次函数存在菱形求动点坐标
【典例18】已知：在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）如图1，点P为直线l1上的一个动点，若△PAC的面积等于9时，请求出点P的坐标；
（3）如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A1B1C1.请问在平面内是否存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设直线l2的解析式y＝kx+b，
∵直线l1：y＝﹣x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，
∴A（2，0），B（0，2），
∵直线l2经过点A，与y轴交于点C（0，﹣4），
∴，
∴，
∴直线l2的解析式：y＝2x﹣4；
（2）由题意可知，BC＝6，
设点P的横坐标为m，
∴S△PAC＝•|xA﹣xP|•BC＝|2﹣m|×6＝9，
∴m＝﹣1或m＝5．
∴P（﹣1，3）或P（5，﹣3）；
（3）设将△ABC沿着x轴平移t个单位长度得到△A1B1C1，
∴A1（2﹣t，0），
∴CC1＝t，A1C1＝AC＝2，
设D点坐标为（p，q），
①当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形边长时，有两种情况：
当CC1＝A1C1＝2时，即t＝2，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝A1C1＝2，
∴点D与点A重合，即D（2，0）．
当CC1＝A1C＝t时，
∵A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝t2，
解得t＝5，
此时CC1∥A1D，即点D在x轴上，
且A1D＝CC1＝5，
∴D（﹣8，0）．
②当CC1为以A1、C1、C、D为顶点的菱形对角线时，A1C1＝A1C＝2，即点A1在CC1的垂直平分线上，且A1，D关于CC1对称，
当△ABC向左一移动，A1（2﹣t，0），C（0，﹣4），C1（﹣t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2﹣t）2＝（2）2，
解得t＝4或t＝0（舍），
当△ABC向右移动时，A1（2+t，0），C（0，﹣4），C1（t，﹣4），
∴（﹣4）2+（2+t）2＝（2）2，
解得t＝﹣4（舍）或t＝0（舍），
∴A1（﹣2，0），
∴D（﹣2，﹣8）．
综上所述，存在点D，使得以A1、C1、C、D为顶点的四边形是菱形，点D的坐标为（2，0），（﹣8，0），（﹣2，﹣8）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB： 与直线CD：y＝kx﹣2相交于点M（4，a），分别交坐标轴于点A，B，C，D．
（1）求直线CD的解析表达式；
（2）如图，点P是直线CD上的一个动点，当△PBM的面积为20时，求点P的坐标；
（3）直线AB上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以BF为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）y＝x﹣2；
（2）点P（﹣4，﹣5）或（12，7）；
（3）点N的坐标为（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）或（﹣5，）．
【解答】解：（1）将点M的坐标代入y＝﹣x+3并解得：a＝1，
故点M（4，1），
将点M的坐标代入y＝kx﹣2，得4k﹣2＝1，
解得：k＝，
∴a＝1，k＝；
∴直线CD的表达式为：y＝x﹣2；
（2）由（1）得直线CD的表达式为：y＝x﹣2，
则点D（0，﹣2），
∴△PBM的面积＝S△BDM+S△BDP＝×BD×|xM﹣xP|＝×（3+2）|4﹣xP|＝20，
解得：xP＝﹣4或xP＝12，
故点P（﹣4，﹣5）或P（12，7）；
（3）设点F的坐标为（m，﹣m+3），点N（a，b），
由（1）知，点B、D的坐标分别为（0，3）、（0，﹣2），
则BD＝5，
当BD是边时，
当点F在点N的上方时，则BD＝BF，即52＝m2+（﹣m）2，
解得m＝±2，
则点F的坐标为（2，﹣+3）或（﹣2，+3）；
点N在点F的正下方5个单位，
则点N（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）；
当BD是对角线时，
同理可得，点N的坐标为（﹣5，）；
综上，点N的坐标为（2，﹣﹣2）或（﹣2，﹣2）或（﹣5，）．
【变式2】在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝﹣x+3交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）如图1，连接BC，求△BCD的面积；
（2）如图2，在直线y＝﹣x+3上存在点E，使得∠ABE＝45°，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接OE，过点E作CD的垂线交y轴于点F，点P在直线EF上，在平面中存在一点Q，使得以OE为一边，O，E，P，Q为顶点的四边形为菱形，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）11；
（2）点E（2，）；
（3）点Q的坐标为（，﹣）或（，2）或（﹣，﹣2）．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣3x﹣，令x＝0，则y＝﹣，故点B（0，﹣）；
对于y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，即﹣x+3＝0，解得：x＝4，故点D（0，3）、（4，0），
则BD＝3+＝，OC＝4，
△BCD的面积＝×BD×OC＝×4＝11；
（2）由题意，∠ABE＝45°，观察图象可知，点E只能直线在AB的右侧，过点E作BE的垂线交AB于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，
设点E（m，﹣m+3），点R（n，﹣3n﹣），
∵∠ABE＝45°，故ER＝EB，
∵∠REG+∠BEH＝90°，∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠REG＝∠EBH，
∵∠EHB＝∠RGE＝90°，EB＝ER，
∴△EHB≌△RGE（AAS），
∴RG＝EH，BH＝GE，
即m＝﹣3n﹣+m﹣3，﹣m+3+＝m﹣n，解得，
故点E（2，）；
（3）∵直线CD的表达式为y＝﹣x+3，
而CD⊥EF，则设直线EF的表达式为y＝x+b，
将点E的坐标代入上式并解得：b＝﹣，
故直线EF的表达式为y＝x﹣，
设点P（a，a﹣），点Q（s，t），
点O向右平移2个单位向上平移个单位得到E，
同样点P（Q）向右平移2个单位向上平移个单位得到Q（P），
当点P在点Q的下方时，
则a+2＝s且a﹣+＝t①，
OE＝OP，即22+（）2＝a2+（a﹣）2②，
联立①②并解得：a＝2或﹣，
故点Q的坐标为（，﹣）（不合题意的值已舍去）；
当点P在点Q的上方时，
同理可得，点Q的坐标为（，2）或（﹣，﹣2）．
综上，点Q的坐标为（，﹣）或（，2）或（﹣，﹣2）．
模型19：一次函数存在正方形求动点坐标
【典例19】（2023秋•顺德区月考）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A（0，5），B（10，0）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O，B重合），过点B作BF⊥AE，垂足为F，以EF为边作正方形EFMN，当点M落在坐标轴上时，求点E的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）E的坐标为（，0）或（5，0）．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象与坐标轴交于A（0，5），B（10，0）两点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）当点M在y轴上时，作FP⊥OB于P，FQ⊥OM于Q，如图：
∵四边形EFMN是正方形，
∴FE＝FM，∠EFM＝∠PFQ＝90°，
∴∠EFP＝∠MFQ，
∵∠FPE＝∠FQM＝90°，
∴△FPE≌△FQM（AAS），
∴FP＝FQ，四边形OPFQ是正方形，
设正方形OPFQ的边长为m，
∵∠AEO＝∠BEF，∠AOE＝∠BFE＝90°，
∴∠FAQ＝∠FBP，
∵∠AQF＝∠BPF＝90°，
∴△AQF≌△BPF（AAS），
∴AQ＝BP，
∴5+m＝10﹣m，
∴m＝2.5，
∴F（2.5，﹣2.5），
由A（0，5），F（2.5，﹣2.5）得直线AF的解析式为y＝﹣3x+5，
在y＝﹣3x+5中，令y＝0得x＝，
∴E（，0）；
当点M在x轴上时，如图：
此时M与B重合，∠MEF＝45°＝∠AEO，
∴OA＝OE＝5，可得E（5，0）．
综上所述，满足条件的E的坐标为（，0）或（5，0）．
【变式1】（2023春•郧阳区期末）直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，△ABC面积为11．
（1）求出点C的坐标；
（2）如图1，过点C的直线CD交y轴于点D，若∠OCD＝∠OBC，求点D的坐标；
（3）如图2，F为线段AB的中点，点G在y轴上，以FG为边，向右作正方形FGQP，点Q落在直线BC上，求点G的坐标．
【答案】（1）（，0）；
（2）D点坐标为（0，﹣）或（0，）；
（3）G点坐标为（0，）或（0，﹣5）；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵△ABC的面积为11，
∴AC×BO＝AC×4＝11，
∴AC＝，
∴C点坐标为（，0）；
（2）当D点在y轴负半轴时，
∵∠OCD＝∠OBC，
∴∠OCD+∠OCB＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴△BCD是直角三角形，
∴BC2+CD2＝BD2，
∵OC＝，OB＝4，
∴（16+）+（OD2+）＝（4+OD）2，
解得OD＝，
∴D（0，﹣）；
当D点关于x轴对称时，对称点为D'（0，），此时∠OCD＝∠OCD'，
∴D'（0，）；
综上所述：D点坐标为（0，）或（0，﹣）；
（3）∵F为线段AB的中点，
∴F（﹣1，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设G（0，n），
①当n＞2时，Q点落在BC上，如图2，
过点G作KH∥x轴，过点F作FK⊥KH交于K点，过点Q作QH⊥KH交于H点，
∵∠FGQ＝90°，
∴∠KGF+∠HBQ＝90°，
∵∠KFG+∠KGF＝90°，
∴∠HBQ＝∠KGF，
∵FG＝GQ，
∴△KGF≌△HQB（AAS），
∴KF＝BH＝n﹣2，KG＝HQ＝1，
∴Q（n﹣2，n﹣1），
∴n﹣1＝﹣（n﹣2）+4，
解得n＝，
∴G（0，）；
②当n＜2时，如图3，
过点G作MN∥x轴，过点F作FM⊥MN交于M点，过点Q作QN⊥MN交于点N，
同理可得△FMG≌△GNQ（AAS），
∴FM＝GN＝2﹣n，MG＝QN＝1，
∴Q（2﹣n，n+1），
∴n+1＝﹣（2﹣n）+4，
解得n＝﹣5，
∴G（0，﹣5）；
综上所述：G点坐标为（0，）或（0，﹣5）；
【变式2】（2023春•天桥区期末）已知一次函数的图象y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点A，点B，与直线y＝x交于点C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
（1）求点A，点B的坐标．
（2）若S△AOC＝S△BCP，求点P的坐标．
（3）若点E是直线y＝x上的一个动点，在平面内是否存在点F，使四边形APEF是正方形，若存在，请求出点E的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）点A（8，0），点B（0，6）．
（2）或．
（3）存在，或（16，20）．
【解答】解：（1）令x＝0，
解得y＝6，
令y＝0，
解得x＝8，
∴点A（8，0），点B（0，6）．
（2）联立，
解得，
∴C为，
∴，
∴，
解得，
∴P为或．
（3）存在．
设点，点P（n，6），
当四边形APEF是正方形时，∠EPA＝90°，
①点P在点E的左侧时，
如图，过P作MN⊥x轴于N，过E作EM⊥MN于M，
∴∠MEP+∠MPE＝90°，
∴∠NPA+∠MPE＝90°，
∴∠MEP＝∠NPA，
∵PE＝PA，∠M＝∠ANP＝90°
∴△EMP≌△PNA（AAS），
∴ME＝PN＝6，MP＝AN，
即，
∴m＝，m＝．
∴E为．
②当点P在点E的右侧时，
如图，同理可得△AMP≌△PNE（AAS），
∴NE＝PM＝6，NP＝AM，
即，
解得，
∴E为（16，20），
综上，或（16，20）．