2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，复数z=1+2i1−i，则复数z在复平面上的对应点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′=2B′C′=2，A′B′=1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 5
3.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，|a|=|b|=1，|c|=3，则|a+b+c|=( )
A. 2B. 5C. 2或5D. 2或 5
4.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则此圆锥的母线长为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
5.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC=2：3：4，则csC的值为( )
A. −14B. 14C. −23D. 23
6.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB=8cm，CD=2cm，则该青铜器的体积为( )
A. 87 2πcm3B. 87 2π4cm3C. 43 2π2cm3D. 43 2πcm3
7.在△ABC中，2csin2A2=c−b(a,b,c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状可能是( )
A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形
8.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则PM⋅PN的取值范围是( )
A. [32,3]B. [32,4]C. [2,3]D. [2,4]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中不正确的是( )
A. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
B. 正四棱锥的侧面都是正三角形
C. 用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D. 平行六面体的每个面都是平行四边形
10.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1D. 若z2+1=0，则z=i
11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2B. 若z2∈R，则z∈R
C. 若(1+i)z=1−i，则|z|=1D. 若z2+1=0，则z=i
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量AB=(−1,2)，AC=(2,3)，AD=(m,−3)，若B，C，D三点共线，则m= ______．
13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为30°，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为50°，则小明同学求出泉标的高度约为______米.(参考数据：sin20°≈0.342，sin50°≈0.766，sin80°≈0.985)
14.在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x+y=0对称，若z1=2+i，则|z2−1+3i|= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
解答下列各题：
(1)已知z是复数，z−3i为实数，z−5i−2−i为纯虚数(i为虚数单位)，求复数z；
(2)已知复数z=(1+i)m2−3im+2i−1，实数m为何值时，复数z表示的点位于第四象限．
16.(本小题15分)
已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,−1)．
(1)若|c|=3 2，且c//a，求向量c的坐标；
(2)若b是单位向量，且a⊥(a−2b)，求a与b的夹角θ．
17.(本小题15分)
在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a2−b2−c2+bc=0．
(1)求角A；
(2)若△ABC的面积S=3 32，c= 3，求sinBsinC的值．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD．
(1)若cs∠ADC=−14，AC=8，AD=4，求AB；
(2)若△ABC是锐角三角形，B=π3，求BDAB的取值范围．
19.(本小题17分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cs2B+cs2C−cs2A=1．
(1)求A；
(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；
(3)设点P为△ABC的费马点，|PB|+|PC|=t|PA|，求实数t的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：z=1+2i1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i
对应的点的坐标为(−12,32)
在第二象限
故选B
将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限．
本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．
2.【答案】C
【解析】解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知AB=A′B′=2，BC=B′C′=1，AB⊥BC，
所以AC= AB2+BC2= 22+12= 5．
故选：C．
根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．
本题考查直观图的画法，解题中需要直观想象能力，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：由向量a、b、c两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°，
则(|a+b+c|) 2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a⋅b+a⋅c+b⋅c)=11+2(|a|⋅|b|csα+|a|⋅|c|csα+|b|⋅|c|csα)=11+14csα．
所以当α=0°时，|a+b+c|=5；
当α=120°时，|a+b+c|=2．
故选：C．
设向量所成的角为α，则α=0°或α=120°，先求出(|a+b+c|) 2的值即可求出．
考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⋅b=|a|⋅|b|csα的公式，求向量的模的方法，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，
而120°=2π3，
则有2π3l=2π×1，变形可得l=2π2π3=3．
故选：B．
根据题意，由圆锥的特征及扇形的弧长公式计算即可．
本题考查圆锥的结构特征，涉及圆锥母线长的计算，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，
∴由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，
∴a=2b3，c=4b3，
由余弦定理可得csC=a2+b2−c22ab=4b29+b2−16b292×2b3×b=−14．
故选：A．
由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，进而可用b表示a，c，代入余弦定理化简可得．
本题考查正余弦定理的应用，用b表示a，c是解决问题的关键，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意可得该青铜器的体积为：
π×22×2 2+13×(π×22+π×42+ π×22×π×42)×3 2+13×(π×42+π×12+ π×42×π×12)× 2
=8 2π+28 2π+7 2π=43 2π．
故选：D．
根据圆柱的体积公式，圆台的体积公式即可求解．
本题考查组合体的体积的求解，属基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由已知sin2A2=c−b2c，得1−csA2=c−b2c，即csA=bc，
由正弦定理可得：csA=sinBsinC，
所以csAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
得csCsinA=0，
在△ABC中sinA≠0，所以csC=0，
又0