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2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第05讲：圆的综合问题 原卷版
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这是一份2024届中考数学考前《终讲·终练·终卷》冲刺高分突破（全国通用）第05讲：圆的综合问题 原卷版，共16页。
考点一：垂径定理考点二：弧、弦、圆心角
考点三：点、线、圆的位置关系考点四：正多边形和圆
考点五：弧长和扇形面积考点六：圆内知识综合
考点七：圆与三角形的综合考点八：圆和四边形的综合
考点九：圆与函数的综合
【题型精讲】
题型一：垂径定理
1．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知内接于，是的直径，过点C作，垂足为E，交于点D，，，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·西藏日喀则·一模）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
题型二：弧、弦、圆心角
4．（2022·山东泰安·二模）如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东清远·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为直径，连结，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型三：点、线、圆的位置关系
7．（2024·福建·三模）如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·山东济宁·二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型四：正多边形和圆
10．（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．2
11．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A．B．C．D．
的大小为（ ）
A．B．C．D．
题型五：弧长和扇形面积
13．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·山东泰安·二模）如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C． D．
15．（2024·广东深圳·三模）如图，在矩形中，．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将绕点 E 顺时针旋转a，得到，使得恰好经过的中点交于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④，上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
题型六：圆内知识综合
16．（2023·广东阳江·一模）如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
17．（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．3B．2C．4D．4
18．（2021·浙江湖州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ）
A．B．C．D．
题型七：圆与三角形的综合
19．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结．
(1)求度数．
(2)求证：．
(3)令，若，求k的值．
20．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．
(1)求的度数；
(2)求线段的长；
(3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．
题型八：圆和四边形的综合
21．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；
(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
22．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
题型九：圆与函数的综合
23．（2022九年级·全国·专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值．
24．（2022九年级·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【专题精练】
一、单选题
25．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，是直径，是弦，，过点C作弦，E为垂足，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，弦，相交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．8
28．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A．B．C．D．
30．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．6B．7C．D．
31．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形内接于半径为3的中，点E为弧的中点，若，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
32．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
33．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）．
34．（2024·山西太原·二模）如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
35．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ．
36．（2024·甘肃平凉·二模）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）
37．（2024年江苏省常州市教科院中考二模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，平分，与过点A的的切线交于点D，与交于点F，与交于点E．记的面积为，的面积为，若，则 ．
38．（2024·湖北恩施·二模）如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
三、解答题
39．（2024年山东省济宁市北湖区九年级下学期三模数学试题）如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)①连接，求证：四边形是矩形；
②若，，求的半径．
40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，，，均在上，且经过圆心，过点作的切线，交的延长线于点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
41．（2024·湖南·三模）如图，是的直径，弦，垂足为H，过点C作直线分别与的延长线交于点E，F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，；求的长．
42．（2024·河北邢台·三模）如图1和图2，的半径为6，是直径，弦于点M，点E是上一点，连接并延长，交的延长线于点F，交的切线于点G，连接，．
(1)求证：；
(2)如图1，若，经过圆心O，求的长；
(3)如图2，若点E是中点．
①判断与的大小，并说明理由；
②当，的长．
43．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，直线与直线相交于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)与的交点为，若，，求图中阴影部分的面积．
44．（2024·河北石家庄·二模）如图①，垂直平分线段，，以点为圆心，2为半径作，点是上的一点，当A，D，O三点共线时，连接交于点，此时，如图②将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形．
(1)求证：；
(2)①当点到的距离最大时，判断与的位置关系，并说明理由；
②连接，若，直接写出的长．
45．（2024·浙江·二模）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．
(1)当时，求的度数；
(2)如图2，当，，时，求的长；
(3)如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值．
46．（2024·广东揭阳·三模）如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
考点一：垂径定理考点二：弧、弦、圆心角
考点三：点、线、圆的位置关系考点四：正多边形和圆
考点五：弧长和扇形面积考点六：圆内知识综合
考点七：圆与三角形的综合考点八：圆和四边形的综合
考点九：圆与函数的综合
【题型精讲】
题型一：垂径定理
1．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知内接于，是的直径，过点C作，垂足为E，交于点D，，，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
2．（2024·西藏日喀则·一模）陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知，碗深，则的半径为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东深圳·模拟预测）月亮门是中国古典园林、住宅中常见的圆弧形洞门（如图1），因圆形如月而得名．月亮门因其寓意美好且形态优美，被广泛使用．图2是小智同学家中的月亮门示意图，经测量，水平跨径为米，水平木条和铅锤木条长都为米，点恰好落在上，则此月亮门的半径为（ ）
A．米B．米C．米D．米
题型二：弧、弦、圆心角
4．（2022·山东泰安·二模）如图，中，，过点A作的平行线交过点C的圆的切线于点D，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东清远·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·浙江温州·二模）如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为直径，连结，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型三：点、线、圆的位置关系
7．（2024·福建·三模）如图，过外一点作圆的切线，，点为切点，为直径，设，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·云南昆明·三模）如图，四边形内接于，E为延长线上一点．若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·山东济宁·二模）如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型四：正多边形和圆
10．（2024·江苏苏州·一模）如图，正方形内接于，等边的顶点，分别在，上，交，于点，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．2
11．（2024·安徽淮南·三模）如图，正三角形和正六边形都内接于连接则（ ）
A．B．C．D．
的大小为（ ）
A．B．C．D．
题型五：弧长和扇形面积
13．（2024·四川达州·一模）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在弧上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
14．（2024·山东泰安·二模）如图，在菱形中，，，以B为圆心、长为半径画弧，点P为菱形内一点，连接．当为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C． D．
15．（2024·广东深圳·三模）如图，在矩形中，．把沿折叠，使点D 恰好落在边上的处，再将绕点 E 顺时针旋转a，得到，使得恰好经过的中点交于点G，连接．有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④，上述结论中，所有正确的序号是（ ）
A．①②④B．①②③C．②③④D．①②③④
题型六：圆内知识综合
16．（2023·广东阳江·一模）如图，在矩形中，，，连接，点E为上一个动点，点F为上一个动点，连接，且始终满足，则线段的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
17．（2023·海南海口·一模）如图，⊙O的直径，弦，过⊙O上一点D作切线，交的延长线于点E，若，则的长为（ ）
A．3B．2C．4D．4
18．（2021·浙江湖州·一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点M的横坐标为3，以M为圆心，5为半径作，与y轴交于点A和点B，点P是上的一动点，Q是弦上的一个动点，延长交于点E，运动过程中，始终保持，当的结果最大时，长为（ ）
A．B．C．D．
题型七：圆与三角形的综合
19．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，是的直径，弦于点是上一点，的延长线交于点，连结．
(1)求度数．
(2)求证：．
(3)令，若，求k的值．
20．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6．
(1)求的度数；
(2)求线段的长；
(3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和．
题型八：圆和四边形的综合
21．（2024·广东揭阳·一模）如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，．
(1)求的度数；
(2)当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式；
(3)当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积．
22．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形中，对角线与相交于点O，过O，C两点的切线段于点T，分别交线段于点F，E，M，连结，已知．
(1)求证：；
(2)若M为的中点，求的半径；
(3)若的半径为3，求的值．
题型九：圆与函数的综合
23．（2022九年级·全国·专题练习）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以C为圆心，1为半径作⊙C，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值．
24．（2022九年级·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．
(1)已知点P（2，2），以P为圆心，为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【专题精练】
一、单选题
25．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在中，是直径，是弦，，过点C作弦，E为垂足，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
26．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，弦，相交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．8
28．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，的半径为5，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
29．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，半径为2，圆心角为的扇形的弧上有一动点，从点作于点，设的三个内角平分线交于点，当点在弧上从点运动到点时，点所经过的路径长是（ ）．
A．B．C．D．
30．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．6B．7C．D．
31．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，四边形内接于半径为3的中，点E为弧的中点，若，则的长为（ ）
A．B．C．5D．6
32．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
33．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，已知与相切于点，交于点C，连结．则下列结论：，，，一定成立的是 （填序号）．
34．（2024·山西太原·二模）如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
35．（2024·福建泉州·三模）如图，点为轴上一点，点C在函数的图象上，轴切于点．若、、三点恰好在同一直线上，的面积为，则的值为 ．
36．（2024·甘肃平凉·二模）马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，将图1中的马面裙抽象成数学图形如图2中的阴影部分所示，和所在圆的圆心均为点O，且点A在上，点D在上，若，，则该马面裙裙面（图2中阴影部分）的面积为 ．（结果保留）
37．（2024年江苏省常州市教科院中考二模数学试题）如图，为的直径，C为上一点，平分，与过点A的的切线交于点D，与交于点F，与交于点E．记的面积为，的面积为，若，则 ．
38．（2024·湖北恩施·二模）如图，正方形的边长为8，点是边的中点，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
三、解答题
39．（2024年山东省济宁市北湖区九年级下学期三模数学试题）如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)①连接，求证：四边形是矩形；
②若，，求的半径．
40．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点，，，均在上，且经过圆心，过点作的切线，交的延长线于点，连接，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
41．（2024·湖南·三模）如图，是的直径，弦，垂足为H，过点C作直线分别与的延长线交于点E，F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，；求的长．
42．（2024·河北邢台·三模）如图1和图2，的半径为6，是直径，弦于点M，点E是上一点，连接并延长，交的延长线于点F，交的切线于点G，连接，．
(1)求证：；
(2)如图1，若，经过圆心O，求的长；
(3)如图2，若点E是中点．
①判断与的大小，并说明理由；
②当，的长．
43．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为的直径，为上一点，，直线与直线相交于点，平分．
(1)求证：是的切线；
(2)与的交点为，若，，求图中阴影部分的面积．
44．（2024·河北石家庄·二模）如图①，垂直平分线段，，以点为圆心，2为半径作，点是上的一点，当A，D，O三点共线时，连接交于点，此时，如图②将扇形绕点逆时针旋转，得到扇形．
(1)求证：；
(2)①当点到的距离最大时，判断与的位置关系，并说明理由；
②连接，若，直接写出的长．
45．（2024·浙江·二模）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．
(1)当时，求的度数；
(2)如图2，当，，时，求的长；
(3)如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值．
46．（2024·广东揭阳·三模）如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
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