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八年级数学下册专题12特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型(原卷版+解析)
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这是一份八年级数学下册专题12特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型(原卷版+解析)，共48页。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．
(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．
课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C． D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．
7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．
8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形中，是对角线．
（1）如图①若，，求菱形的面积；
（2）如图②，、分别是、上一点，连结，过点作于点，过点作于点，交于点，且．求证：
（3）如图③，若，且点是内任意一点，求的最小值．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．
(1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值；
(3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．
专题12 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就特殊平行四边形中的最值模型-费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，则知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，
作于H，交于G．则四边形是矩形，
∴，，，∴， ∴，
∵，∴，
∴的最小值．故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
【答案】cm
【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
则DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，
∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF，
∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，
由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，
连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，
则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是cm，故答案为：cm．
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点逆时针旋转得到△，连接、，根据旋转的性质得为等边三角形，同理为等边三角形，进而有，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时， 的值最小，问题随之得解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到△，连接、，
根据旋转的性质有：，，，
为等边三角形，同理为等边三角形，
，，，
当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，
即的值最小，如图，过点作于点，交于点，
即最小值为：，在矩形中，于点，
即可知四边形是矩形，，即，
为等边三角形，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定性质与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？
【答案】(1)为与的交点．证明见解析(2)的最小值为：．
【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点．
（2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值．
【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，
∴，，∴为等边三角形，∴，
∵为等边三角形．∴，，∴，
∴，∴，∴，
当，，，四点共线时，如图，
此时最小，∴为与的交点．
（2）如图，过作交的延长线于，
∵正方形，等边三角形，，∴，，，
∴，∴，，
∴，∴的最小值为：．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；
（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；
（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．
【详解】（1）解：∵，如图1，
∴，E为的中点，，∴，
∵，∴，在中，，∴；
（2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，延长交于N，
∴，过E作于P，则，
在与中， ，∴，∴，
过E作于Q，∴，∴四边形为矩形，
∵，∴，∴，
∴矩形为正方形，∴，∴，
在与中，， ∴，∴，
∵，∴；
（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，
∴，，
∴，∴，
在与中，，∴，
∴，∴，
当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4，
过N作交其延长线于T，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，
∴，在中， ，
∴，∴，∴，
∴的最小值为 ．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，∴，即，∴，即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
【答案】15+10
【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．
【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，
由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，
∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，
同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，
∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，
∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB=10，∴△ABH的高为5，
∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，
则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．
(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【分析】（1）由直线解析式可求出的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出答案；（2）过点作交延长线于点，过点作，垂足为，先证明，，再证明，即可得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，通过旋转构造的最小值为的长，即可解答．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，即，当时，，即，
∴，，∴，
∵点是的中点，，∴；
（2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为，
∵四边形为正方形，∴，，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，同理，∴，∴，
∵，，∴，
又∵，，∴，∴；
（3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，∴，，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴，
在中，，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键．
课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．
解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，
∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝，
∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝
所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接、、，∵∴
在和中，∵∴
∴∴
当时，最小，
∴的最小值为，故答案为：．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C． D．
【答案】A
【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．
【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴，
∵等边三角形，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴当三点共线时最小，
∵∴，
∵，∴，∴，
∴，∴的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__．
【答案】
【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，由，得出，当共线时，得到值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得的最小值．
【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，
∴当共线时，值最小，即的值最小，
连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴，
∵是等边三角形，∴，，
∴， ，∴ ，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接，交于点P，作交于点F，作交的延长线于点E，根据两点之间线段最短得到当点P是和交点时，的值最小，即为的长度，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，交于点P，作交于点F，作交的延长线于点E，
∵，
∴当点P是和交点时，的值最小，即为的长度，
∵，，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．
【答案】6
【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．
【详解】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，
∵∠ABC＝150°∴∠BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6，
∴BD′＝，∠ABP＝45°，
又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE，
又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，
根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝，故答案为：．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、旋转变换、勾股定理、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意旋转变换的性质的正确运用．
8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在上取一点，使得，连接，如图所示，首先证明，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，证明，求出可得结论．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：
，，四边形是平行四边形，，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
，，是等边三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴（SAS）
（2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小 理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，∵，∴，
解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)
(3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析
【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．；
（2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解；
（3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求．
（2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，，，
，，，，
；故；
（3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，，，，
、是等边三角形，，，
根据两点间线段距离最短得：当时最短，
是等边三角形，以为一边作等边三角形，
最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点．
若点与点重合，即在对角线 上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合，
显然不符合题意，故点不在对角线上，
即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E为AB的中点，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，FG＝CF+CG，在中，DF＝，进而求出DF；法二：四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC则∠AFB＝90°，在中，，，是的中点，，是等边三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中， DF＝，进而求出DF；
（2）法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH；由四边形ABCD为菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G为DE的中点有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等边三角形，AG＝HG，进而说明AG⊥FG．法二：如图4，延长AG交CD于H，连接FH，四边形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，点G是DE中点，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等边三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，进而说明FG⊥AG；
（3）解：如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP 为一个等边三角形，有PB＝PD，当E、D、P、C 四点共线时，PA+PB+PC最小；如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等边三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值．
（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°
∴，∴
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴
∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5
在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5
∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5
法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ，
∵是的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形
∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴∴AF＝5
在中， DF＝＝5∴的值为．
（2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，
∵G为DE的中点，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF为等边三角形
∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD
在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF
同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形
∵AG＝HG∴AG⊥FG．
法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等边三角形
∴∠BEF＝60°，EF＝BE∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH
在△AEF和△FCH中，∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF ∵AG＝HG∴FG⊥AG
（3）解：如图a 在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．
以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
∴BD＝BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．
如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，
∴BP＝BD＝即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4(2)135°(3)存在，PQ的长度为
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝BC•AE＝6，求出AE＝4，由垂线段最短即可得出结果；
（2）把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，易证△BPQ是等腰直角三角形，得出∠BQP＝45°，PQ＝2，再由勾股定理的逆定理证得△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，即可得出结果；（3）过点P作EFAD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′，QQ′，D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，由S△PAD＝2S△PBC，可得AE＝2BE，进而求得AE＝400，当D′P⊥EF时，D′P取最小值，运用勾股定理即可求答案．
（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝BC•AE＝×3×AE＝6，∴AE＝4，
∵MD⊥BC，∴当A、M、D三点共线时，AM＋MD的值最小＝AE＝4，故答案为：4；
（2）∵点P是正方形ABCD内一点，∴把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，如图2所示：则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，QC＝PA＝2，QB＝PB＝，∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，PQ＝PB＝×＝2，∵QC2＋PQ2＝22＋（2）2＝16，PC2＝42＝16，
∴QC2＋PQ2＝PC2，∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，
∴∠CQB＝∠PQC＋∠BQP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝135°；
（3）存在一点P和一点Q，使得AQ＋DQ＋PQ有最小值，理由如下：
如图3，过点P作EFAD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′、QQ′、D′Q、D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，D′Q′＝DQ，
∴AQ＝QQ′，∵Q′Q＋D′Q′≥D′Q，即AQ＋DQ≥D′Q，D′Q＋PQ≥D′P，∴AQ＋DQ＋PQ≥D′P，
∴当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ＋DQ＋PQ有最小值，最小值为D′P，在长方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴EF∥BC，
∵S△PAD＝2S△PBC，∴AD•AE＝2×BC•BE，∴AE＝2BE，∴AE＝AB＝400，
∵点P在EF上，∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值，
∵ADEF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等边三角形，∴AD′＝AD＝800，AG＝AD＝400，∠AGD′＝90°，∴D′G＝，∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四边形AEPG是矩形，∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G＋GP＝400＋400，∴AQ＋DQ＋PQ的最小值为400＋400，
∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，
在Rt△AGQ中，AG2＋GQ2＝AQ2，∴4002＋GQ2＝（2GQ）2，解得：GQ＝，
∴PQ＝GP−GQ＝．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、点到直线的距离垂线段最短、三角形面积计算等知识，解题关键是通过旋转确定线段和取最小值的位置．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
【答案】(1)四点共线，(2)的值最小时，此时
(3)
【分析】(1)证明得到进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，的值最小为，再由等边△及求出的长；
(2)同(1)中思路证明得到，当B，P，D，E四点共线时，的值最小为；进一步得到，即可求出，再过点C作于点F，利用即可求出的值；(3)同(2)中思路即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，∴，且，∴，
∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示：
连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，
∴，此时．
（2）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，
∴，且均为等边三角形，,∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示．
∵均为等边三角形，∴，
∵，∴．∴，∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时；
过点C作于点F，如图1所示．∵，∴是线段的中垂线，
∴C，P，F三点共线，∴，
设，则．∴，∴．
（3）解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，
过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示：
由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时，
由(2)知：，∴，
∵，∴，∴．∴，
∴在中由勾股定理得到，
过点C作，垂足为G，如图2所示．
∵，∴，
∴，∴，
∴在中由勾股定理得到，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF ∴为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°∴∠BAF=∠AFB＝15°，∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3)
【分析】（1）由是等边三角形得到,又由得，由，即可证明；（2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接，由（1）得则，再证是等边三角形，，，根据两点之间线段最短，即可得到结论；（3）以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，证明是等边三角形，，证得当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，再求得的值即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴,
∵，∴，∴，∵，∴；
（2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接，
由（1）得，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∴，
根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为．
（3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示，
则，，，是等边三角形，
，，，
当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，
，，，，，，
，．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握等边三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形中，是对角线．
（1）如图①若，，求菱形的面积；
（2）如图②，、分别是、上一点，连结，过点作于点，过点作于点，交于点，且．求证：
（3）如图③，若，且点是内任意一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）过B作BE⊥AD于E由菱形中，是对角线．AD=AB=8，可得∠BAC=∠DAC，由，可求∠BAE=2，利用余角性质∠ABE=30°由30°角直角三角形性质可求AE，由勾股定理得：，利用面积公式求S菱形=AD•BE=；
（2）如答图②，过点作于点，由GC=GF，GM⊥CF，由等腰三线合一，得出，，由CP⊥CF，可推出∠PCF=∠MGF，，由可得利用和差可求，由，可求由，可得GM∥H，在Rt△HND中，由勾股定理得，可证△GCM≌△CHN（AAS）可推得；
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10推得△ABD与△CBD都是等边三角形，点P为是内任意一点， 以B点为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得△DAH，连结CH，可证△PBD≌△HBC（SAS），PD=CH，可知PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，当点A、P、H、四点共线时最短为AC，由勾股定理得AE=即可．
【详解】解：（1）过B作BE⊥AD于E，
∵菱形中，是对角线．AD=AB=8，∴∠BAC=∠DAC，
∵，∴∠BAE=2，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∴AE=，
由勾股定理得：，S菱形=AD•BE=8×=；
答图②
（2）如答图②过点作于点，∵GC=GF，GM⊥CF，
由等腰三线合一，得出，，
∵CP⊥CF，∴∠PCF+∠CFP=90°，
∵∠MGF+∠GFM=90°，∴∠PCF=∠MGF，∴，
∵，∴∴，
∵，∴，
∵，∴GM∥HN，，
在Rt△HND中，由勾股定理得，∴，
∵GC=CH，∠GMC=∠CNH=90°，∠CGM=∠HCN，
∴△GCM≌△CHN（AAS），∴， ，
∴；
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10，∴△ABD与△CBD都是等边三角形，
点P为是内任意一点，以B点为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得△DAH，连结CH，
∴BP=BH，∠PBH=∠ABD=60°，∴∠PBD+∠DBH=60°，∠DBH+∠HBC=60°，∴∠PBD=∠HBC，
∵BD=BC，∴△PBD≌△HBC（SAS），∴PD=CH，∴PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，
当点A、P、H、四点共线时最短为AC，设AC与BD交于E，则AC=2AE,BE=DE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，
∴AC=2AE=10，∴PA+PB+PD最小值为．
【点睛】本题考查菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，平行四边形面积公式，等腰直角三角形三角形全等判定与性质，图形旋转变换，关键是利用旋转引辅助线作出准确的图形是解题关键．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．
(1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值；
(3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解． （3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出即可．
【详解】（1）解： 如图所示，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，，
，，，，
是等边三角形，，，
，是直角三角形，，
，，
（2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，
则，，，则是等边三角形，，
再将绕点顺时针旋转得到，则
，，，
当四点共线时，取得最小值，即的长，设，交于点，
，，
，，
在中，，即的最小值为；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，
，，，，，
是等腰直角三角形，，，
，是直角三角形，，
如图，延长，过点作于，则，
，，，，，
，即正方形的边长为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．
(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．
课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C． D．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．
7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．
8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形中，是对角线．
（1）如图①若，，求菱形的面积；
（2）如图②，、分别是、上一点，连结，过点作于点，过点作于点，交于点，且．求证：
（3）如图③，若，且点是内任意一点，求的最小值．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．
(1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值；
(3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．
专题12 特殊的平行四边形中的最值模型之费马点模型
费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。本专题就特殊平行四边形中的最值模型-费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】
结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）
【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
∵△ABE为等边三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB与△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN为等边三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
此时，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
【最值原理】两点之间，线段最短。
例1．（2023·福建泉州·八年级校考期末）如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接，则的最小值为（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】将绕点A逆时针旋转得到，则知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转得到，则是等边三角形，
作于H，交于G．则四边形是矩形，
∴，，，∴， ∴，
∵，∴，
∴的最小值．故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置．
例2．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示，若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 ．
【答案】cm
【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于E，DF⊥BA于F，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
则DE＝DF＝3cm，∵∠α＝30°，∴CD＝2DE＝6cm，
∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴BC•DE＝AB•DF，
∵DE＝DF，∴BC＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝CD＝6cm，
由旋转的性质得：A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，∴BP＝PP'，∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短可知，当PA+PB+PC＝A'C时最短，
连接A'C，与BD的交点即为到A，B，C三点距离之和的最小的P点，
则点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是cm，故答案为：cm．
例3．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，点是矩形内一点，且，，为边上一点，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】将绕点逆时针旋转得到△，连接、，根据旋转的性质得为等边三角形，同理为等边三角形，进而有，当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时， 的值最小，问题随之得解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到△，连接、，
根据旋转的性质有：，，，
为等边三角形，同理为等边三角形，
，，，
当线段、、三条线段在同一直线上，且该直线与垂直时，的值最小，
即的值最小，如图，过点作于点，交于点，
即最小值为：，在矩形中，于点，
即可知四边形是矩形，，即，
为等边三角形，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的判定性质与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键．
例4．（2024·广东·九年级培优训练）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形．(1)当点在何处时，的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？
【答案】(1)为与的交点．证明见解析(2)的最小值为：．
【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点．
（2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值．
【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，
∴，，∴为等边三角形，∴，
∵为等边三角形．∴，，∴，
∴，∴，∴，
当，，，四点共线时，如图，
此时最小，∴为与的交点．
（2）如图，过作交的延长线于，
∵正方形，等边三角形，，∴，，，
∴，∴，，
∴，∴的最小值为：．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
例5．（2023·广东广州·校考二模）平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．(1)如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
(2)如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
(3)如图3，已知，若，直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；
（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；
（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．
【详解】（1）解：∵，如图1，
∴，E为的中点，，∴，
∵，∴，在中，，∴；
（2）证明：如图2，设射线与射线交于点M，由题可设，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，延长交于N，
∴，过E作于P，则，
在与中， ，∴，∴，
过E作于Q，∴，∴四边形为矩形，
∵，∴，∴，
∴矩形为正方形，∴，∴，
在与中，， ∴，∴，
∵，∴；
（3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，
∴，，
∴，∴，
在与中，，∴，
∴，∴，
当B，F，M，N四点共线时，最小，即为线段BN的长度，如图4，
过N作交其延长线于T，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，
∴，在中， ，
∴，∴，∴，
∴的最小值为 ．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．
例6．（2023·重庆·九年级专题练习）【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是________．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
【问题解决】（3）如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形；（2）BC的最小值为；（3）平行四边形公园ABCD的面积为（平方米）．
【分析】（1）由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
（2）设AB=a，则AC=10-a，进而根据勾股定理得出即可得出结论；（3）先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出x=是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：的形状是等边三角形，理由如下;
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°∴△BMN为等边三角形 故答案为：等边三角形；
（2）解：设AB=a，∵AB+AC=10，∴AC=10-AB=，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
，
∵，∴，即，∴，即BC的最小值为；
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到△A'BE'，∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，∴AE+BE+CE=A'E'+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的延长线于F，在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°，
设BF=x，则A'B=2x， 根据勾股定理得，A'F=，
∵AB=A'B，∴AB=2x，∵AB+BC=6，∴BC=6-AB=6-2x，∴CF=BF+BC=6-x，
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，，
∴当x=，即AB=2x=3时，最小，此时，BC=6-3=3，A'F=，
∴平行四边形公园ABCD的面积为（平方千米）．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，用代数式表示线段，利用配方法确定极值问题，判断出AB=BC时，AE+BE+CE最小是解本题的关键．
例7．（2023·江苏·九年级阶段练习）如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E，F，则EA+EB+EF+FC+FD的最小值为 公里．
【答案】15+10
【分析】将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FM、FF'，如图2，此时EH、EF、FM共线，EA+EB+EF+FC+FD是最小值，利用旋转的性质和等边三角形的性质，相加即可得出结论．
【详解】解：如图1，将△AEB绕A顺时针旋转60°得△AGH，连接BH、EG，将△DFC绕点D逆时针旋转60°得到△DF'M，连接CM、FF'，
由旋转得：AB=AH，AE=AG，∠EAG=∠BAH=60°，BE=GH，
∴△AEG和△ABH是等边三角形，∴AE=EG，
同理得：△DFF'和△DCM是等边三角形，DF=FF'，FC=F'M，
∴当H、G、E、F、F'、M在同一条直线上时，EA+EB+EF+FC+FD有最小值，如图2，
∵AH=BH，DM=CM，∴HM是AB和CD的垂直平分线，∴HM⊥AB，HM⊥CD，
∵AB=10，∴△ABH的高为5，
∴EA+EB+EF+FC+FD=EG+GH+EF+FF'+F'M=HM=15+5+5=15+10，
则EA+EB+EF+FC+FD的最小值是（15+10）公里．故答案为：（15+10）．
【点睛】本题考查了矩形的性质和最短路径问题，旋转的性质和等边三角形的性质，确定最小值时点E和F的位置是本题的关键，利用全等、勾股定理求其边长，从而得出结论．
例8．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图①，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，点为中点，四边形和四边形都是正方形．
(1)求的长；(2)如图②，连接，，过点作于点，延长交于点，求证：；
(3)如图③，，点在边上，且，为的中点，点为正方形内部一点，连接，，，请直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)见详解(3)
【分析】（1）由直线解析式可求出的长，然后根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求出答案；（2）过点作交延长线于点，过点作，垂足为，先证明，，再证明，即可得出结论；（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，通过旋转构造的最小值为的长，即可解答．
【详解】（1）解：对于直线，
当时，，即，当时，，即，
∴，，∴，
∵点是的中点，，∴；
（2）证明：过点作交延长线于点，过点作，垂足为，
∵四边形为正方形，∴，，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，同理，∴，∴，
∵，，∴，
又∵，，∴，∴；
（3）解：将绕点逆时针旋转得到，连接，
则，∴，，
∵，∴为等腰直角三角形，∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，最小值为的长，
在正方形中，，，为的中点， ∴，，∴，
在中，，∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关性质并作出辅助线是解题关键．
课后专项训练
1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．
【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，
∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，
∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，
过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，
∵BC=4，∴BF=2，EF=2，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，
∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=CE=，故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（2023·广东广州·一模）如图，正方形ABCD内一点E，E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，正方形的边长为_______．
解：以A为旋转中心，将△ABE顺时针旋转60°得到△AMN，连NE，MB，过M作MP⊥BC交BC的延长线于P点，如图，∴MN＝BE，AN＝AE，∠NAE＝60°，
∴△ANE为等边三角形，∴AE＝NE，∴AE+EB+EC＝MN+NE+EC，
当AE+EB+EC取最小值时，折线MNEC成为线段，则MC＝，
∵AB＝AM，∠BAM＝60°，∴△ABM为等边三角形，
∴∠MBC＝150°，则∠PBM＝30°，在Rt△PMC中，设BC＝x，PM＝
所以所以x＝2，∴BC＝2，即正方形的边长为2．
3．（2024上·陕西汉中·九年级统考期末）如图，正方形的边长为2．为与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为、，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，当、、、四点共线时，即得最小值；
【详解】解：如图，连接、、，∵∴
在和中，∵∴
∴∴
当时，最小，
∴的最小值为，故答案为：．
4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在中，P为平面内的一点，连接，若，则的最小值是（ ）
A．B．36C． D．
【答案】A
【分析】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，先证得，可得，由中位线可得，由等边三角形性质可得，当三点共线时即可求得的最小值，最终求出的最小值．
【详解】分别以、为边在下方构造等边三角形、，分别取、中点，连接，如图所示，
∵取、中点，∴，∵等边三角形，∴，
∵等边三角形，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴当三点共线时最小，
∵∴，
∵，∴，∴，
∴，∴的最小值为，故选：A．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、中位线的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是利用手拉手模型构造辅助线．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，点P是矩形对角线上的一个动点，已知，则的最小值是__．
【答案】
【分析】将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，由，得出，当共线时，得到值最小，然后根据等边三角形的性质和勾股定理求得的最小值．
【详解】解：将绕点C逆时针旋转，得到，连接，则是等边三角形，是等边三角形，∴，∴，
∴当共线时，值最小，即的值最小，
连接，作，延长使得，连接，则四边形是矩形，∴，
∵是等边三角形，∴，，
∴， ，∴ ，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在中，，，，P是平面内一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】连接，交于点P，作交于点F，作交的延长线于点E，根据两点之间线段最短得到当点P是和交点时，的值最小，即为的长度，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，连接，交于点P，作交于点F，作交的延长线于点E，
∵，
∴当点P是和交点时，的值最小，即为的长度，
∵，，，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6,∠ABC＝150°，则AP+BP+PD的最小值为_____．
【答案】6
【分析】将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，求出BD′，证明PA＝PE，PD＝ED′，根据两点之间线段最短得到答案．
【详解】解：将△ADC逆时针旋转60°，得到△AD′C′，连接BD′交AC于P，交AC′于E，连接PD，
∵∠ABC＝150°∴∠BAD＝30°，∵∠DAD′＝60°，∴∠BAD′＝90°，又AB＝AD＝AD′＝BC＝6，
∴BD′＝，∠ABP＝45°，
又∠BAP＝15°，∴∠APE＝∠PAE＝60°，∴△EAP为等边三角形，∴PA＝PE＝AE，
又∵AD＝AD′，∠PAD＝∠EAD′，∴△APD≌△AED′，∴PD＝ED′，
根据两点之间线段最短可得AP＋BP＋PD的最小值＝PB＋PE＋ED′＝，故答案为：．
【点睛】本题考查的是菱形的性质、旋转变换、勾股定理、等边三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，正确找出辅助线是解题的关键，注意旋转变换的性质的正确运用．
8．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，在中，．如果在三角形内部有一条动线段，且，则的最小值为________．
【答案】
【分析】在上取一点，使得，连接，如图所示，首先证明，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，证明，求出可得结论．
【详解】解：在上取一点，使得，连接，如图所示：
，，四边形是平行四边形，，，
将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于，如图所示：
，，是等边三角形，，，
，，，，
，，，
，，，，，，
，，
，的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，旋转变换，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2023·广东·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
(1)求证：；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
(3)当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．
【答案】(1)见解析 (2)①BD的中点，②BD与CE的交点处，见解析 (3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BMA=∠NBE，然后即可证明，
（2）①根据两点之间线段最短可知当M点落在BD的中点时，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F, 设正方形的边长为x，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴（SAS）
（2）①∵，∴当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小 理由如下：连接MN．由（1）知，，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长
（3）过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴．设正方形的边长为x，则BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，∵，∴，
解得， （舍去负值）．∴正方形的边长为，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
10．（2023春·江苏·八年级专题练习）问题提出
(1)如图，点、是直线外两点，在直线上找一点，使得最小．
问题探究(2)在等边三角形内有一点，且，，，求度数的大小．
问题解决(3)如图，矩形是某公园的平面图，米，米，现需要在对角线上修一凉亭，使得到公园出口、，的距离之和最小．问：是否存在这样的点？若存在，请画出点的位置，并求出的和的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析 (2)
(3)对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小，理由见解析
【分析】（1）根据两点间线段距离最短，连接点，与直线交于点，点 即为所求．；
（2）把绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质可知是等边三角形，从而得到，由勾股定理逆定理可知，从而求得，即可求解；
（3）连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
，由旋转的性质，、是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可得当时最短，从而得到最小值为的长，点为、的交点，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接点，与直线交于点，点 即为所求．
（2）解：如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，
是等边三角形，，，
，，，，
；故；
（3）解：如图，连接，设在内一点，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质，，，，，，，
、是等边三角形，，，
根据两点间线段距离最短得：当时最短，
是等边三角形，以为一边作等边三角形，
最小值为的长，此时点在线段上，点为、的交点．
若点与点重合，即在对角线 上，则点为与的交点，此时点（E）与点重合，
显然不符合题意，故点不在对角线上，
即对角线上不存在这样的点，使得到公园出口、，的距离之和最小．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解题的关键．
11．（2023·重庆綦江·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E、F分别是AB、BC上的动点，连接DE、DF、EF．(1)如图1，连接AF，若AF⊥BC，E为AB的中点，且EF＝5，求DF的长；
(2)如图2，若BE＝BF，G为DE的中点，连接AF、AG、FG，求证：AG⊥FG；
(3)如图3，若AB＝7，将△BEF沿EF翻折得到△EFP（始终保持点P在菱形ABCD的内部），连接AP、BP及CP，请直接写出当PA＋PB＋PC值最小时PB的长．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E为AB的中点，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，FG＝CF+CG，在中，DF＝，进而求出DF；法二：四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC则∠AFB＝90°，在中，，，是的中点，，是等边三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中， DF＝，进而求出DF；
（2）法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH；由四边形ABCD为菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G为DE的中点有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF为等边三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等边三角形，AG＝HG，进而说明AG⊥FG．法二：如图4，延长AG交CD于H，连接FH，四边形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，点G是DE中点，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等边三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，进而说明FG⊥AG；
（3）解：如图a，在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP 为一个等边三角形，有PB＝PD，当E、D、P、C 四点共线时，PA+PB+PC最小；如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等边三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值．
（1）解：法一：如图1，过点D作DG⊥BC交BC的延长线于G，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°
∴，∴
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴
∴△BEF为等边三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5
在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5
∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5
法二：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°∴，
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ，
∵是的中点 ∴ ∵ ∴是等边三角形
∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴∴AF＝5
在中， DF＝＝5∴的值为．
（2）证明：法一：如图2，延长AG交CD于H，连接AC，FH，
∵四边形ABCD为菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，
∵G为DE的中点，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF为等边三角形
∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD
在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF
同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等边三角形
∵AG＝HG∴AG⊥FG．
法二：如图4 延长AG交CD于H，连接FH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，∵点G是DE中点，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等边三角形
∴∠BEF＝60°，EF＝BE∴∠AEF=120°∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH
在△AEF和△FCH中，∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF ∵AG＝HG∴FG⊥AG
（3）解：如图a 在△ABC中，P为其中任意一点．连接AP，BP，得到△ABP．
以点B为旋转中心，将△ABP逆时针旋转 60°，得到△EBD
∴BD＝BP，∴△DBP 为一个等边三角形∴PB＝PD
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴当E、D、P、C 四点共线时，为PA+PB+PC最小．
如图3，当B、P、G、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DGC，∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等边三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，
∴BP＝BD＝即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
【点睛】本题考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋转，二次根式等知识点．解题的关键是灵活综合运用菱形的性质，旋转等知识．
12．（2023·绵阳市·九年级专题练习）如图：(1)如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为 ．
(2)如图2．点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝，PC＝4．求∠APB的度数．
(3)如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800点P是长方形内一动点，且S△ABC＝2S△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4(2)135°(3)存在，PQ的长度为
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝BC•AE＝6，求出AE＝4，由垂线段最短即可得出结果；
（2）把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，易证△BPQ是等腰直角三角形，得出∠BQP＝45°，PQ＝2，再由勾股定理的逆定理证得△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，即可得出结果；（3）过点P作EFAD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′，QQ′，D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，由S△PAD＝2S△PBC，可得AE＝2BE，进而求得AE＝400，当D′P⊥EF时，D′P取最小值，运用勾股定理即可求答案．
（1）解：如图1，过A作AE⊥BC于E，则S△ABC＝BC•AE＝×3×AE＝6，∴AE＝4，
∵MD⊥BC，∴当A、M、D三点共线时，AM＋MD的值最小＝AE＝4，故答案为：4；
（2）∵点P是正方形ABCD内一点，∴把△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBQ，连接PQ，如图2所示：则∠PBQ＝90°，∠APB＝∠CQB，QC＝PA＝2，QB＝PB＝，∴△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP＝45°，PQ＝PB＝×＝2，∵QC2＋PQ2＝22＋（2）2＝16，PC2＝42＝16，
∴QC2＋PQ2＝PC2，∴△PCQ是直角三角形，∠PQC＝90°，
∴∠CQB＝∠PQC＋∠BQP＝90°＋45°＝135°，∴∠APB＝135°；
（3）存在一点P和一点Q，使得AQ＋DQ＋PQ有最小值，理由如下：
如图3，过点P作EFAD交AB于点E、交CD于点F，将△ADQ绕点A逆时针旋转60°，得△AD′Q′，连接DD′、QQ′、D′Q、D′P，设D′P交AD于点G，则△ADD′、△AQQ′都是等边三角形，D′Q′＝DQ，
∴AQ＝QQ′，∵Q′Q＋D′Q′≥D′Q，即AQ＋DQ≥D′Q，D′Q＋PQ≥D′P，∴AQ＋DQ＋PQ≥D′P，
∴当P、Q、Q′、D′在同一条直线上时，AQ＋DQ＋PQ有最小值，最小值为D′P，在长方形ABCD中，AB＝600，AD＝800，∴BC＝AD＝800，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝90°，∴EF∥BC，
∵S△PAD＝2S△PBC，∴AD•AE＝2×BC•BE，∴AE＝2BE，∴AE＝AB＝400，
∵点P在EF上，∴当D′P⊥EF时，D′P取最小值，
∵ADEF，∴D′P⊥AD，∵△ADD′是等边三角形，∴AD′＝AD＝800，AG＝AD＝400，∠AGD′＝90°，∴D′G＝，∵∠EAG＝∠AEP＝∠EPG＝90°，∴四边形AEPG是矩形，∴GP＝AE＝400，∴D′P＝D′G＋GP＝400＋400，∴AQ＋DQ＋PQ的最小值为400＋400，
∵△AQQ′是等边三角形，AD⊥QQ′，∴∠GAQ＝30°，AQ＝2GQ，
在Rt△AGQ中，AG2＋GQ2＝AQ2，∴4002＋GQ2＝（2GQ）2，解得：GQ＝，
∴PQ＝GP−GQ＝．
【点睛】本题考查了等边三角形判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、点到直线的距离垂线段最短、三角形面积计算等知识，解题关键是通过旋转确定线段和取最小值的位置．
13．（2022·河南南阳·统考三模）【发现奥秘】
(1)如图1，在等边三角形中，，点E是内一点，连接，分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接．当B，E，F，D四个点满足______时，的值最小，最小值为_______．
【解法探索】(2)如图2，在中，，点P是内一点，连接，请求出当的值最小时的度数，并直接写出此时的值．（提示：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接）
【拓展应用】(3)在中，，点P是内一点，连接，直接写出当的值最小时，的值．
【答案】(1)四点共线，(2)的值最小时，此时
(3)
【分析】(1)证明得到进而得到B，E，F，D四个点满足四点共线时，的值最小为，再由等边△及求出的长；
(2)同(1)中思路证明得到，当B，P，D，E四点共线时，的值最小为；进一步得到，即可求出，再过点C作于点F，利用即可求出的值；(3)同(2)中思路即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，∴，且，∴，
∴当B，E，F，D四点共线时，的值最小为，如图所示：
连接AC，设AC与BD交于点O，∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵△ABC为等边三角形，∴∠OCB=60°，
∴，此时．
（2）解：由旋转的性质，可知，
，，
∴，∴，
∴，且均为等边三角形，,∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，如图1所示．
∵均为等边三角形，∴，
∵，∴．∴，∴，
∴当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时；
过点C作于点F，如图1所示．∵，∴是线段的中垂线，
∴C，P，F三点共线，∴，
设，则．∴，∴．
（3）解：分别将绕点C顺时针旋转60°得到，连接，
过点E作，交BC的延长线于点F，如图2所示：
由(2)可知，当B，P，D，E四点共线时，的值最小，此时，
由(2)知：，∴，
∵，∴，∴．∴，
∴在中由勾股定理得到，
过点C作，垂足为G，如图2所示．
∵，∴，
∴，∴，
∴在中由勾股定理得到，
∴，
∴，∴．
【点睛】本题考查了图形旋转的性质、三角形全等的判定方法、勾股定理求线段长等知识点，本题综合性强，难度大，需要根据题意做出合适的辅助线，属于中考常考压轴题．
14．（2023·山东九年级课时练习）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接BN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）若正方形的边长为，正方形内是否存在一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）存在，
【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，可得BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°，再由∠MBN＝60°，可推出∠MBA＝∠NBE，由此即可证明；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，可以推出当AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF，由此求解即可．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得BN=BM，
如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ABE为等边三角形，∴BE＝BA，BA＝BC，∠ABE＝60°；
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN＝∠ABE，∴∠MBA＝∠NBE；
在△AMB与△ENB中，，∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）将△BPC顺时针旋转60度得到，过点F作FM⊥AB交AB延长线于M，
∴，，PC=EF，∠PBC=∠EBF，BC=BF ∴为等边三角形，
即得PA+PB+PC＝AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：可得最小PA+PB+PC＝AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC=BF，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=150°∴∠BAF=∠AFB＝15°，∴∠MBF=∠BAF+∠AFB=30°
∴，∴，
∴，∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．（2023春·江苏·八年级校考周测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；(2)如图1，当M点在何处时，的值最小．(3)如图2，在中，，，．若点是内一点，直接写出的最小值．
【答案】(1)见解析(2)当E，N，M，C在同一直线上时(3)
【分析】（1）由是等边三角形得到,又由得，由，即可证明；（2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接，由（1）得则，再证是等边三角形，，，根据两点之间线段最短，即可得到结论；（3）以点A为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，证明是等边三角形，，证得当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，再求得的值即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，∴,
∵，∴，∴，∵，∴；
（2）连接,当M点位于与的交点处时，的值最小,连接，
由（1）得，∴，∴，
∴是等边三角形，∴，∴，
根据两点之间线段最短，当点在同一条直线上时，取最小值，最小值为．
（3）以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示，
则，，，是等边三角形，
，，，
当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，
，，，，，，
，．
【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握等边三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．
15．（2023·重庆·九年级校联考期中）如图，菱形中，是对角线．
（1）如图①若，，求菱形的面积；
（2）如图②，、分别是、上一点，连结，过点作于点，过点作于点，交于点，且．求证：
（3）如图③，若，且点是内任意一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）过B作BE⊥AD于E由菱形中，是对角线．AD=AB=8，可得∠BAC=∠DAC，由，可求∠BAE=2，利用余角性质∠ABE=30°由30°角直角三角形性质可求AE，由勾股定理得：，利用面积公式求S菱形=AD•BE=；
（2）如答图②，过点作于点，由GC=GF，GM⊥CF，由等腰三线合一，得出，，由CP⊥CF，可推出∠PCF=∠MGF，，由可得利用和差可求，由，可求由，可得GM∥H，在Rt△HND中，由勾股定理得，可证△GCM≌△CHN（AAS）可推得；
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10推得△ABD与△CBD都是等边三角形，点P为是内任意一点， 以B点为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得△DAH，连结CH，可证△PBD≌△HBC（SAS），PD=CH，可知PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，当点A、P、H、四点共线时最短为AC，由勾股定理得AE=即可．
【详解】解：（1）过B作BE⊥AD于E，
∵菱形中，是对角线．AD=AB=8，∴∠BAC=∠DAC，
∵，∴∠BAE=2，
∴∠ABE=90°-∠BAE=90°-60°=30°，∴AE=，
由勾股定理得：，S菱形=AD•BE=8×=；
答图②
（2）如答图②过点作于点，∵GC=GF，GM⊥CF，
由等腰三线合一，得出，，
∵CP⊥CF，∴∠PCF+∠CFP=90°，
∵∠MGF+∠GFM=90°，∴∠PCF=∠MGF，∴，
∵，∴∴，
∵，∴，
∵，∴GM∥HN，，
在Rt△HND中，由勾股定理得，∴，
∵GC=CH，∠GMC=∠CNH=90°，∠CGM=∠HCN，
∴△GCM≌△CHN（AAS），∴， ，
∴；
（3）四边形ABCD为菱形，且BD=AB=10，∴△ABD与△CBD都是等边三角形，
点P为是内任意一点，以B点为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°得△DAH，连结CH，
∴BP=BH，∠PBH=∠ABD=60°，∴∠PBD+∠DBH=60°，∠DBH+∠HBC=60°，∴∠PBD=∠HBC，
∵BD=BC，∴△PBD≌△HBC（SAS），∴PD=CH，∴PA+PB+PD=AP+PH+CH≥AC，
当点A、P、H、四点共线时最短为AC，设AC与BD交于E，则AC=2AE,BE=DE=5，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=，
∴AC=2AE=10，∴PA+PB+PD最小值为．
【点睛】本题考查菱形性质，直角三角形性质，勾股定理，平行四边形面积公式，等腰直角三角形三角形全等判定与性质，图形旋转变换，关键是利用旋转引辅助线作出准确的图形是解题关键．
16．（2023上·福建龙岩·九年级校联考期中）如图，在等边三角形内有一点．
(1)若，，，求的度数；(2)若等边三角形边长为，求的最小值；
(3)如图，在正方形内有一点，且，，，求正方形的边长．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结、，则，得到，，，，证得是等边三角形，求出，，根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，，即可求出；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，则，当四点共线时，取得最小值，即的长，勾股定理，即可求解． （3）如图，延长，过点作于，得到，求出，勾股定理求出即可．
【详解】（1）解： 如图所示，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，，
，，，，
是等边三角形，，，
，是直角三角形，，
，，
（2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，
则，，，则是等边三角形，，
再将绕点顺时针旋转得到，则
，，，
当四点共线时，取得最小值，即的长，设，交于点，
，，
，，
在中，，即的最小值为；
（3）如图，将绕点逆时针旋转，得到，
，，，，，
是等腰直角三角形，，，
，是直角三角形，，
如图，延长，过点作于，则，
，，，，，
，即正方形的边长为．
【点睛】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
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