2024年黑龙江省绥化市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年黑龙江省绥化市中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x2=x+1B. y2+x=1C. 2x+1=0D. x+1x=1
3.如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.少年的一根头发的直径大约为0.0000412米，将数据“0.0000412”用科学记数法表示为( )
A. 0.412×10−4B. 4.12×10−4C. 4.12×10−5D. 4.12×10−6
5.下列计算正确的是( )
A. a⋅a=2aB. (−2a3)2=−4a6
C. (a+1)2=a2+1D. 12− 3= 3
6.如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，∠E=45°，∠B=30°，AC/​/EF，CA=CF，连结AF，则∠BAF的度数是( )
A. 127.5°
B. 135°
C. 120°
D. 105°
7.下列命题中，逆命题是真命题的是( )
A. 对顶角相等B. 互为邻补角的两个角的和为180°
C. 同位角相等，两直线平行D. 矩形的对角线相等
8.小明所在班级部分同学身高情况统计如下：
则这组统计数据的中位数、众数分别为( )
A. 163，163B. 163，162C. 162，162.5D. 162.5，163
9.如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了60%，时间比原来缩短了30分钟.设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列方程为( )
A. 240x−240(1+60%)x=12B. 240(1+60%)x−240x=12
C. 240x−240(1+60%)x=30D. 240(1+60%)x−240x=30
11.如图，△ABC中，∠A=30°，AB=12，AC=10，点D是边AB上一动点(不与点A，B重合)，过点D作DE/​/AC交BC于点E，点P在边AC上，连接PD，PE，若AD=x，△PDE的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
12.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为A(−3,0)，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线x=−1，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①abc>0；②E(x1,y1)，F(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx(a≠0)上的两个点，若x1A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
13.因式分解：y3−16y=______．
14.若代数式 x+2x−1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
15.如图，有4张体育图标卡片，它们除正面图案外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取1张，放回，背面朝上洗匀，再随机抽取一张，则两次抽取的卡片图案相同的概率是______．
16.已知一元二次方程3x2+7x−9=0的两根分别为x1，x2，则x1x2= ______．
17.化简：(x+2−5x−2)÷x−32x−4=______．
18.如图，在△ABC中，BC=BA=4，∠C=30°，以AB中点D为圆心、AD长为半径作半圆交线段AC于点E，则图中阴影部分的面积为______．
19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，点A是位似中心，已知点A(2,0)，点C(a,b)，∠C=90°.则点C′的坐标为______.(结果用含a，b的式子表示)
20.如图，⊙O是以原点为圆心， 2为半径的圆，点P是直线y=−x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则S△PQO的最小值为______．
21.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1的位置如图所示，点B1的坐标为(0,2)，点C1的坐标为(1,0)，延长A1D1交x轴于点C2，作正方形D1C2D2A2，延长A2D2交x轴于点C3，作正方形D2C3D3A3，….按这样的规律进行下去，则点A5到x轴的距离是______．
22.已知菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，E为AD上的动点，F在CD上，且AE+CF=1，设△BEF的面积为y，AE=x，当点E运动时，y与x的函数关系式是______．
三、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题7分)
尺规作图题(利用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)．
(1)如图1，作出△ABC的外接圆⊙O．
(2)如图2，点P是⊙O内一定点.过点P作弦AB，使点P是弦AB的中点．
24.(本小题8分)
如图，聪聪想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地面的距离(AB)为16m，又测得从A处看建筑物底部C的俯角α为30°，看建筑物顶部D的仰角β为53°，且AB，CD都与地面垂直，点A，B，C，D在同一平面内．
(1)求AB与CD之间的距离(结果保留根号)．
(2)求建筑物CD的高度(结果精确到1m)．
(参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53≈1.3， 3≈1.7)
25.(本小题9分)
某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售.当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量y(kg)与每千克售价x(元)满足一次函数关系．
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到1800元？
(3)当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
26.(本小题9分)
在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，点D是BC的中点.四边形DEFG是菱形(D,E,F,G按逆时针顺序排列)，∠EDG=60°，且DE=2，菱形DEFG可以绕点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为α．

(1)在菱形DEFG绕点D旋转的过程中，当点E在线段DC上时，如图①，请直接写出AG与CE的数量关系及α的值；
(2)当菱形DEFG绕点D旋转到如图②所示的位置时，(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．
27.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE与⊙O相切，交BC于点E，连接OE，CD=2 3，∠ACB=30°．
(1)判断DE与BC的位置关系，并说明理由；
(2)若以AB、OE的长为方程x2+bx+c=0两个实数根，求b的值；
(3)求图中以线段CD、BC和BD所围成图形的面积．
28.(本小题11分)
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3,1)，二次函数y=13x2+bx−32的图象经过点C．
(1)求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a(x−h)2+k的形式；
(2)把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.该图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
2.【答案】A
【解析】解：A、是一元二次方程，故A正确；
B、是二元二次方程，故B错误；
C、是一元一次方程，故C错误；
D、是分式方程，故D错误；
故选：A．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3.【答案】B
【解析】解：从上面看可得到一个圆和圆心．
故选：B．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】C
【解析】解：0.0000412=4.12×10−5．
故选：C．
绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】D
【解析】解：A.a⋅a=a2，故此选项不合题意；
B.(−2a3)2=4a6，故此选项不合题意；
C.(a+1)2=a2+2a+1，故此选项不合题意；
D. 12− 3= 3，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、二次根式的加减分别计算，进而判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及完全平方公式、二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠D=∠ACB=90°，∠E=45°，∠B=30°，
∴∠DFE=45°，∠BAC=60°，
∵AC/​/EF，
∴∠ACF=∠DFE=45°，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA=12×(180°−∠ACF)=67.5°，
∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=127.5°，
故选：A．
根据平行线的性质求出∠ACF=∠DFE=45°，根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可．
此题考查了等腰三角形的性质，熟记“等边对等角”是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A、逆命题为相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意；
B、逆命题为和为180°的两个角互为邻补角，错误，为假命题，不符合题意；
C、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题，符合题意；
D、逆命题为对角线相等的四边形为矩形，错误，是假命题，不符合题意．
故选：C．
写出原命题的逆命题后判定正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
8.【答案】D
【解析】解：一共有数据4+6+6+11+4+1=32(个)，
从小到大排列后第16、17个数分别为162、163，所以中位数为(162+163)÷2=162.5；
数据163出现了11次，次数最多，所以众数为163．
故选：D．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
9.【答案】B
【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，
可得：2a=1×(a+2)，
解得：a=2，
故C(2,2)，
则k=2×2=4．
故选：B．
根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了60%，且原来的平均车速为x千米/小时，
∴新修的高速公路开通后的平均速度为(1+60%)x千米/小时．
根据题意得：240x−240(1+60%)x=3060，
即240x−240(1+60%)x=12．
故选：A．
根据告诉公路开通前后长途客车平均车速间的关系，可得出新修的高速公路开通后的平均速度为(1+60%)x千米/小时，利用时间=路程÷速度，结合新修的高速公路开通后时间比原来缩短了30分钟，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N，交DE于F，
∵DE/​/AC，
∴BF⊥DE，
∴四边形DMNF是矩形，
∴NF=DM，
∵∠A=30°，
∴DM=12AD=x2，BN=12AB=6，
∵DE/​/AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BFBN
∴DE10=6−x26，
∴DE=10−56x，
∴y=12×(10−56x)×x2=−524x2+52x=−524(x−6)2+152，
∵−524<0，
∴抛物线开口向下，又0∴函数图象是以直线x=6为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分，
故选：C．
过点D作DM⊥AC于M，过点B作BN⊥AC于N，交DE于F，得到四边形DMNF是矩形，即NF=DM，证明△BDE∽△BAC，列得DEAC=BFBN，求出DE=10−56x，即可得出函数关系式，由此判断图象．
此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求函数关系式，判断函数图象，正确掌握相似三角形的判定求出DE是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：根据所给函数图象可知，
a>0，b>0，c<0，
所以abc<0，
故①错误．
因为抛物线y=ax2+bx的图象可由抛物线y=ax2+bx+c的图象沿y轴向上平移|c|个单位长度得到，
所以抛物线y=ax2+bx的增减性与抛物线y=ax2+bx+c的增减性一致．
则当x<−1时，y随x的增大而减小，
又x1若x2<−1，
则E，F两点都在对称轴的左侧，
此时y1>y2．
故②错误．
作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，
此时PC+PD的值最小．
将A(−3,0)代入二次函数解析式得，
9a−3b+c=0，
又−b2a=−1，
即b=2a，
所以9a−6a+c=0，
则c=−3a．
又抛物线与y轴的交点坐标为C(0,c)，
则点C坐标为(0,−3a)，
所以点C′坐标为(0,3a)．
又当x=−1时，y=−4a，
即D(−1,−4a)．
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得，
−k+3a=−4a，
则k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a．
将y=0代入得，
x=−37．
所以点P的坐标为(−37,0)．
故③正确．
将方程ax2+b(x−2)+c=−4整理得，
ax2+bx+c=2b−4，
因为方程没有实数根，
所以抛物线y=ax2+bx+c与直线y=2b−4没有公共点，
所以2b−4<−4a，
则2b−4<−2b，
解得b<1，
又b>0，
所以0故④正确．
所以正确的有③④．
故选：B．
根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负及巧妙利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
13.【答案】y(y+4)(y−4)
【解析】解：原式=y(y2−16)
=y(y+4)(y−4)，
故答案为：y(y+4)(y−4)．
原式提取y，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】x≥−2，且x≠1
【解析】解：由题可知，
x+2≥0，
即x≥−2，
又知分母不能等于0，
即x−1≠0，
则x≠1．
故答案为：x≥−2，且x≠1．
要使代数式有意义，则根式里面需要大于等于0，且分母不能为0．
本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15.【答案】14
【解析】解：把4张卡片分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两次抽取的卡片图案相同的结果有4种，
∴两次抽取的卡片图案相同的概率为416=14，
故答案为：14．
根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可．
本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．
16.【答案】−3
【解析】解：∵一元二次方程3x2+7x−9=0的两根分别为x1、x2，
∴x1⋅x2=−93=−3，
故答案为：−3．
根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两根之积等于ca列式计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键．
17.【答案】2x+6
【解析】解：原式=[( x+2)(x−2)x−2−5x−2]⋅2(x−2)x−3
=(x−3)(x+3)x−2⋅2(x−2)x−3
=2(x+3)
=2x+6．
故答案为：2x+6．
直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
18.【答案】43π− 3
【解析】解：如图，连接DE，作DH⊥AE于H，
∵BC=BA，
∴∠BAC=∠C=30°，
∵DA=DE，
∴∠DEA=∠BAC=30°，AE=2AH，
∴DH=12AD，
∵AD=12AB=12×4=2，
∴DH=1，
∴AH= 3DH= 3，
∴AE=2 3，
∴△ADE的面积=12AE⋅DH= 3，
∵∠ADE=180°−∠BAC−∠DEA=120°，
∴扇形DEA的面积=120π×22360=43π，
∴阴影部分的面积=扇形DEA的面积−△DEA的面积=43π− 3．
故答案为：43π− 3．
如图，连接DE，作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性质得到∠DEA=∠BAC=30°，AE=2AH，由直角三角形的性质求出DH=1，AH= 3，得到AE=2 3，求出△ADE的面积=12AE⋅DH= 3，扇形DEA的面积=120π×22360=43π，即可得到阴影部分的面积=扇形DEA的面积−△DEA的面积=43π− 3．
本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，关键是由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出AE的长．
19.【答案】(6−2a,−2b)
【解析】解：过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，
则∠ANC′=∠AMC=90°，
∵△ABC与△AB′C′的相似比为1：2，
∴ACAC′=12，
∵∠NAC′=∠CAM，
∴△ACM∽△AC′N，
∴AMAN=CMC′N=ACAC′，
∵点A(2,0)，点C(a,b)，
∴OA=2，OM=a，CM=b，
∴AM=a−2，
∴a−2AN=bC′N=12，
∴AN=2a−4，C′N=2b，
∴ON=AN−OA=2a−6，
∴点C′的坐标为(6−2a,−2b)，
故答案为：(6−2a,−2b)．
过C作CM⊥AB于M，过C′⊥AB′于N，则∠ANC′=∠AMC=90°，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查的是位似变换和坐标与图形性质，掌握相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
20.【答案】2 2
【解析】解：如图，作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，
，
在y=−x+6中，当x=0，y=−x+6=0+6=6，则B(0,6)，
当y=0时，−x+6=0，
解得：x=6，则A(6,0)，
∴OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB= OB2+OA2= 62+62=6 2，
∵OH⊥AB，OB=OA，
∴BH=AH，
∴OH=12AB=12×6 2=3 2，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO=90°，
∴PQ= OP2−OQ2= OP2−( 2)2= OP2−2，
∵S△PQO=12PQ⋅OQ，
∴当PQ最小时，S△PQO最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB时，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO最小，此时OP=3 2，
∴PQ= OP2−2= (3 2)2−2=4，
∴S△PQO=12PQ⋅OQ=12×4× 2=2 2，
故答案为：2 2．
作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，先求出点A、B的坐标，在计算出AB=6 2，则OH=3 2，再利用切线的性质可得∠OQP=90°，由勾股定理可得PQ= OP2−2，于是可得当OP⊥AB时，即P点运动到H点时，OP最小，S△PQO最小，然后求出此时的PQ的长度，进行计算即可得到答案．
本题考查了切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
21.【答案】316
【解析】解：在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，
正方形A1B1C1D1的边长为 22+12= 5，
∵∠B1OC1=∠C1D1C2=90°，∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴△B1OC1∽C1D1C2△，
∴D1C2=12 5，
依此可得D3C4=18 5，D4C5=116 5，
∴C4A5=316 5，
∴点A5到x轴的距离是316 5÷ 5=316．
故答案为：316．
根据勾股定理可得正方形A1B1C1D1的边长为 22+12= 5，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的12，依次得到第四个正方形和第五个正方形的边长，进一步得到点A5到x轴的距离．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，求出第四个正方形和第五个正方形的边长是解题的关键．
22.【答案】y= 34(x−12)2+3 316(0≤x≤1)
【解析】解：连接BD，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为1，∠DAB=60°，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
DE=CF∠BDE=∠CBD=BC，
∴△BDE≌△BCF(SAS)；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°，
即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；
∴BE=EF，△BEF的面积y= 34BE2，
作BE′⊥AD于E′，则AE′=12AD=12，BE′= 32，
∵AE=x，
∴EE′=12−x，
∴BE2=(12−x)2+( 32)2，
∴y= 34(x−12)2+3 316(0≤x≤1)；
故y与x的函数关系式是y= 34(x−12)2+3 316(0≤x≤1)．
证明△BEF是等边三角形，求出△BEF的面积y与x的函数关系式，即可得出答案．
此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、动点问题的函数图象、三角形的面积问题．求出y与x的函数关系式是解决问题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1中，⊙O即为所求；
(2)如图2中，线段AB即为所求．

【解析】(1)如图1作任意两边的垂直平分线，以交点O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O为所求圆；
(2)如图2过点P作OP的垂线交圆O于点A和B，则线段AB即为所求弦．
本题考查作图−复杂作图，垂径定理，三角形的外接圆等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：(1)作AM⊥CD于M，
则四边形ABCM为矩形，
∴CM=AB=16，AM=BC，
在Rt△ACM中，tan∠CAM=CMAM，
则AM=CMtan∠CAM=16tan30∘=16 3(m)，
答：AB与CD之间的距离16 3m；
(2)在Rt△AMD中，tan∠DAM=DMAM，
则DM=AM⋅tan∠DAM≈16×1.7×1.3=35.36，
∴DC=DM+CM=35.36+16≈51(m)，
答：建筑物CD的高度约为51m．
【解析】(1)作AM⊥CD于M，根据矩形的性质得到CM=AB=16，AM=BC，根据正切的定义求出AM；
(2)根据正切的定义求出DM，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意设y=kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则5k+b=9506k+b=900，
解得：k=−50b=1200，
则y与x的函数关系式；y=−50x+1200(4≤x≤7)，
(2)∵定价为x元，每千克利润(x−4)元，
由(1)知销售量为y=−50x+1200(4≤x≤7)，
则(x−4)(−50x+1200)=1800，
解得：x1=22(舍)，x2=6，
∴超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
(3)设利润为W元，
根据题意可得：W=(x−4)(−50x+1200)，
即W=−50x2+1400x−4800=−50(x−14)2+5000，
∵a=−50<0，对称轴为x=14，
∴当x<14时，W随x的增大而增大，
又∵4≤x≤7，
∴x=7时，W最大值=−50(7−14)2+5000=2550元
∴当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元．
【解析】(1)根据题意设y=kx+b，当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，则5k+b=9506k+b=900，求得k、b即可；
(2)定价为x元，每千克利润(x−4)元，销售量为y kg，则(x−4)y=1800即(x−4)(−50x+1200)=1800，解方程即可；
(3)设利润为W，根据题意可得W=(x−4)(−50x+1200)=−50x2+1400x−4800化为顶点式即可求出合适的值．
本题考查二次函数的应用以及一元二次方程的解法，属于综合题，关键是理解题意，搞清楚数量关系．
26.【答案】(1)解：AG=CE，α=60°，理由：
在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，AB=6，
则AC=ABtan30°=2 3，则BC=2AC=4 3，
∵点D是BC的中点，则BD=CD=AD=2 3，
则AG=AD−GD=2 3−2，CE=CD−DE=2 3−2=AG，
在△ACD中，AD=CD，∠C=60°，
则△ACD为等边三角形，则∠ADC=60°=α；
(2)(1)的结论成立，理由：
证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，

∵∠ADG+∠GDC=60°=∠GDC+∠CDE，
∴∠ADG=∠CDE，
∵AD=CD，GDD=ED，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴AG=CE，∠DCE=∠DAN，
∵∠CTD=∠CTN，
∴∠ANC=∠ADC=60°=α；
(3)解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，

根据图形的对称性，当B、E、F共线时，且点D是BC的中点，
则F、G、C共线，分别过点G、E作BC的垂线，垂足分别为H、M，GM交CE于点P，
则∠EBH=∠HDE=∠MDG=∠MCG=60°，即△BDE、△DGC均为等边三角形，
则BH=HD=DM=CM=14BC= 3，
由(1)知△ADC为等边三角形，则AM⊥CD，则A、M、P、G共线，
由(1)、(2)知，∠MPC=60°，则PM=MCtan60∘=1，
在等边三角形ACD中，AC=2 3，则AM=AC⋅sin60°=3，
则AP=AM+MP=3+1=4，
则△APC的面积=12×CM⋅AP=12×4× 3=2 3；
当B、F重合时，也符合题意，如下图：

由(1)、(2)知，∠MPC=60°，
在Rt△AEC中，AC=2 3，AE=AB=BE=6−2=4，
则tan∠AEC=AEAC=42 3=2 3，
设AM= 3x，则PM=x，则CM=AMtan∠ACE= 3x2 3=32x，
而AC2=AM2+CM2，
即12=3x2+94x2，
解得：x=4 7，
则△APC的面积=12×AM⋅PC=12× 3x×(x+32x)=20 37；
综上，△APC的面积为20 37或2 3．
【解析】(1)由AG=AD−GD=2 3−2，CE=CD−DE=2 3−2=AG，即可求解；
(2)证明△ADG≌△CDE(SAS)，进而求解；
(3)证明△BDE、△DGC均为等边三角形，证明A、M、P、G共线，由(1)、(2)知，∠MPC=60°，则PM=MCtan60∘=1，在等边三角形ACD中，AC=2 3，则AM=AC⋅sin60°=3，则AP=AM+MP=3+1=4，进而求解；当B、F重合时，也符合题意，由(1)、(2)知，∠MPC=60°，则tan∠AEC=AEAC=42 3=2 3，
在△APC中，用解直角三角形的方法即可求解．
本题为四边形综合题，涉及到三角形全等、解直角三角形、面积的计算、勾股定理的运用，题目难度很大，分类求解是本题解题的关键．
27.【答案】解：(1)DE⊥BC，理由如下，如图，连接OD，BD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=CD，
∵OA=OB，
∴OD//BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE
∴DE⊥BC；
(2)在Rt△BCD中，∠ACB=30°，
∴BC=2BD，BC2−BD2=CD2，
∴(2BD)2−BD2=(2 3)2，
∴BD=2，
∴AB=BC=4，
在Rt△DCE中，∠ACB=30°，DE=12CD= 3，
在Rt△DOE中，OE= OD2+DE2= 22+( 3)2= 7，
∴b=−(AB+OE)=−(4+ 7)=−4− 7，
(3)连接OD，BD，作DF⊥OB于F，

∵AB=BC，
∴∠A=∠ACB=30°，
∴∠DOB=2∠A=60°，
∴DF= 32OD= 3，
∴S△BOD=12OB⋅DF=12×2× 3= 3，
∵S△BCD=12BD⋅CD=12×2×2 3=2 3，S扇形BOD=60π×22360=23π，
∴线段CD、BC和BD所围成图形的面积为：3 3−23π．
【解析】(1)连接OD，BD，可证得OD是△ACB的中位线，进一步得出结论；
(2)在Rt△BCD 中求得BC，在 RtDOE中求得OE，根据根与系数的关系求得b的值；
(3)连接OD，BD，作DF⊥OB，求得等边三角形BOD的面积，Rt△BCD的面积，扇形BDO的面积，进而求得结果．
此题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，扇形面积公式，30°直角三角形性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握切线的性质，添加辅助线构造直角三角形．
28.【答案】解：(1)∵点C(3,1)在二次函数的图象上，
∴代入C(3,1)得3+3b−32=1，
解得b=−16，
∴二次函数的解析式为y=13x2−16x−32=13(x−14)2−7348;
(2)如图，作CK⊥x轴，垂足为K，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°
∴AB=AC，∠BAO+∠CAK=90°，
又∵∠CAK+∠ACK=90°，
∴∠BAO=∠ACK，
在△BAO和△ACK中，
∠BOA=∠AKC∠BAO=∠ACKAB=AC,
∴△BAO≌△ACK(AAS)，
∴OA=CK=1，OB=AK=2，
∴A点坐标为(1,0)，B点坐标为(0,2)，
∴当点B平移到点D时，D点坐标为(m,2)，
代入y=13x2−16x−32得2=13m2−16m−32，
解得m=−3(舍去)或m=72，
∴BD=72，
∵AB= OB2+AO2= 5，
∴△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH=72×2+12× 5× 5=192，
∴求△ABC扫过区域的面积为192;
(3)存在，理由如下：
当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，
∵△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，∠PBA=90°，
∴∠PBG+∠ABO=90°，
又∵∠PBG+∠BPG=90°，
∴∠ABO=∠BPG，
在△BPG和△ABO中，
∠BOA=∠PGB∠ABO=∠BPGAB=PB,
∴△BPG≌△ABO(AAS)，
∴PG=OB=2，AO=BG=1，
∴P点坐标为(−2,1)，
当x=−2时，y≠1，
∴点P(−2,1)不在抛物线上，
当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，
同理可知△PAF≌△ABO(AAS)，
∴FP=OA=1，AF=OB=2，
∴P点坐标为(−1,−1)，
当x=−1时，y=−1，
∴点P(−1,−1)在抛物线上，
∴P点坐标为(−1,−1)．
【解析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a(x−h)2+k的形式；
(2)作CK⊥x轴，垂足为K，首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA=CK，OB=AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH求解即可；
(3)当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．
本题主要考查二次函数综合．身高/cm
160
161
162
163
164
165
人数
4
6
6
11
4
1