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2024年湖南省邵阳市邵东市中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2024年湖南省邵阳市邵东市中考数学三模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−2024的倒数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−8B. 7×10−9C. 0.7×10−8D. 0.7×10−9
4.下列运算正确的是( )
A. (−a2)⋅a3=−a6B. (a3)2=a5
C. x9÷(−x)3=−x3D. (−2a4)3=−8a12
5.“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》.将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是( )
A. 无B. 以C. 广D. 才
6.如图，已知∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，则∠4的度数等于( )
A. 40°
B. 36°
C. 44°
D. 100°
7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是( )
A. x+y=354x+2y=94B. x+y=352x+4y=94C. y−x=35x+2y=94D. y−x=354x−2y=94
8.若关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0的一个根是x=1，则代数式2027−a−b的值为( )
A. −2023B. 2023C. −2024D. 2024
9.下列说法正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
10.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若AB=BC，BE=AC=4，则△CEF的周长为( )
A. 2 3+2B. 2 5+2C. 3+2D. 5+2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：x2y−4y3=______．
12.若x为正整数，要使 3−x有意义，则x= ______(写出1个即可)．
13.点(a,−2a)在反比例函数y=−8x的图象上，则a的值为______．
14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是______．
15.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接AO，CE=2，AB=8，则⊙O的半径为______．
16.已知关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为非负数，则k的取值范围为______．
17.如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD=6cm，∠BAC=60°，则这个圆锥的侧面积为______cm2.(结果保留π)．
18.如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点(点E不与点B、C重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：2÷(−14)−|− 18|+(15)−1+4cs45°．
20.(本小题6分)
先化简代数式a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2)，再从2，−2，1，−1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
21.(本小题8分)
每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点.为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)填空：m= ______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)若把D等级定为“优秀”等级，C等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
22.(本小题8分)
随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
23.(本小题9分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE.若BD=4，AE=2 10，求菱形ABCD的面积．
24.(本小题9分)
华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示AC=1.75m，AD=2.45m，∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.(结果精确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33， 2≈1.41)
25.(本小题10分)
如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
(1)求证：FC=FB；
(2)求证：CG是⊙O的切线；
(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径．
26.(本小题10分)
有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．
(1)当a=−316，b=32，c=5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由．
(2)在第(1)问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得S△ABE=16 63，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．
(3)四边形COBD为“乐学四边形”，且CD=OC.抛物线还满足：
①a<0，ab≠0，c=2；
②△ABD为等腰直角三角形；
点P(x0,y0)是抛物线y=ax2+bx+c上任意一点，且t=y0− 3x0，若t≤m+25312024恒成立，求m的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：0.000 000 007=7×10−9．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：A.(−a2)⋅a3=−a5，故本选项不合题意；
B.(a3)2=a6，故本选项不合题意；
C.x9÷(−x)3=−x6，故本选项不合题意；
D.(−2a4)3=−8a12，故本选项符合题意．
故选：D．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由展开图可知，正方体中和“学”相对的字是“广”，
故选：C．
根据相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即可得到答案．
题考查了正方体的展开图，掌握正方体的平面展开图的特点——对面无邻点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴PQ//MN，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=140°，
∴∠4=40°，
故选：A．
根据∠1=40°，∠2=40°，可得PQ//MN，从而∠3+∠4=180°，即可得∠4=40°．
本题考查平行线的性质及判定，解题的关键是掌握平行线性质定理与判定定理，题目较简单．
7.【答案】B
【解析】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，得x+y=352x+4y=94，
故选：B．
等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，鸡的足的数量+兔的足的数量=94．
本题考查了二元一次方程组的应用．注意：每只兔子有4只足，每只鸡有2只足．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
8.【答案】D
【解析】解：将x=1代入原方程得：a+b−3=0，
∴a+b=3，
∴2027−a−b=2027−(a+b)=2027−3=2024．
故选：D．
将x=1代入原方程，可得出a+b=3，再将其代入2027−a−b=2027−(a+b)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数是2和5，平均数是3，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：根据作图过程可知：BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴BE⊥AC，AE=CE=12AC=2，
∵BE=AC=4，
∴BC= BE2+CE2= 42+22=2 5，
根据作图过程可知：PQ是BC的垂直平分线，
∴BF=EF，
∴△CEF的周长=CE+EF+CF=CE+BF+CF=CE+BC=2 5+2，
故选：B．
根据作图过程可得BE平分∠ABC，PQ是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
11.【答案】y(x+2y)(x−2y)
【解析】解：原式=y(x2−4y2)
=y(x+2y)(x−2y)．
故答案为：y(x+2y)(x−2y)．
先提公因式，再用平方差分解．
本题考查因式分解，根据多项式特征，选择恰当的分解方法是求解本题的关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
所以x=3符合题意．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件可得3−x≥0，再解即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】±2
【解析】解：∵点M(a,−2a)在反比例函数y=−8x的图象上．
∴−2a=−8a．
∴解得：a=±2，
故答案为：±2．
将点M坐标代入反比例函数解析式得出关于a的方程，解之可得．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
14.【答案】16
【解析】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】5
【解析】解：∵AB⊥CD，AB=8，
∴AE=BE=4，
设OA=r，
∵CE=2，
∴OE=r−2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2，
即：r2=(r−2)2+42，
解得r=5，即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
由垂径定理得出AE=BE=4，设OA=r，则OE=r−2再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16.【答案】k≥−2且k≠−1
【解析】解：xx−1−2=k1−x，
x−2(x−1)=−k，
x−2x+2=−k，
−x=−2−k，
x=2+k，
∵关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为非负数，分式的分母x−1≠0，
∴2+k≥0且2+k−1≠0，
解得：k≥−2且k≠−1，
∴k的取值范围为：k≥−2且k≠−1，
故答案为：k≥−2且k≠−1．
先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，根据分式方程的解是非负数，分式的分母不能为0，列出关于k的不等式，解不等式求出答案即可．
本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和解一元一次不等式的一般步骤．
17.【答案】24π
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
在Rt△ABD中，
∵AD=6cm，
∴BD=AD⋅tan∠BAD=6× 33=2 3(cm)，
∴AB=2BD=4 3(cm)，
∴这个圆锥的侧面积为2 3×4 3π=24π(cm2)，
故答案为：24π．
根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用公式求得答案即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】 5−1
【解析】解：∵AF⊥DE，
∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上，
如图，取AD中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求，
∵正方形的边长为2，
∴DC=2，DH=1，
∴CH= 22+12= 5，
∵HP=1，
∴CP= 5−1．
故答案为： 5−1．
以AD为直径作⊙H，连接CH，交⊙H为点P，根据点圆最值的性质，则PC为最小距离，再根据勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键．
19.【答案】解：原式=2×(−4)−3 2+5+4× 22
=−8−3 2+5+2 2
=−3− 2．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，有理数除法法则，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a−1)2(a+2)(a−2)÷a+2−3a+2
=(a−1)2(a+2)(a−2)⋅a+2a−1
=a−1a−2，
∵a+2≠0，a−2≠0，a−1≠0，
∴a只能取−1，
当a=−1时，原式=−1−1−1−2=23．
【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】24
【解析】解：(1)1−12%−36%−28%=24%，
∴m=24，
故答案为：24；
(2)B组对应扇形的圆心角的度数为：360°×24%=86.4°；
(3)800×(36%+28%)=512人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
(1)用1减去其它三组的频率，即可得出答案；
(2)用360度乘以B组的百分比即可得出答案；
(3)利用样本估计总体即可得出答案．
本题考查扇形统计图、频数分布表，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，
由题意得：16x+0.2=12x，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，
答：甲型充电桩的单价为0.8元，乙型充电桩的单价为0.6元；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，
由题意得：30−m≤2m，
解得：m≥10，
设所需费用为w元，
由题意得：w=0.8m+0.6×(30−m)=0.2m+18，
∵0.2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值，
此时，30−m=30−10=20，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
【解析】(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设所需费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OA=12AC，AC⊥BD，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE//OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形．
(2)解：∵BD=4，AE=2 10，
∴OD=OB=12BD=2，
∴CE=OD=2，
∵∠ACE=90°，
∴AC= AE2−CE2= (2 10)2−22=6，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×4=12，
∴菱形ABCD的面积为12．
【解析】(1)由菱形的性质得OC=OA=12AC，AC⊥BD，而DE//AC，DE=12AC，所以DE//OC，DE=OC，而∠COD=90°，即可证明四边形OCED是矩形；
(2)由BD=4，得CE=OD=OB=2，则AC= AE2−CE2=6，求得S菱形ABCD=12AC⋅BD=12．
此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，推导出DE=OC是解题的关键．
24.【答案】解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∴∠AFC=∠DFC=90°，
在Rt△ACF中，∠DAC=53°，AC=1.75m，
∴CF=AC⋅sin53°≈1.75×0.8=1.4(m)，
AF=AC⋅cs53°≈1.75×0.6=1.05(m)，
∵AD=2.45m，
∴DF=AD−AF=2.45−1.05=1.4(m)，
在Rt△CDF中，CD= CF2+DF2= 1．42+1．42=1.4 2≈2.0(m)，
∴浮雕像CD的高度约为2.0m．
【解析】过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据垂直定义可得∠AFC=∠DFC=90°，然后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出CF和AF的长，从而求出DF的长，最后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OC，BC，
∵CH//BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴CEDF=AEAF，AEAF=EHFB，
∴CEDF=EHFB，
∵CE=EH(E为CH中点)，
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
即CF=BF．
(2)证明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
(3)解：∵BF=CF=DF(已证)，EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG，FB=FE=2，
∴由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2−BF2，
∴FG2−4FG−12=0，
解得：FG=6，FG=−2(舍去)，
由勾股定理得：
AB=BG= 62−22=4 2，
∴⊙O的半径是2 2．
【解析】(1)连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．
(2)只要证明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
(2)由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割线定理得出(2+FG)2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2−BF2，推出FG2−4FG−12=0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度
26.【答案】解：(1)四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”，理由如下：
当a=−316，b=32，c=5时，代入抛物线y=ax2+bx+c得y=−316x2+32x+5，
令y=0，得−316x2+32x+5=0，
解得x1=4−8 63，x2=4+8 63，
令x=0，得y=5，
∴A(4−8 63,0)，B(4+8 63,0)，C(0,5)，
∵y=−316x2+32x+5=−316(x−4)2+8，
∴顶点D(4,8)，
∴OC=5，
∴CD= (4−0)2+(8−5)2=5
∴OC=CD，
∴四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”．
(2)存在，点E的横坐标为4+4 2．
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，
则S△ABE=12AB⋅EH=16 63，
由(1)可知A(4−8 63,0)，B(4+8 63,0)，
∴AB=4+8 63−(4−8 63)=16 63，
∴EH=2，
∵点E在第一象限内，
∴点E的纵坐标为2，
令y=2，得−316(x−4)2+8=2，
解得x1=4+4 2，x2=4−4 2，(舍去)，
∴点E的横坐标为4+4 2．
(3)在抛物线y=ax2+bx+2中，顶点D的坐标为(−b2a,8a−b24a)，C(0,2)，
∵CD=OC．
∴CD2=OC2，
∴(−b2a−0)2+(8a−b24a−2)2=22①，
∵△ABD为等腰直角三角形，过点D作DK⊥AB于点K，如图，
∴DK=12AB，
在y=ax2+bx+2中，令y=0，得ax2+bx+2=0，
解得x1=−b− b2−8a2a，x2=−b+ b2−8a2a，
∴A(−b+ b2−8a2a,0)，B(−b− b2−8a2a,0)，
∴AB=−b− b2−8a2a−−b+ b2−8a2a=− b2−8aa，
∵DK=8a−b24a，
∴8a−b24a=−12× b2−8aa②，
联立①②，且ab<0，
得a=−13，b=2 33，
∴抛物线解析式为y=−13x2+2 33x+2，
∴t=y0− 3x0=−13x02+2 33x0+2− 3x0=−13x02− 33x0+2=−13(x0+ 32)2+94，
∴当x0=− 32时，t有最大值94，
∵t≤m+25312024恒成立，
∴tmax≤m+25312024，
∴94≤m+25312024，
∴m≥20232024，
∴m的最小值为20232024．
【解析】(1)根据题意，求出抛物线的解析式，令y=0，令x=0，求出A、B、C的坐标，求出抛物线的顶点坐标，求出OC，CD的长度，即可解答；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，求出S△ABE、AB的值，求出EH，得到点E的纵坐标为2，令y=2，代入解析式求解即可；
(3)根据题意得到①②式，联立①②求出抛物线解析式为y=−13x2+2 33x+2，表示出t即可解答．
本题考查二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定，二次函数的最值问题是解题的关键．组别
分数段
频数
频率
A
60≤x<70
6
12%
B
70≤x<80
12
m%
C
80≤x<90
18
36%
D
90≤x<100
n
28%
1.−2024的倒数是( )
A. −2024B. 2024C. −12024D. 12024
2.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗.目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为( )
A. 7×10−8B. 7×10−9C. 0.7×10−8D. 0.7×10−9
4.下列运算正确的是( )
A. (−a2)⋅a3=−a6B. (a3)2=a5
C. x9÷(−x)3=−x3D. (−2a4)3=−8a12
5.“非学无以广才”，意为不学习就难以增长才干，出自诸葛亮《诫子书》.将“非学无以广才”六个字分别写在一个正方体的六个面上，展开图如图所示，那么正方体中和“学”相对的字是( )
A. 无B. 以C. 广D. 才
6.如图，已知∠1=40°，∠2=40°，∠3=140°，则∠4的度数等于( )
A. 40°
B. 36°
C. 44°
D. 100°
7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：一个笼中装有鸡和兔子，上面数共有35个头，下面数共有九十四只脚，问鸡兔各有几只？如果设鸡有x只、兔有y只，则列出正确的方程组是( )
A. x+y=354x+2y=94B. x+y=352x+4y=94C. y−x=35x+2y=94D. y−x=354x−2y=94
8.若关于x的一元二次方程ax2+bx−3=0的一个根是x=1，则代数式2027−a−b的值为( )
A. −2023B. 2023C. −2024D. 2024
9.下列说法正确的是( )
A. 为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式
B. 一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数和平均数都是3
C. 若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则乙组数据比甲组数据更稳定
D. “明天下雨概率为0.5”，是指明天有一半的时间可能下雨
10.如图，在△ABC中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：
①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于M，N两点；
②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E；
③分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段PQ，PQ与BC于点F；
④连接EF，若AB=BC，BE=AC=4，则△CEF的周长为( )
A. 2 3+2B. 2 5+2C. 3+2D. 5+2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.分解因式：x2y−4y3=______．
12.若x为正整数，要使 3−x有意义，则x= ______(写出1个即可)．
13.点(a,−2a)在反比例函数y=−8x的图象上，则a的值为______．
14.中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《孟子》的概率是______．
15.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接AO，CE=2，AB=8，则⊙O的半径为______．
16.已知关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为非负数，则k的取值范围为______．
17.如图，BC为圆锥底面直径，AD为圆锥的高，若AD=6cm，∠BAC=60°，则这个圆锥的侧面积为______cm2.(结果保留π)．
18.如图，点E是正方形ABCD边BC上一动点(点E不与点B、C重合)，连接DE，过点A作AF⊥DE交CD于F，垂足为P，连接PC，已知正方形的边长为2，则PC的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：2÷(−14)−|− 18|+(15)−1+4cs45°．
20.(本小题6分)
先化简代数式a2−2a+1a2−4÷(1−3a+2)，再从2，−2，1，−1四个数中选择一个你喜欢的数代入求值．
21.(本小题8分)
每年的8月8日是“全民健身日”，全民健身旨在全面提高国民体质和健康水平，以青少年和儿童为重点.为了解某校初三年级学生对健身知识的掌握情况，随机抽取了50名学生进行问卷调查，并将他们的成绩进行整理得到下列不完整的统计图表．
请根据所给信息，解答以下问题：
(1)填空：m= ______；
(2)请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
(3)若把D等级定为“优秀”等级，C等级定为“良好”等级，请你估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人？
22.(本小题8分)
随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量.为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.2万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．
(1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？
23.(本小题9分)
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE.若BD=4，AE=2 10，求菱形ABCD的面积．
24.(本小题9分)
华为手机自带AR测量工具，用手机就能测量长度和身高，测距的原理可以简单概括为三角形测量法.如图①为学校外墙上的浮雕像，打开手机软件后将手机摄像头的屏幕准星对准浮雕像底部按键，再对准顶部按键即可测量出浮雕像的高度，其数学原理如图②所示，测量者AB与浮雕像CD垂直于地面BE，若手机显示AC=1.75m，AD=2.45m，∠CAD=53°，求浮雕像CD的高度.(结果精确到0.1，参考数据sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33， 2≈1.41)
25.(本小题10分)
如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
(1)求证：FC=FB；
(2)求证：CG是⊙O的切线；
(3)若FB=FE=2，求⊙O的半径．
26.(本小题10分)
有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．
(1)当a=−316，b=32，c=5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由．
(2)在第(1)问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得S△ABE=16 63，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．
(3)四边形COBD为“乐学四边形”，且CD=OC.抛物线还满足：
①a<0，ab≠0，c=2；
②△ABD为等腰直角三角形；
点P(x0,y0)是抛物线y=ax2+bx+c上任意一点，且t=y0− 3x0，若t≤m+25312024恒成立，求m的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2024=−12024，
故选：C．
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查轴对称图形与中心对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，沿对称轴折叠后图形两部分可重合；判断中心对称图形的关键是寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】
解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：0.000 000 007=7×10−9．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】D
【解析】解：A.(−a2)⋅a3=−a5，故本选项不合题意；
B.(a3)2=a6，故本选项不合题意；
C.x9÷(−x)3=−x6，故本选项不合题意；
D.(−2a4)3=−8a12，故本选项符合题意．
故选：D．
选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由展开图可知，正方体中和“学”相对的字是“广”，
故选：C．
根据相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即可得到答案．
题考查了正方体的展开图，掌握正方体的平面展开图的特点——对面无邻点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠1=40°，∠2=40°，
∴∠1=∠2，
∴PQ//MN，
∴∠3+∠4=180°，
∵∠3=140°，
∴∠4=40°，
故选：A．
根据∠1=40°，∠2=40°，可得PQ//MN，从而∠3+∠4=180°，即可得∠4=40°．
本题考查平行线的性质及判定，解题的关键是掌握平行线性质定理与判定定理，题目较简单．
7.【答案】B
【解析】解：设鸡有x只，兔有y只，
根据题意，得x+y=352x+4y=94，
故选：B．
等量关系为：鸡的只数+兔的只数=35，鸡的足的数量+兔的足的数量=94．
本题考查了二元一次方程组的应用．注意：每只兔子有4只足，每只鸡有2只足．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
8.【答案】D
【解析】解：将x=1代入原方程得：a+b−3=0，
∴a+b=3，
∴2027−a−b=2027−(a+b)=2027−3=2024．
故选：D．
将x=1代入原方程，可得出a+b=3，再将其代入2027−a−b=2027−(a+b)中，即可求出结论．
本题考查了一元二次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：A、为检测一批灯泡的质量，应采取抽样调查的方式，故A符合题意；
B、一组数据“1，2，2，5，5，3”的众数是2和5，平均数是3，故B不符合题意；
C、若甲、乙两组数据的方差分别是0.09，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定，故C不符合题意；
D、“明天下雨概率为0.5”，是指明天下雨的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
根据概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，算术平均数，众数，方差，全面调查与抽样调查，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：根据作图过程可知：BE平分∠ABC，
∵AB=BC，
∴BE⊥AC，AE=CE=12AC=2，
∵BE=AC=4，
∴BC= BE2+CE2= 42+22=2 5，
根据作图过程可知：PQ是BC的垂直平分线，
∴BF=EF，
∴△CEF的周长=CE+EF+CF=CE+BF+CF=CE+BC=2 5+2，
故选：B．
根据作图过程可得BE平分∠ABC，PQ是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
本题考查了作图−复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
11.【答案】y(x+2y)(x−2y)
【解析】解：原式=y(x2−4y2)
=y(x+2y)(x−2y)．
故答案为：y(x+2y)(x−2y)．
先提公因式，再用平方差分解．
本题考查因式分解，根据多项式特征，选择恰当的分解方法是求解本题的关键．
12.【答案】3(答案不唯一)
【解析】解：由题意得：3−x≥0，
解得：x≤3，
所以x=3符合题意．
故答案为：3(答案不唯一)．
根据二次根式有意义的条件可得3−x≥0，再解即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】±2
【解析】解：∵点M(a,−2a)在反比例函数y=−8x的图象上．
∴−2a=−8a．
∴解得：a=±2，
故答案为：±2．
将点M坐标代入反比例函数解析式得出关于a的方程，解之可得．
此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
14.【答案】16
【解析】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，即AC、CA，
∴抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是212=16，
故答案为：16．
画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】5
【解析】解：∵AB⊥CD，AB=8，
∴AE=BE=4，
设OA=r，
∵CE=2，
∴OE=r−2，
在Rt△AEO中，由勾股定理得OA2=AE2+OE2，
即：r2=(r−2)2+42，
解得r=5，即⊙O的半径为5，
故答案为：5．
由垂径定理得出AE=BE=4，设OA=r，则OE=r−2再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
16.【答案】k≥−2且k≠−1
【解析】解：xx−1−2=k1−x，
x−2(x−1)=−k，
x−2x+2=−k，
−x=−2−k，
x=2+k，
∵关于x的分式方程xx−1−2=k1−x的解为非负数，分式的分母x−1≠0，
∴2+k≥0且2+k−1≠0，
解得：k≥−2且k≠−1，
∴k的取值范围为：k≥−2且k≠−1，
故答案为：k≥−2且k≠−1．
先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，根据分式方程的解是非负数，分式的分母不能为0，列出关于k的不等式，解不等式求出答案即可．
本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程和解一元一次不等式的一般步骤．
17.【答案】24π
【解析】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
在Rt△ABD中，
∵AD=6cm，
∴BD=AD⋅tan∠BAD=6× 33=2 3(cm)，
∴AB=2BD=4 3(cm)，
∴这个圆锥的侧面积为2 3×4 3π=24π(cm2)，
故答案为：24π．
根据题意求得圆锥的底面半径和母线长，然后利用公式求得答案即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】 5−1
【解析】解：∵AF⊥DE，
∴点P的运动轨迹是以AD为直径的圆上一段圆弧上，
如图，取AD中点H，连接CH，交⊙H为点P，则PC为所求，
∵正方形的边长为2，
∴DC=2，DH=1，
∴CH= 22+12= 5，
∵HP=1，
∴CP= 5−1．
故答案为： 5−1．
以AD为直径作⊙H，连接CH，交⊙H为点P，根据点圆最值的性质，则PC为最小距离，再根据勾股定理计算即可．
本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键．
19.【答案】解：原式=2×(−4)−3 2+5+4× 22
=−8−3 2+5+2 2
=−3− 2．
【解析】利用绝对值的性质，负整数指数幂，有理数除法法则，特殊锐角三角函数值计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a−1)2(a+2)(a−2)÷a+2−3a+2
=(a−1)2(a+2)(a−2)⋅a+2a−1
=a−1a−2，
∵a+2≠0，a−2≠0，a−1≠0，
∴a只能取−1，
当a=−1时，原式=−1−1−1−2=23．
【解析】先算括号内的减法，再把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出即可．
本题考查了分式的混合运算和求值和分式有意义的条件，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
21.【答案】24
【解析】解：(1)1−12%−36%−28%=24%，
∴m=24，
故答案为：24；
(2)B组对应扇形的圆心角的度数为：360°×24%=86.4°；
(3)800×(36%+28%)=512人，
答：估计该校初三年级800名学生中达到“优秀”和“良好”等级的学生共有512人．
(1)用1减去其它三组的频率，即可得出答案；
(2)用360度乘以B组的百分比即可得出答案；
(3)利用样本估计总体即可得出答案．
本题考查扇形统计图、频数分布表，掌握统计图中各个数量之间的关系是正确解答的前提．
22.【答案】解：(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，
由题意得：16x+0.2=12x，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.2=0.6+0.2=0.8，
答：甲型充电桩的单价为0.8元，乙型充电桩的单价为0.6元；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，
由题意得：30−m≤2m，
解得：m≥10，
设所需费用为w元，
由题意得：w=0.8m+0.6×(30−m)=0.2m+18，
∵0.2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，w取得最小值，
此时，30−m=30−10=20，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需费用最少．
【解析】(1)设乙型充电桩的单价是x元，则甲型充电桩的单价是(x+0.2)元，根据用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等．列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30−m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设所需费用为w元，由题意列出w关于m的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OA=12AC，AC⊥BD，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE//OC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形．
(2)解：∵BD=4，AE=2 10，
∴OD=OB=12BD=2，
∴CE=OD=2，
∵∠ACE=90°，
∴AC= AE2−CE2= (2 10)2−22=6，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×4=12，
∴菱形ABCD的面积为12．
【解析】(1)由菱形的性质得OC=OA=12AC，AC⊥BD，而DE//AC，DE=12AC，所以DE//OC，DE=OC，而∠COD=90°，即可证明四边形OCED是矩形；
(2)由BD=4，得CE=OD=OB=2，则AC= AE2−CE2=6，求得S菱形ABCD=12AC⋅BD=12．
此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、菱形的面积公式等知识，推导出DE=OC是解题的关键．
24.【答案】解：过点C作CF⊥AD，垂足为F，
∴∠AFC=∠DFC=90°，
在Rt△ACF中，∠DAC=53°，AC=1.75m，
∴CF=AC⋅sin53°≈1.75×0.8=1.4(m)，
AF=AC⋅cs53°≈1.75×0.6=1.05(m)，
∵AD=2.45m，
∴DF=AD−AF=2.45−1.05=1.4(m)，
在Rt△CDF中，CD= CF2+DF2= 1．42+1．42=1.4 2≈2.0(m)，
∴浮雕像CD的高度约为2.0m．
【解析】过点C作CF⊥AD，垂足为F，根据垂直定义可得∠AFC=∠DFC=90°，然后在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出CF和AF的长，从而求出DF的长，最后在Rt△CDF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：连接OC，BC，
∵CH//BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴CEDF=AEAF，AEAF=EHFB，
∴CEDF=EHFB，
∵CE=EH(E为CH中点)，
∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠DCB=90°，
∵BF=DF，
∴CF=DF=BF(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
即CF=BF．
(2)证明∵BF切⊙O于B，
∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠FCB+∠BCO=90°，
即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
(3)解：∵BF=CF=DF(已证)，EF=BF=2，
∴EF=FC，
∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°，
∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF，
∴∠G=∠FAG，
∴AF=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG，
∵GBA是⊙O割线，AB=BG，FB=FE=2，
∴由切割线定理得：(2+FG)2=BG×AG=2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2−BF2，
∴FG2−4FG−12=0，
解得：FG=6，FG=−2(舍去)，
由勾股定理得：
AB=BG= 62−22=4 2，
∴⊙O的半径是2 2．
【解析】(1)连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．
(2)只要证明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
(2)由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割线定理得出(2+FG)2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2−BF2，推出FG2−4FG−12=0，求出FG即可，再在RT△ABF中利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度
26.【答案】解：(1)四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”，理由如下：
当a=−316，b=32，c=5时，代入抛物线y=ax2+bx+c得y=−316x2+32x+5，
令y=0，得−316x2+32x+5=0，
解得x1=4−8 63，x2=4+8 63，
令x=0，得y=5，
∴A(4−8 63,0)，B(4+8 63,0)，C(0,5)，
∵y=−316x2+32x+5=−316(x−4)2+8，
∴顶点D(4,8)，
∴OC=5，
∴CD= (4−0)2+(8−5)2=5
∴OC=CD，
∴四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”．
(2)存在，点E的横坐标为4+4 2．
如图，过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，
则S△ABE=12AB⋅EH=16 63，
由(1)可知A(4−8 63,0)，B(4+8 63,0)，
∴AB=4+8 63−(4−8 63)=16 63，
∴EH=2，
∵点E在第一象限内，
∴点E的纵坐标为2，
令y=2，得−316(x−4)2+8=2，
解得x1=4+4 2，x2=4−4 2，(舍去)，
∴点E的横坐标为4+4 2．
(3)在抛物线y=ax2+bx+2中，顶点D的坐标为(−b2a,8a−b24a)，C(0,2)，
∵CD=OC．
∴CD2=OC2，
∴(−b2a−0)2+(8a−b24a−2)2=22①，
∵△ABD为等腰直角三角形，过点D作DK⊥AB于点K，如图，
∴DK=12AB，
在y=ax2+bx+2中，令y=0，得ax2+bx+2=0，
解得x1=−b− b2−8a2a，x2=−b+ b2−8a2a，
∴A(−b+ b2−8a2a,0)，B(−b− b2−8a2a,0)，
∴AB=−b− b2−8a2a−−b+ b2−8a2a=− b2−8aa，
∵DK=8a−b24a，
∴8a−b24a=−12× b2−8aa②，
联立①②，且ab<0，
得a=−13，b=2 33，
∴抛物线解析式为y=−13x2+2 33x+2，
∴t=y0− 3x0=−13x02+2 33x0+2− 3x0=−13x02− 33x0+2=−13(x0+ 32)2+94，
∴当x0=− 32时，t有最大值94，
∵t≤m+25312024恒成立，
∴tmax≤m+25312024，
∴94≤m+25312024，
∴m≥20232024，
∴m的最小值为20232024．
【解析】(1)根据题意，求出抛物线的解析式，令y=0，令x=0，求出A、B、C的坐标，求出抛物线的顶点坐标，求出OC，CD的长度，即可解答；
(2)过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，求出S△ABE、AB的值，求出EH，得到点E的纵坐标为2，令y=2，代入解析式求解即可；
(3)根据题意得到①②式，联立①②求出抛物线解析式为y=−13x2+2 33x+2，表示出t即可解答．
本题考查二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的性质，等腰三角形的判定，二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定，二次函数的最值问题是解题的关键．组别
分数段
频数
频率
A
60≤x<70
6
12%
B
70≤x<80
12
m%
C
80≤x<90
18
36%
D
90≤x<100
n
28%
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