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2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第01讲：规律问题 解析版
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这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第01讲：规律问题 解析版，共30页。
考点一：周期型
考点二：递推型
考点三：固定累加型
考点四：渐变累加型
【题型精讲】
题型一：周期型
1．（2023·黑龙江大庆·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
∴当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为，
…，
∵，
∴P的坐标是，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
2．（22-23九年级上·重庆大渡口·期中）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ）
A．7B．52C．154D．310
【答案】D
【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知：；
；
；
； ；
由上可知，是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．
3．（21-22九年级上·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（ ）
A．(﹣1，1)B．(，0)C．(﹣1，﹣1)D．(0，)
【答案】C
【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得：，
由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（－1，1），B2(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0）， B8（1，1），……，
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵2020=8×252+4，
∴点B2020与点B4重合，
∴点B2020的坐标为（－1，－1），
故选：C．
题型二：递推型
4．（2023·山东威海·一模）一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“◯”（ ）
A．2657B．2555C．2455D．1875
【答案】C
【分析】分析图形可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则第n个图形中小圆的个数为，据此求第50个图形有多少个“○”即可．
【详解】解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：个○，
第三个图形有：个○，
第四个图形有：个○，
由此可得第n个图形有：个○，
则可得第50个图形有个○，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
5．（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据（1，1），（3，2），（7，4），……，的横坐标为，的纵坐标为，再求解即可．
【详解】解：，即
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
的横坐标为，的纵坐标为，
的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关键．
6．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）小红在课下用叠的五角星排成如下的形状
若按照这种排法，则前10个图形中五角星的总个数为（ ）
A．145B．155C．165D．175
【答案】C
【分析】观察图形可知后面一个图形的五角星数量比前面一个图形的五角星数量多3，由此找到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形有个五角星，
第2个图形有个五角星，
第3个图形有个五角星，
第4个图形有个五角星，
…
∴第n个图形有个五角星，
∴前10个图形中五角星的总个数为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
题型三：固定累加型
7．（2022·山东济南·二模）2022年北京冬奥会中国队运动员微博、抖音账号累计收获超8 000万粉丝关注，谷爱凌抖音平台迅速圈粉，美兰德数据显示，其抖音粉丝量已突破1 800万人．数据1 800万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】1800万等于18 000 000，由，可得到结果.
【详解】.
故选：C.
【点睛】本题考查了用科学记数法表示数，应注意科学记数法的形式：。其中n等于原数的整数位数减1.
8．（20-21八年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，图③共有12个黑点…，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（ ）
A．21B．24C．27D．30
【答案】B
【分析】观察图形，找到图形中圆形个数的规律：第n个图形有3（n+1）个●，然后代入n＝7求解即可．
【详解】解：观察图形得：
第1个图形有3+3×1＝6个●，
第2个图形有3+3×2＝9个●，
第3个图形有3+3×3＝12个●，
…
第n个图形有3+3n＝3（n+1）个●，
当n＝7时，3×（7+1）＝24，
即第7个图形中●的个数为24，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大．
9．（21-22八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，
∵（1，1）在直线y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+，
设（，），（，），（，），…， （，），
则有 ，
，
…
，
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
题型四：渐变累加型
10．（22-23九年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的等式：……，按此规律（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数都与等式的序数有关，即：第个等式左边有个奇数，最后一个奇数为；等号的右边为序数的平方，即：．
【详解】解：规律为：
则中，
解得：
则等号右边为：
故选C
【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键．
11．（21-22九年级上·重庆·阶段练习）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（ ）
A．38B．52C．68D．86
【答案】C
【分析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解．
【详解】解：由题意知，
第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，
第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，
第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，
第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；
……；
∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可．
12．（20-21九年级上·重庆彭水·期末）如图，下列图案均是长度相同的小木棍按一定的规律拼搭而成：第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍……，依此规律，第个图案需（ ）根小木棍．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把8代入即可求出答案．
【详解】解：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，
第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，
第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，
…，
第n个图案需n（n+3）+3根火柴，
则第8个图案需：8×（8+3）+3=91（根）；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
【专题精练】
一、单选题
13．（2021九年级·全国·专题练习）下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（ ）
A．141B．106C．169D．150
【答案】A
【分析】本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑥个图形中棋子的颗数也就容易计算了．
【详解】解：
∵第①个图形中棋子的个数为： ＝1＋5×0；
第②个图形中棋子的个数为： ；
第③个图形中棋子的个数为：；
…
∴第个图形中棋子的个数为：；
则第⑧个图形中棋子的颗数为：
故应选A．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．
14．（2021九年级·全国·专题练习）观察下列等式：．解答下列问题：的末尾数字是 （ ）
A．0B．2C．3D．9
【答案】A
【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．
【详解】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
∴3=3，
3+9=12，
12+27=39，
39+81=120，
120+243=363，
363+729=1092，
1092+2187=3279，
...
通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环
∵2020÷4=505
∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0
故选A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．
15．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知有一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值．
【详解】解：∵，，，，
∴=＋＋＋=2
∵，，，
∴=＋＋＋
=2
=22
同理可得：=23
∴=2n
∵
∴
∴
∵29=512，210=1024，211=2048
∴
∴n=10
故选B．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
16．（2020·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，）B．
C．D．（2021，0）
【答案】B
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：
P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，
∴P4n＋1（，），P4n＋2（，0），P4n＋3（，﹣），P4n＋4（，0），
∵2021＝4×505＋1，
∴P2021为（，），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．
17．（21-22九年级上·河南南阳·期末）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(-1，1)D．(1，﹣1)
【答案】B
【分析】分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标
【详解】如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴点为的中点，
∴点为的中点，
∴，，
∵，
∴；
由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，
∴菱形绕点逆时针旋转周，
∴点绕点逆时针旋转周，
∵，
∴旋转60秒时点的坐标为．
故选B
【点睛】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
18．（2012·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．50B．64C．68D．72
【答案】D
【详解】解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有8个五角星，
第③个图形一共有18个五角星，
…，
则所以第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72；
故选：D．
19．（21-22九年级下·江苏淮安·开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使，
∴A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．
20．（21-22八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中方向排列，即，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案.
【详解】解：
，
观察发现：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标为：
而这些点为：第4个，第7个，第10个，
归纳得到第19个点的坐标为： 即
而这样的点的后面一个点是再沿轴正方向平移一个单位长度，
第20个点的坐标为：
故选：C
【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键.
21．（22-23七年级下·广东广州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，…，按这样的运动规律，第2023次从点运动到点后，此时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五运动到，第六次运动到，…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五运动到，第六次运动到，…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0；
∵，
∴经过第2023次运动后，动点P的纵坐标是1，
点P的坐标是
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
22．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可．
【详解】解：∵，
∴将代入得：，
∴，
∴
∴将代入得：，
∴，
∴,
∴将代入得：，
，
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键．
23．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．
【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，
∵当时，，
的坐标与的坐标相同，
如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵点在第三象限，
∴点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．
24．（20-21九年级下·河南平顶山·期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ ）
A．（）2018B．（）2019
C．（）2018D．（）2019
【答案】B
【分析】由黄金三角形的定义得BCAB，同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE看作第三个黄金三角形，则CDBC＝（）2，得出规律，即可得出结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即，
∴BCAB，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，
则CDBC＝（）2，
即第一个黄金三角形的腰长为1＝（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，…，
∴第2020个黄金三角形的腰长是（）2020﹣1，
即（）2019，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
二、填空题
25．（2019·浙江杭州·模拟预测）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品 张．
【答案】30
【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．
【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，
∴43枚图钉最多可以展示20张画；
②如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，
14-1=13（张），2×13=26（张），
∴43枚图钉最多可以展示26张画；
③如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，
10-1=9（张），3×9=27（张），
∴43枚图钉最多可以展示27张画；
④如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，
8-1=7（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
⑤如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，
7-1=6（张），5×6=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑥如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，
6-1=5（张），6×5=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑦如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，
5-1=4（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．
26．（2021九年级·全国·专题练习）已知：，， ，……，；则＝ ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】观察数据可知，，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．
【详解】解：观察数据可知：，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
27．（19-20九年级下·广东湛江·阶段练习）若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是的差倒数为，现已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推， 则 ．
【答案】
【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．
【详解】，
，
同理， ，
∴是这三个数的循环．
∵ ，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．
28．（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】∵点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的横坐标为：6，且，点的纵坐标为：2
∴的横坐标为：，点的纵坐标为：2
∴点的横坐标为：．
∴点的纵坐标为：2．
故点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标规律变换，解题关键是通过图形旋转，找到所有B点之间的关系．
29．（22-23九年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出，，，，，找到规律求解．
【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．
，，，，
，，，，
，，，，
，
，，，，
当时，即，解得，
横坐标为，纵坐标为，
则的坐标，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
30．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为 （用含有n的式子表示）．
【答案】
【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．
【详解】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
由题意得：A1B1//A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝ ，
又∵点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，
∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A1B1//A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为， ，
由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，
∴A2B2＝2，A3B3＝4， ，
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．
31．（2022·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【详解】解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律，根据部分点的坐标找到规律是解题关键，属于中考常考题型．
32．（2021·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先根据图形的变化得出OAn的变化规律，判断出点A2021的所在象限，再求出其坐标即可．
【详解】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动(次)，
而，
，
，
…，
(n为正整数)，
即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，
，
点的在第三象限的角平分线上，
∴，
设点A2021(x,x)，其中x<0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A2021的坐标是
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．
33．（2022九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．
【详解】∵直线l：yx与x轴交于点B，
令y=0，即yx=0，解得：x=−1
∴B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，过A1点作于 ，如图所示，
则，，
∴，
∴A1（，），
∵∥AB，
∴把y代入yx，求得x，
∴B1（，），
∴A1B1＝2，
过A2点作于 ，
∵△是等边三角形
则是的中点，且
∴C2点的横坐标为：，
∵，
∴A2（，），即A2（，），
∵A3B3∥AB，
∴把y代入yx，得x，
∴B2（，），
∴A2B2＝4，
过A3点作于 ，
∵△是等边三角形，
则是的中点，且
∴C3点的横坐标为：，
∵，
∴A3（，），
即A3（ ，），
一般地，An的纵坐标为，
∴点A2020的纵坐标是，
故答案为．
【点睛】本题是规律探索题，考查了一次函数的图象，等边三角形的性质，从特殊出发得到一般性结论是本题的关键．
考点一：周期型
考点二：递推型
考点三：固定累加型
考点四：渐变累加型
【题型精讲】
题型一：周期型
1．（2023·黑龙江大庆·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，，……成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2023秒时，点P的坐标是（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标．
【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为，
∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，
∴点P每秒走个半圆，
∴当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为，
当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为，
…，
∵，
∴P的坐标是，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．
2．（22-23九年级上·重庆大渡口·期中）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ）
A．7B．52C．154D．310
【答案】D
【分析】通过计算前面几步的数值可以得到整个游戏数字的出现规律，从而得到所求答案．
【详解】解：由题意知：；
；
；
； ；
由上可知，是按照52、154、310、 ，52、154、310三个数的组合重复出现的数列，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查整式中的数字类规律探索，通过阅读题目材料并归纳出数字出现规律是解题关键．
3．（21-22九年级上·广东阳江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A的坐标为(1，0)，那么点B2020的坐标为（ ）
A．(﹣1，1)B．(，0)C．(﹣1，﹣1)D．(0，)
【答案】C
【分析】根据正方形的性质和旋转性质可发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，据此解答即可求解．
【详解】解：连接OB，
∵四边形OABC是正方形，A的坐标为（1，0），
∴OA=AB=OC=BC=1，∠OAB=90°，∠AOB=45°，
∴B（1，1），
由勾股定理得：，
由旋转性质得：OB=OB1=OB2=OB3=…=，
∵将正方形OABC绕点O逆时针连续旋转45°，相当于将OB绕点O逆时针连续旋转45°，
∴依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，
∴B1（0，），B2（－1，1），B2(－，0)，B4（－1，－1），B5（0，－），B6（1，－1），B7（，0）， B8（1，1），……，
发现规律：点B旋转后对应的坐标8次一循环，
∵2020=8×252+4，
∴点B2020与点B4重合，
∴点B2020的坐标为（－1，－1），
故选：C．
题型二：递推型
4．（2023·山东威海·一模）一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“◯”（ ）
A．2657B．2555C．2455D．1875
【答案】C
【分析】分析图形可得：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则第n个图形中小圆的个数为，据此求第50个图形有多少个“○”即可．
【详解】解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：个○，
第三个图形有：个○，
第四个图形有：个○，
由此可得第n个图形有：个○，
则可得第50个图形有个○，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
5．（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）正方形，，，按如图所示的方式放置，点，，，和点，，，分别在直线和轴上，已知点（1，1），（3，2），则的坐标是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据（1，1），（3，2），（7，4），……，的横坐标为，的纵坐标为，再求解即可．
【详解】解：，即
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
的横坐标为，的纵坐标为，
的坐标是，
故选：C．
【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关键．
6．（22-23七年级上·安徽滁州·期中）小红在课下用叠的五角星排成如下的形状
若按照这种排法，则前10个图形中五角星的总个数为（ ）
A．145B．155C．165D．175
【答案】C
【分析】观察图形可知后面一个图形的五角星数量比前面一个图形的五角星数量多3，由此找到规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形有个五角星，
第2个图形有个五角星，
第3个图形有个五角星，
第4个图形有个五角星，
…
∴第n个图形有个五角星，
∴前10个图形中五角星的总个数为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了图形类的规律探索，正确理解题意找到图形之间的规律是解题的关键．
题型三：固定累加型
7．（2022·山东济南·二模）2022年北京冬奥会中国队运动员微博、抖音账号累计收获超8 000万粉丝关注，谷爱凌抖音平台迅速圈粉，美兰德数据显示，其抖音粉丝量已突破1 800万人．数据1 800万用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】1800万等于18 000 000，由，可得到结果.
【详解】.
故选：C.
【点睛】本题考查了用科学记数法表示数，应注意科学记数法的形式：。其中n等于原数的整数位数减1.
8．（20-21八年级下·重庆九龙坡·开学考试）如图，图形都是由形状、大小完全相同的“●”按一定规律所组成，其中图①共有6个黑点，图②共有9个黑点，图③共有12个黑点…，按此规律排列，则图⑦中黑点的个数为（ ）
A．21B．24C．27D．30
【答案】B
【分析】观察图形，找到图形中圆形个数的规律：第n个图形有3（n+1）个●，然后代入n＝7求解即可．
【详解】解：观察图形得：
第1个图形有3+3×1＝6个●，
第2个图形有3+3×2＝9个●，
第3个图形有3+3×3＝12个●，
…
第n个图形有3+3n＝3（n+1）个●，
当n＝7时，3×（7+1）＝24，
即第7个图形中●的个数为24，
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大．
9．（21-22八年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和，，，…分别在直线和x轴上．，，，…都是等腰直角三角形．如果点，那么点的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，，，…，坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作轴于，…
如图，
∵（1，1）在直线y＝x+b上，
∴b＝，
∴y＝x+，
设（，），（，），（，），…， （，），
则有 ，
，
…
，
又∵，，…都是等腰直角三角形，轴，轴，轴…，
∴，
，
…
∴，
，
…
，
将点坐标依次代入直线解析式得到：
，
，
，
…
，
又∵ ，
∴，
，
，
…
，
故选：A．
题型四：渐变累加型
10．（22-23九年级上·云南昆明·期末）按一定规律排列的等式：……，按此规律（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】通过观察可以看出：规律为一个等式，等号左边为连续奇数的和，且奇数的个数、最后一个奇数都与等式的序数有关，即：第个等式左边有个奇数，最后一个奇数为；等号的右边为序数的平方，即：．
【详解】解：规律为：
则中，
解得：
则等号右边为：
故选C
【点睛】本题主要考查了观察、归纳概括总结的能力，归纳出规律是解题的关键．
11．（21-22九年级上·重庆·阶段练习）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（ ）
A．38B．52C．68D．86
【答案】C
【分析】由题意易知第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；…..，由此问题可求解．
【详解】解：由题意知，
第①幅图中小圆的个数为2=2×1+2×0，
第②幅图中小圆的个数为8=2×3+2×1，
第③幅图小圆的个数为16=3×4+2×2，
第④幅图小圆的个数为26=4×5+2×3；
……；
∴第⑦幅图小圆的个数为7×8+2×6=68（个）；
故选C．
【点睛】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找到图形规律即可．
12．（20-21九年级上·重庆彭水·期末）如图，下列图案均是长度相同的小木棍按一定的规律拼搭而成：第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍，第个图案需根小木棍……，依此规律，第个图案需（ ）根小木棍．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把8代入即可求出答案．
【详解】解：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，
第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，
第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，
…，
第n个图案需n（n+3）+3根火柴，
则第8个图案需：8×（8+3）+3=91（根）；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．
【专题精练】
一、单选题
13．（2021九年级·全国·专题练习）下列图形是由同样大小的棋子按一定规律组成的，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（ ）
A．141B．106C．169D．150
【答案】A
【分析】本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑥个图形中棋子的颗数也就容易计算了．
【详解】解：
∵第①个图形中棋子的个数为： ＝1＋5×0；
第②个图形中棋子的个数为： ；
第③个图形中棋子的个数为：；
…
∴第个图形中棋子的个数为：；
则第⑧个图形中棋子的颗数为：
故应选A．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．
14．（2021九年级·全国·专题练习）观察下列等式：．解答下列问题：的末尾数字是 （ ）
A．0B．2C．3D．9
【答案】A
【分析】通过观察31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，对前面几个数相加，可以发现末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环，从而可以求得3+32+33+34+…+32020的末位数字是多少．
【详解】解：∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…，
∴3=3，
3+9=12，
12+27=39，
39+81=120，
120+243=363，
363+729=1092，
1092+2187=3279，
...
通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3，2，9，0，3，2，9，0，可知每四个为一个循环
∵2020÷4=505
∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0
故选A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．
15．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知有一个有序数组，按下列方式重新写成数组，使得，，，，接着按同样的方式重新写成数组，使得，，，，按照这个规律继续写下去，若有一个数组满足，则n的值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根据题意可得=2，=22，=23，从而可得=2n，代入不等式并化简可得，即可求出n的值．
【详解】解：∵，，，，
∴=＋＋＋=2
∵，，，
∴=＋＋＋
=2
=22
同理可得：=23
∴=2n
∵
∴
∴
∵29=512，210=1024，211=2048
∴
∴n=10
故选B．
【点睛】此题考查的是探索规律题，找出规律并归纳公式是解题关键．
16．（2020·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个半径为1个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为1个单位长度/秒，点在弧线上的速度为个单位长度/秒，则2021秒时，点P的坐标是（ ）
A．（2021，）B．
C．D．（2021，0）
【答案】B
【分析】设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，根据点P的运动规律找出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：设第n秒运动到Pn（n为自然数）点，
观察，发现规律：
P1（，），P2（1，0），P3（，﹣），P4（2，0），P5（，），…，
∴P4n＋1（，），P4n＋2（，0），P4n＋3（，﹣），P4n＋4（，0），
∵2021＝4×505＋1，
∴P2021为（，），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律．
17．（21-22九年级上·河南南阳·期末）如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．(1，1)B．(﹣1，﹣1)C．(-1，1)D．(1，﹣1)
【答案】B
【分析】分别过点和点作轴于点，作轴于点，根据菱形的性质以及中位线的性质求得点的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的D坐标
【详解】如图，分别过点和点作轴于点，作轴于点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴点为的中点，
∴点为的中点，
∴，，
∵，
∴；
由题意知菱形绕点逆时针旋转度数为：，
∴菱形绕点逆时针旋转周，
∴点绕点逆时针旋转周，
∵，
∴旋转60秒时点的坐标为．
故选B
【点睛】根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点D坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点D的坐标，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
18．（2012·重庆·中考真题）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（ ）
A．50B．64C．68D．72
【答案】D
【详解】解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有8个五角星，
第③个图形一共有18个五角星，
…，
则所以第⑥个图形中五角星的个数为2×62=72；
故选：D．
19．（21-22九年级下·江苏淮安·开学考试）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使．将 绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2022次旋转结束时，点的对应点落在反比例函数的图象上，则的值为
A．B．4C．D．6
【答案】C
【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．
【详解】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，
∵直线与轴、轴分别相交于点、，过点作，使，
∴A（-1，0），B（0，1），AB=，BC=，
∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，
∴DC=BD=2，
∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，
∴点C（-2，3），
第一次旋转的坐标为（3，2），第二次旋转坐标与点C关于原点对称为（2，-3），第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为（-3，-2），第四次回到起点，
∴循环节为4，
∴2022÷4=505…2，
∴第2022次变化后点的坐标为（2，-3），
∴k=-3×2=-6，
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．
20．（21-22八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中方向排列，即，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案.
【详解】解：
，
观察发现：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标为：
而这些点为：第4个，第7个，第10个，
归纳得到第19个点的坐标为： 即
而这样的点的后面一个点是再沿轴正方向平移一个单位长度，
第20个点的坐标为：
故选：C
【点睛】本题考查的是坐标规律的探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键.
21．（22-23七年级下·广东广州·期末）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第一次从原点O运动到点，第二次从点运动到点，第三次从点运动到点，…，按这样的运动规律，第2023次从点运动到点后，此时点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察图象，结合动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五运动到，第六次运动到，…，结合运动后的点的坐标特点，分别得出点P运动的纵坐标的规律，再根据循环规律可得答案．
【详解】解：观察图象，动点P第一次从原点O运动到点，第二次运动到点，第三次运动到，第四次运动到，第五运动到，第六次运动到，…，结合运动后的点的坐标特点，
可知由图象可得纵坐标每6次运动组成一个循环：1，0，，0，2，0；
∵，
∴经过第2023次运动后，动点P的纵坐标是1，
点P的坐标是
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型点的坐标，数形结合并从图象中发现循环规律是解题的关键．
22．（22-23九年级上·四川资阳·期末）如图，直线l的解析式为，点，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点；点为y轴上位于上方的一点，且，轴交直线l于点，按此规律，线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据解析式得出：，，，从而得出规律，再计算的长度即可．
【详解】解：∵，
∴将代入得：，
∴，
∴
∴将代入得：，
∴，
∴,
∴将代入得：，
，
∴
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键．
23．（22-23九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知正六边形循环了８次，由可知和的坐标相同，即可求出结果．
【详解】解：由题意可知：正六边形绕点O顺时针旋转一圈，旋转了8个，
∵当时，，
的坐标与的坐标相同，
如图所示：过点于点H，过点D作轴于点F，
，，
，
∴在中，，
，
∴在中，，
，
，，
又，在中
，，
，，
又∵点在第三象限，
∴点的坐标为，
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，坐标与图形的变化，解直角三角形，学会探究规律的方法，确定和是解决问题的关键．
24．（20-21九年级下·河南平顶山·期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ ）
A．（）2018B．（）2019
C．（）2018D．（）2019
【答案】B
【分析】由黄金三角形的定义得BCAB，同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE看作第三个黄金三角形，则CDBC＝（）2，得出规律，即可得出结论．
【详解】解：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即，
∴BCAB，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，
则CDBC＝（）2，
即第一个黄金三角形的腰长为1＝（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，…，
∴第2020个黄金三角形的腰长是（）2020﹣1，
即（）2019，
故选：B．
【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键．
二、填空题
25．（2019·浙江杭州·模拟预测）某班要在一面墙上同时展示数张形状、大小均相同的矩形绘画作品，将这些作品排成一个矩形（作品不完全重合）．现需要在每张作品的四个角落都钉上图钉，如果作品有角落相邻，那么相邻的角落共享一枚图钉（例如，用9枚图钉将4张作品钉在墙上，如图）．若有43枚图钉可供选用，则最多可以按照要求展示绘画作品 张．
【答案】30
【分析】分别找出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行的时候，43枚图钉最多可以展示的画的数量，比较后即可得出结论．
【详解】解：①如果所有的画展示成一行，43÷（1+1）=21……1，
∴43枚图钉最多可以展示20张画；
②如果所有的画展示成两行，43÷（2+1）=14……1，
14-1=13（张），2×13=26（张），
∴43枚图钉最多可以展示26张画；
③如果所有的画展示成三行，43÷（3+1）=10……3，
10-1=9（张），3×9=27（张），
∴43枚图钉最多可以展示27张画；
④如果所有的画展示成四行，43÷（4+1）=8……3，
8-1=7（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
⑤如果所有的画展示成五行，43÷（5+1）=7……1，
7-1=6（张），5×6=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑥如果所有的画展示成六行，43÷（6+1）=6……1，
6-1=5（张），6×5=30（张），
∴43枚图钉最多可以展示30张画；
⑦如果所有的画展示成七行，43÷（7+1）=5……3，
5-1=4（张），4×7=28（张），
∴43枚图钉最多可以展示28张画；
综上所述：43枚图钉最多可以展示30张画．
故答案为：30．
【点睛】本题考查了规律型中图形的变化类，观察图形，求出展示的绘画作品展示成一行、二行、三行、四行、五行、六行、七行时，最多可以展示的画的数量是解题的关键．
26．（2021九年级·全国·专题练习）已知：，， ，……，；则＝ ．（用含的代数式表示）
【答案】
【分析】观察数据可知，，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，再用2020除以3得出余数即可求解．
【详解】解：观察数据可知：，=1-t，=，，…，从第一项开始3个一循环，
∵2020÷3＝673…1，
∴＝．
故答案为：．
【点睛】考查了规律型：数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
27．（19-20九年级下·广东湛江·阶段练习）若是不等于的实数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是的差倒数为，现已知是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，···，依此类推， 则 ．
【答案】
【分析】根据差倒数的概念逐一计算，然后找到规律，利用规律即可解答．
【详解】，
，
同理， ，
∴是这三个数的循环．
∵ ，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查差倒数，理解差倒数的求法并找到规律是解题的关键．
28．（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、、…每偶数之间的B相差6个单位长度，根据这个规律可以求得的坐标．
【详解】∵点，，
∴，，
∴，
∴，
∴的横坐标为：6，且，点的纵坐标为：2
∴的横坐标为：，点的纵坐标为：2
∴点的横坐标为：．
∴点的纵坐标为：2．
故点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查点的坐标规律变换，解题关键是通过图形旋转，找到所有B点之间的关系．
29．（22-23九年级下·山东德州·阶段练习）如图所示，已知点，将长方形ABOC沿x轴正方向连续翻转2022次，点A依次落在点，，，……，的位置，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】先求出，，，，，找到规律求解．
【详解】解：由题意得：从A开始翻转，当旋转到，时，A回到矩形的起始位置，所以为一个循环，故坐标变换规律为次一循环．
，，，，
，，，，
，，，，
，
，，，，
当时，即，解得，
横坐标为，纵坐标为，
则的坐标，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换，解题关键是找到图形在旋转的过程中，点坐标变化规律进而求解．
30．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON＝30°，点A1在射线OM上，过点A1作A1B1⊥OM交射线ON于点B1，将△A1OB1沿A1B1折叠得到△A1A2B1，点A2落在射线OM上；过点A2作A2B2⊥OM交射线ON于点B2，将△A2OB2沿A2B2折叠得到△A2A3B2，点A2落在射线OM上；…按此作法进行下去，在∠MON内部作射线OH，分别与A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于点P1，P2，P3，…Pn，又分别与A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于点Q1，Q2，Q3，…，Qn．若点P1为线段A1B1的中点，OA1＝，则四边形AnPnQnAn＋1的面积为 （用含有n的式子表示）．
【答案】
【分析】先证明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又点P1为线段A1B1的中点，从而可得P2为线段A2B2的中点，同理可证P3、P4、Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．结合相似三角形的性质可得△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高为，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为⋯，从而＝﹣，以此类推来求，从而找到的面积规律．
【详解】解：由折叠可知，OA1＝A1A2＝，
由题意得：A1B1//A2B2，
∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，
∴＝＝＝ ，
又∵点P1为线段A1B1的中点，
∴A1P1＝P1B1，
∴A2P2＝P2B2，
则点P2为线段A2B2的中点，
同理可证，P3、P4、⋯Pn依次为线段A3B3、A4B4、⋯AnBn的中点．
∵A1B1//A2B2，
∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，
∴＝＝，
则△P1B1Q1的P1B1上的高与△P2A2O1的A2P2上的高之比为1∶2，
∴△P1B1Q1的P1B1上的高为，
同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高为， ，
由折叠可知A2A3＝，A3A4＝，
∵∠MON＝30°，
∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，
∴A2B2＝2，A3B3＝4， ，
∴＝﹣
＝﹣
＝，
同理，＝﹣
＝﹣
＝，
＝﹣
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．
31．（2022·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是 ．
【答案】
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点的坐标找出变化规律“，，，”，照此规律由2022=4×505+2代入求解即可．
【详解】解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的规律，根据部分点的坐标找到规律是解题关键，属于中考常考题型．
32．（2021·江苏徐州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴上，点在第一象限，且，以点为直角顶点，为一直角边作等腰直角三角形，再以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形依此规律，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】首先根据图形的变化得出OAn的变化规律，判断出点A2021的所在象限，再求出其坐标即可．
【详解】解：由已知，点A每次旋转转动45°，则转动一周需转动(次)，
而，
，
，
…，
(n为正整数)，
即每次转动点A到原点的距离变为转动前的倍，
，
点的在第三象限的角平分线上，
∴，
设点A2021(x,x)，其中x<0，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A2021的坐标是
【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意各个象限内点的坐标符号．
33．（2022九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：yx与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】先根据解析式求得B的坐标，即可求得AB＝1，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的纵坐标为，A2的纵坐标为，A3的纵坐标为，进而得到An的纵坐标为，据此可得点A2020的纵坐标．
【详解】∵直线l：yx与x轴交于点B，
令y=0，即yx=0，解得：x=−1
∴B（﹣1，0），
∴OB＝1，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴AB＝1，
∵△ABA1是等边三角形，过A1点作于 ，如图所示，
则，，
∴，
∴A1（，），
∵∥AB，
∴把y代入yx，求得x，
∴B1（，），
∴A1B1＝2，
过A2点作于 ，
∵△是等边三角形
则是的中点，且
∴C2点的横坐标为：，
∵，
∴A2（，），即A2（，），
∵A3B3∥AB，
∴把y代入yx，得x，
∴B2（，），
∴A2B2＝4，
过A3点作于 ，
∵△是等边三角形，
则是的中点，且
∴C3点的横坐标为：，
∵，
∴A3（，），
即A3（ ，），
一般地，An的纵坐标为，
∴点A2020的纵坐标是，
故答案为．
【点睛】本题是规律探索题，考查了一次函数的图象，等边三角形的性质，从特殊出发得到一般性结论是本题的关键．
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