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2024年陕西省渭南市大荔县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年陕西省渭南市大荔县中考数学一模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.−3的绝对值是( )
A. 3B. −3C. 3或−3D. 13或−13
精确到个位，则近似值为( )
A. 1080B. 1079.3C. 1079D. 1070
3.如图，若x，y互为倒数，则表示2x2+xy−2(xy+x2)+13的值的点落在( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
4.若□⋅(−3xy2)=−6x2y3，则□内应填的代数式是( )
A. 2xB. 3xyC. −2xyD. 2xy
5.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有( )
①AOOE=12；②ABDE=12；③△BCO∽△EFO；④S△ABCS△DEF= 22．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.下列作图属于尺规作图的是( )
A. 用量角器画出∠AOB，使∠AOB=60°
B. 借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
C. 用三角尺画MN=1.5cm
D. 用三角尺过点P作AB的垂线
7.一次函数y=kx+2的图象沿直线y=x平移4 2个单位长度后经过原点，则k的值为( )
A. 2B. 12C. 12或32D. 23或34
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
8.在3.14，−127，0，π，这4个数中，无理数是______．
9.25的底数是______．
10.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步？若设阔(宽)为x步，则所列方程为______．
11.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则csA的值为______．
12.如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”(即阴影部分)，其中△AFG是黄金三角形(底边与腰的比为 5−12的等腰三角形).若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为______．
13.图1是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，依此规律，第⑦个图案中有 个三角形，第n个图案中 个三角形．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
分解因式：3(x−1)2+12x．
15.(本小题5分)
计算：|−2 3|+(4−π)0− 12−(−1)2023−(12)−2．
16.(本小题5分)
解不等式组：x+4>−2x+1x2−x−13≤1．
17.(本小题5分)
如图，△ABC中，请用尺规作图法，求作⊙O，使圆心O落在BC边上，且⊙O经过A，B两点.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ//MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，请用你学过的知识求数轴上点P表示的数是多少？
19.(本小题5分)
以下是小明同学解方程1−xx−3=13−x−2的过程．
【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2…第一步
解得x=4…第二步
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0…第三步
所以，原分式方程的解为x=4…第四步
①小明的解法从第______步开始出现错误；出错的原因是______；
②解分式方程的思想是利用______的数学思想，把分式方程化为整式方程．
A.数形结合；B.特殊到一般；C.转化；D.类比．
③写出解方程1−xx−3=13−x−2的正确过程．
20.(本小题5分)
已知12− 3的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
21.(本小题7分)
在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
(1)王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是______；
(2)丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率．
22.(本小题7分)
日常生活中，锅中油温y(单位：℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系.小聪在锅中倒入一些食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
(1)请根据数据记录判断：油温y与加热的时间t可能是______函数关系(请选填“正比例”、“一次”、“二次”、“反比例”)；
(2)根据以上判断，求y关于t的函数表达式；
(3)当加热100s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
23.(本小题7分)
某厂家打算从甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作.厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如下：
(1)根据以上信息，填空：
(2)如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？
24.(本小题7分)
如图，以AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是BD上一点，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点G，若BC//OF．
(1)求证：∠A=∠G；
(2)若DEAE=43，⊙O的半径为8，求FG的长．
25.(本小题8分)
如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过点B(1,0)和(3,−12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、、F为顶点的三角形与△AOC全等，求点P的坐标．
26.(本小题10分)
某校数学兴趣小组浏低校网内旗杆的高度，活动记录如下：
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)请你根据方案二求出旗杆的高度(结果精确到0.1m)．
(参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−3|=3，
∴−3的绝对值是3．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：1079.34≈1079(精确到个位)．
故选：C．
把十分位上的十字3进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
3.【答案】A
【解析】解：∵x，y互为倒数，
∴xy=1，
∴2x2+xy−2(xy+x2)+13
=2x2+xy−2xy−2x2+13
=−xy+13
=−1+13
=−23．
∵−1<−23<−12，
∴−23落在段①，
故选：A．
根据倒数的含义可得xy=1，再去括号，合并同类项化简代数式，再求值，结合数轴可得答案．
本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，倒数的含义，在数轴上表示有理数，理解题意，准确的求解代数式的值是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题实际上求−6x2y3−3xy2的值，所以根据单项式的除法运算法则进行计算即可．本题考查了单项式乘单项式．注意将求□内应填的代数式转化为单项式的除法来解答．
【解答】解：∵□⋅(−3xy2)=−6x2y3，
∴□=−6x2y3−3xy2=2xy．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为1：2，
∴△ABC∽△DEF，AC//DF，BC//EF，ABDE=12，
∴△AOC∽△DOF，△BCO∽△EFO，S△ABCS△DEF=(12)2=14，
∴AOOD=12，而AOOE≠12，
故①④说法错误，②③说法正确；
故选：B．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC//DF，BC//EF，再根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：B．
根据尺规作图的定义求解．
本题考查了尺规作图的意义，理解尺规作图的意义是作题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：一次函数y=kx+2的图象沿直线y=x平移4 2个单位长度后所得的一次函数为y=k(x−4)+2+4或为y=k(x+4)+2−4，
∵平移后经过原点，
∴把(0,0)代入求得k=32或12，
故选：C．
求得平移后的解析式，代入(0,0)即可求得k的值．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的解析式是解题的关键．
8.【答案】π
【解析】解：3.14，−127是分数，0是整数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故答案为：π．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：25的底数是2．
故答案为：2．
原式表示5个2乘积，即可得到结果．
本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的意义是解本题的关键．
10.【答案】x(x+12)=864
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．利用长乘以宽=864，进而得出答案．
【解答】
解：设阔(宽)为x步，则所列方程为：x(x+12)=864．
故答案为：x(x+12)=864．
11.【答案】3 1010
【解析】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=13，
令BC=x，则AC=3x，
∴AB= AC2+BC2= 10x，
∴csA=ACAB=3 1010．
故答案为：3 1010．
由锐角的正切定义得到tanA=BCAC=13，令BC=x，则AC=3x，由勾股定理得到AB= AC2+BC2= 10x，由锐角的余弦定义即可求出csA的值．
本题考查同角三角形函数的关系，关键是掌握锐角的正切，余弦定义．
12.【答案】5+ 5
【解析】解：如图，连接GH，GM，由对称性可知，AF=BF=BH，FG=FH，S△AFG=S△GHM=1，
∵△AFG是黄金三角形，即FGAF= 5−12，
∴FHAF= 5−12=S△FGHS△AFG，
∵S△AFG=1，
∴S△FGH= 5−12，
∴S阴影部分=6S△AFG+2S△FGH
=6+ 5−1
=5+ 5．
故答案为：5+ 5．
根据正五边形的对称性得出AF=BF=BH，FG=FH，S△AFG=S△GHM=1，再根据△AFG是黄金三角形，得到FGAF= 5−12=S△FGHS△AFG，进而求出S△FGH= 5−12，由S阴影部分=6S△AFG+2S△FGH进行计算即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】22
(1+3n)
【解析】【分析】
根据题目中的图形，可以写出前几个图形中三角形的个数，从而发现三角形个数的变化特点，从而可以解答本题．
本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现图形中三角形个数的变化特点，求出相应图形中三角形的个数．
【解答】
解：由图可得，
第①个图案中有1+3=4个三角形，
第②个图案中有1+3×2=7个三角形，
第③个图案中有1+3×3=10个三角形，
…
则第⑦个图案中有1+3×7=22个三角形，
第n个图案中有(1+3n)个三角形，
故答案为22;(1+3n)．
14.【答案】解：3(x−1)2+12x
=3[(x−1)2+4x]
=3(x2+1−2x+4x)
=3(x+1)2．
【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法进行因式分解是解题的关键．
15.【答案】解：|−2 3|+(4−π)0− 12−(−1)2023−(12)−2
=2 3+1−2 3−(−1)−4
=−2．
【解析】根据实数的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的化简，零指数幂运算法则，有理数的乘方运算法则，二次根式的化简是解题的关键．
16.【答案】解：x+4>−2x+1①x2−x−13≤1②，
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：−1【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
17.【答案】解：如解图，⊙O即为所求．
【解析】作线段AB的垂直平分线就熬BC于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，掌握线段的垂直平分线的性质．
18.【答案】解：由图可知，OQ=1，OM=3，ON=10，
∵PQ//MN，
∴∠OPQ=∠ONM，∠OQP=∠OMN，
∴△OPQ∽△ONM，
∴OPON=OQOM，
即OP10=13，
解得OP=103，
∴数轴上点P表示的数是103．
【解析】由题意可得，△OPQ∽△ONM，OQ=1，OM=3，ON=10，进而可得OP=103，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、数轴、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】一 −2没有乘以(x−3) C
【解析】解：①小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是−2没有乘以(x−3)；
故答案为：一；−2没有乘以(x−3)；
②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程，
故选：C；
③1−xx−3=13−x−2，
方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2(x−3)，
解得x=4，
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0，
所以，原分式方程的解为x=4．
①根据等式性质判断即可；
②根据解分式方程需先化为整式方程判断；
③根据解分式方程的步骤解答．
此题主要是考查了分式方程的解法，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵12− 3=2+ 3，1< 3<2，
∴a=3，b= 3−1，
∴a2+b2=9+( 3−1)2
=9+4−2 3
=13−2 3．
【解析】首先化简二次根式，即12− 3=2+ 3，根据1< 3<2，得a=3，b= 3−1，再进一步求a2+b2的值．
此题考查了二次根式的化简以及计算，同时考查了学生的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
21.【答案】14
【解析】解：(1)由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是14．
故答案为：14．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
∴丽丽获得奖品的概率为212=16．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】一次
【解析】解：(1)∵10−0=20−10=30−20=40−30=10(s)，30−10=50−30=70−50=90−70=20(℃)，
∴时间每增加10s，油的温度就升高20℃，
∴油温y与加热的时间t可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
(2)设y关于t的函数表达式为y=kt+b(k、b为常数，且k≠0)，
将(0,10)，(10,30)代入y=kt+b得：10=b10k+b=30，
解得：k=2b=10，
∴y关于t的函数表达式为y=2t+10；
(3)当t=100时，y=2×100+10=210，
∴经过推算，该油的沸点温度是210℃．
(1)分析表格中的数据，可得出时间每增加10s，油的温度就升高20℃，由此可以判断y与t之间可能是一次函数关系；
(2)根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y关于t的函数表达式；
(3)将t=100代入y关于t的函数关系式，求出对应y的值即可．
本题考查一次函数的应用，正确判断y与t之间的函数关系并利用待定系数法求出其表达式是解题的关键．
23.【答案】8 8 3.4
【解析】解：(1)甲公司满意度得分从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据均为8，
所以中位数为8+82=8．
乙公司满意度得分从小到大排列为：4，6，7，8，8，8，9，10，10，10，
平均数为110×(4+6+7+8×3+9+10×3)=8，
=110×[(4−8)2+(6−8)2+(7−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2+3×(10−8)2]=3.4．
故答案为：8，8，3.4；
(2)选择甲快递公司更好(答案不唯一)，理由如下：
∵满意度得分甲和乙的平均数、中位数均相同，但是甲的方差小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴选择甲快递公司更好．
(1)根据平均数、中位数与方差的定义即可求解；
(2)根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可．
本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了折线统计图以及平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
24.【答案】(1)证明：∵AB为直径作⊙O，点C在⊙O上
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠CBA，
∵OF⊥FG，
∴∠OFG=90°，
∴∠G=90°−∠GOF，
∵BC//OF，
∴∠CBA=∠OGF，
∴∠A=∠G；
(2)∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴tan∠CAE=CEAE=DEAE=43，
又∵∠A=∠G，
∴tan∠CAE=tan∠G=OFFG=43，
∴FG=34OF=34×8=6．
【解析】(1)根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，根据三角形内角和可得∠A=90°−∠CBA，根据切线的性质可得∠OFG=90°，根据三角形内角和可得∠G=90°−∠GOF，根据平行线的性质可得∠CBA=∠OGF，即可证明∠A=∠G；
(2)根据垂径定理可得CE=DE，根据正切的定义可得tan∠CAE=43，由(1)得∠A=∠G，故tan∠G=OFFG=43，即可求得．
本题考查了半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形内角和，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，正切的定义等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3得a+b+3=09a+3b+3=−12，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)如图，
由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，
∴AO=OC=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，
过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，
∴∠PEF=90°，
∴以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，
∴PE=EF=OA=OC=3，
∴xP=−4或xP=2，
∴P(−4,−5)或(2,−5)．
【解析】(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3，用待定系数法即得抛物线的表达式；
(2)由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，即知△AOC是等腰直角三角形，根据以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，得PE=EF=OA=OC=3，即可求得P(−4,−5)或(2,−5)．
本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
26.【答案】∠BAC=∠EDC=90° acb
【解析】解：(1)①∠BAC=∠EDC=90° (或∠B=∠E)；
②acb；
(2)∵AB⊥AD，AB⊥CE，DE⊥AD，
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=90°．
∴四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=18m，DE=AC=1.68m．
在Rt△CBE中，∠BEC=32°，
∴CB=CE⋅tan32°≈18×0.625=11.25(m)
∴AB=AC+CB=1.68+11.25≈12.9(m)．
答：旗杆的高度AB约为12.9m．
(1)根据题意填空即可；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形ACED是矩形，根据矩形的性质得到AD=CE=18m，DE=AC=1.68m.解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角与俯角问题，矩形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
公司
平均数/分
中位数/分
方差/分 2
甲
8
① ______
1
乙
② ______
8
③ ______
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．
【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图3.皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器(由度盘，铅锤和支杆组成)的功能是测量目标物的仰角或俯角.(如图3)
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射(测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线l⊥AD，∠1=∠2)，如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：
测量过程：
小明将镜子放在距离旗杆AB底部a m的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD=b m，小明的眼睛离地面的高度DE=c m．
求解过程：
由测量知，AC=a，CD=b，DE=c．
∵法线l⊥AD，∠1=∠2，
∴∠BCA=∠ECD．
∵① ______，
∴△ABC∽△DEC．
∴.ABDE=ACCD，即ABc=ab．
∴AB=② ______(m).故旗杆的高度为……m．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC=32°，量出测点D到旗杆的距离AD=18m，量出测倾器的高度DE=1.68m．
龙
蛇
马
羊
龙
(龙，蛇)
(龙，马)
(龙，羊)
蛇
(蛇，龙)
(蛇，马)
(蛇，羊)
马
(马，龙)
(马，蛇)
(马，羊)
羊
(羊，龙)
(羊，蛇)
(羊，马)
1.−3的绝对值是( )
A. 3B. −3C. 3或−3D. 13或−13
精确到个位，则近似值为( )
A. 1080B. 1079.3C. 1079D. 1070
3.如图，若x，y互为倒数，则表示2x2+xy−2(xy+x2)+13的值的点落在( )
A. 段①B. 段②C. 段③D. 段④
4.若□⋅(−3xy2)=−6x2y3，则□内应填的代数式是( )
A. 2xB. 3xyC. −2xyD. 2xy
5.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则下列结论正确的有( )
①AOOE=12；②ABDE=12；③△BCO∽△EFO；④S△ABCS△DEF= 22．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
6.下列作图属于尺规作图的是( )
A. 用量角器画出∠AOB，使∠AOB=60°
B. 借助没有刻度的直尺和圆规作∠AOB，使∠AOB=2∠α
C. 用三角尺画MN=1.5cm
D. 用三角尺过点P作AB的垂线
7.一次函数y=kx+2的图象沿直线y=x平移4 2个单位长度后经过原点，则k的值为( )
A. 2B. 12C. 12或32D. 23或34
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
8.在3.14，−127，0，π，这4个数中，无理数是______．
9.25的底数是______．
10.我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步).问阔及长各几步？若设阔(宽)为x步，则所列方程为______．
11.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则csA的值为______．
12.如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”(即阴影部分)，其中△AFG是黄金三角形(底边与腰的比为 5−12的等腰三角形).若△AFG的面积为1，则正五角星的面积为______．
13.图1是一组有规律的图案，第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有7个三角形，第③个图案中有10个三角形，依此规律，第⑦个图案中有 个三角形，第n个图案中 个三角形．
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题5分)
分解因式：3(x−1)2+12x．
15.(本小题5分)
计算：|−2 3|+(4−π)0− 12−(−1)2023−(12)−2．
16.(本小题5分)
解不等式组：x+4>−2x+1x2−x−13≤1．
17.(本小题5分)
如图，△ABC中，请用尺规作图法，求作⊙O，使圆心O落在BC边上，且⊙O经过A，B两点.(保留作图痕迹，不写作法)
18.(本小题5分)
如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若PQ//MN，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，请用你学过的知识求数轴上点P表示的数是多少？
19.(本小题5分)
以下是小明同学解方程1−xx−3=13−x−2的过程．
【解析】方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2…第一步
解得x=4…第二步
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0…第三步
所以，原分式方程的解为x=4…第四步
①小明的解法从第______步开始出现错误；出错的原因是______；
②解分式方程的思想是利用______的数学思想，把分式方程化为整式方程．
A.数形结合；B.特殊到一般；C.转化；D.类比．
③写出解方程1−xx−3=13−x−2的正确过程．
20.(本小题5分)
已知12− 3的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
21.(本小题7分)
在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌(纸牌反面完全相同)洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
(1)王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是______；
(2)丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率．
22.(本小题7分)
日常生活中，锅中油温y(单位：℃)与加热的时间t(单位：s)符合初中学习过的某种函数关系.小聪在锅中倒入一些食用油均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，得到的数据记录如下：
(1)请根据数据记录判断：油温y与加热的时间t可能是______函数关系(请选填“正比例”、“一次”、“二次”、“反比例”)；
(2)根据以上判断，求y关于t的函数表达式；
(3)当加热100s时，油沸腾了，请推算沸点的温度．
23.(本小题7分)
某厂家打算从甲、乙两家快递公司中选择一家进行合作.厂家邀请了10位用户对两家快递公司进行满意度打分，甲、乙两家公司的得分折线统计图如下：
(1)根据以上信息，填空：
(2)如果你是厂家经理，你认为选哪一家快递公司更好？为什么？
24.(本小题7分)
如图，以AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，连接AC，BC，过点C作CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，点F是BD上一点，过点F作⊙O的切线交AB的延长线于点G，若BC//OF．
(1)求证：∠A=∠G；
(2)若DEAE=43，⊙O的半径为8，求FG的长．
25.(本小题8分)
如图，抛物线L：y=ax2+bx+3经过点B(1,0)和(3,−12)，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、、F为顶点的三角形与△AOC全等，求点P的坐标．
26.(本小题10分)
某校数学兴趣小组浏低校网内旗杆的高度，活动记录如下：
(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；
(2)请你根据方案二求出旗杆的高度(结果精确到0.1m)．
(参考数据：sin32°≈0.530，cs32°≈0.848，tan32°≈0.625)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|−3|=3，
∴−3的绝对值是3．
故选：A．
根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2.【答案】C
【解析】解：1079.34≈1079(精确到个位)．
故选：C．
把十分位上的十字3进行四舍五入即可．
本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式．
3.【答案】A
【解析】解：∵x，y互为倒数，
∴xy=1，
∴2x2+xy−2(xy+x2)+13
=2x2+xy−2xy−2x2+13
=−xy+13
=−1+13
=−23．
∵−1<−23<−12，
∴−23落在段①，
故选：A．
根据倒数的含义可得xy=1，再去括号，合并同类项化简代数式，再求值，结合数轴可得答案．
本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，倒数的含义，在数轴上表示有理数，理解题意，准确的求解代数式的值是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】【分析】
此题实际上求−6x2y3−3xy2的值，所以根据单项式的除法运算法则进行计算即可．本题考查了单项式乘单项式．注意将求□内应填的代数式转化为单项式的除法来解答．
【解答】解：∵□⋅(−3xy2)=−6x2y3，
∴□=−6x2y3−3xy2=2xy．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为1：2，
∴△ABC∽△DEF，AC//DF，BC//EF，ABDE=12，
∴△AOC∽△DOF，△BCO∽△EFO，S△ABCS△DEF=(12)2=14，
∴AOOD=12，而AOOE≠12，
故①④说法错误，②③说法正确；
故选：B．
根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC//DF，BC//EF，再根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握位似图形的概念是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：尺规作图是指：只利用没有刻度的直尺和圆规进行作图，
故选：B．
根据尺规作图的定义求解．
本题考查了尺规作图的意义，理解尺规作图的意义是作题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：一次函数y=kx+2的图象沿直线y=x平移4 2个单位长度后所得的一次函数为y=k(x−4)+2+4或为y=k(x+4)+2−4，
∵平移后经过原点，
∴把(0,0)代入求得k=32或12，
故选：C．
求得平移后的解析式，代入(0,0)即可求得k的值．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，求得平移后的解析式是解题的关键．
8.【答案】π
【解析】解：3.14，−127是分数，0是整数，它们不是无理数；
π是无限不循环小数，它是无理数；
故答案为：π．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：25的底数是2．
故答案为：2．
原式表示5个2乘积，即可得到结果．
本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的意义是解本题的关键．
10.【答案】x(x+12)=864
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．利用长乘以宽=864，进而得出答案．
【解答】
解：设阔(宽)为x步，则所列方程为：x(x+12)=864．
故答案为：x(x+12)=864．
11.【答案】3 1010
【解析】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=13，
令BC=x，则AC=3x，
∴AB= AC2+BC2= 10x，
∴csA=ACAB=3 1010．
故答案为：3 1010．
由锐角的正切定义得到tanA=BCAC=13，令BC=x，则AC=3x，由勾股定理得到AB= AC2+BC2= 10x，由锐角的余弦定义即可求出csA的值．
本题考查同角三角形函数的关系，关键是掌握锐角的正切，余弦定义．
12.【答案】5+ 5
【解析】解：如图，连接GH，GM，由对称性可知，AF=BF=BH，FG=FH，S△AFG=S△GHM=1，
∵△AFG是黄金三角形，即FGAF= 5−12，
∴FHAF= 5−12=S△FGHS△AFG，
∵S△AFG=1，
∴S△FGH= 5−12，
∴S阴影部分=6S△AFG+2S△FGH
=6+ 5−1
=5+ 5．
故答案为：5+ 5．
根据正五边形的对称性得出AF=BF=BH，FG=FH，S△AFG=S△GHM=1，再根据△AFG是黄金三角形，得到FGAF= 5−12=S△FGHS△AFG，进而求出S△FGH= 5−12，由S阴影部分=6S△AFG+2S△FGH进行计算即可．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
13.【答案】22
(1+3n)
【解析】【分析】
根据题目中的图形，可以写出前几个图形中三角形的个数，从而发现三角形个数的变化特点，从而可以解答本题．
本题考查图形的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现图形中三角形个数的变化特点，求出相应图形中三角形的个数．
【解答】
解：由图可得，
第①个图案中有1+3=4个三角形，
第②个图案中有1+3×2=7个三角形，
第③个图案中有1+3×3=10个三角形，
…
则第⑦个图案中有1+3×7=22个三角形，
第n个图案中有(1+3n)个三角形，
故答案为22;(1+3n)．
14.【答案】解：3(x−1)2+12x
=3[(x−1)2+4x]
=3(x2+1−2x+4x)
=3(x+1)2．
【解析】先提取公因式，再利用完全平方公式解答即可．
本题考查的是因式分解，熟知利用提公因式法进行因式分解是解题的关键．
15.【答案】解：|−2 3|+(4−π)0− 12−(−1)2023−(12)−2
=2 3+1−2 3−(−1)−4
=−2．
【解析】根据实数的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的化简，零指数幂运算法则，有理数的乘方运算法则，二次根式的化简是解题的关键．
16.【答案】解：x+4>−2x+1①x2−x−13≤1②，
解不等式①，得x>−1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：−1
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
17.【答案】解：如解图，⊙O即为所求．
【解析】作线段AB的垂直平分线就熬BC于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，掌握线段的垂直平分线的性质．
18.【答案】解：由图可知，OQ=1，OM=3，ON=10，
∵PQ//MN，
∴∠OPQ=∠ONM，∠OQP=∠OMN，
∴△OPQ∽△ONM，
∴OPON=OQOM，
即OP10=13，
解得OP=103，
∴数轴上点P表示的数是103．
【解析】由题意可得，△OPQ∽△ONM，OQ=1，OM=3，ON=10，进而可得OP=103，即可得出答案．
本题考查作图—复杂作图、数轴、平行线的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】一 −2没有乘以(x−3) C
【解析】解：①小明的解法从第一步开始出现错误；出错的原因是−2没有乘以(x−3)；
故答案为：一；−2没有乘以(x−3)；
②解分式方程的思想是利用转化的数学思想，把分式方程化为整式方程，
故选：C；
③1−xx−3=13−x−2，
方程两边同时乘(x−3)，得1−x=−1−2(x−3)，
解得x=4，
检验：当x=4时，x−3=4−3=1≠0，
所以，原分式方程的解为x=4．
①根据等式性质判断即可；
②根据解分式方程需先化为整式方程判断；
③根据解分式方程的步骤解答．
此题主要是考查了分式方程的解法，能够熟练掌握解分式方程的方法是解答此题的关键．
20.【答案】解：∵12− 3=2+ 3，1< 3<2，
∴a=3，b= 3−1，
∴a2+b2=9+( 3−1)2
=9+4−2 3
=13−2 3．
【解析】首先化简二次根式，即12− 3=2+ 3，根据1< 3<2，得a=3，b= 3−1，再进一步求a2+b2的值．
此题考查了二次根式的化简以及计算，同时考查了学生的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
21.【答案】14
【解析】解：(1)由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是14．
故答案为：14．
(2)列表如下：
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
∴丽丽获得奖品的概率为212=16．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22.【答案】一次
【解析】解：(1)∵10−0=20−10=30−20=40−30=10(s)，30−10=50−30=70−50=90−70=20(℃)，
∴时间每增加10s，油的温度就升高20℃，
∴油温y与加热的时间t可能是一次函数关系，
故答案为：一次；
(2)设y关于t的函数表达式为y=kt+b(k、b为常数，且k≠0)，
将(0,10)，(10,30)代入y=kt+b得：10=b10k+b=30，
解得：k=2b=10，
∴y关于t的函数表达式为y=2t+10；
(3)当t=100时，y=2×100+10=210，
∴经过推算，该油的沸点温度是210℃．
(1)分析表格中的数据，可得出时间每增加10s，油的温度就升高20℃，由此可以判断y与t之间可能是一次函数关系；
(2)根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出y关于t的函数表达式；
(3)将t=100代入y关于t的函数关系式，求出对应y的值即可．
本题考查一次函数的应用，正确判断y与t之间的函数关系并利用待定系数法求出其表达式是解题的关键．
23.【答案】8 8 3.4
【解析】解：(1)甲公司满意度得分从小到大排列为：6，7，7，8，8，8，9，9，9，9，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据均为8，
所以中位数为8+82=8．
乙公司满意度得分从小到大排列为：4，6，7，8，8，8，9，10，10，10，
平均数为110×(4+6+7+8×3+9+10×3)=8，
=110×[(4−8)2+(6−8)2+(7−8)2+3×(8−8)2+(9−8)2+3×(10−8)2]=3.4．
故答案为：8，8，3.4；
(2)选择甲快递公司更好(答案不唯一)，理由如下：
∵满意度得分甲和乙的平均数、中位数均相同，但是甲的方差小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴选择甲快递公司更好．
(1)根据平均数、中位数与方差的定义即可求解；
(2)根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可．
本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了折线统计图以及平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
24.【答案】(1)证明：∵AB为直径作⊙O，点C在⊙O上
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°−∠CBA，
∵OF⊥FG，
∴∠OFG=90°，
∴∠G=90°−∠GOF，
∵BC//OF，
∴∠CBA=∠OGF，
∴∠A=∠G；
(2)∵CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴tan∠CAE=CEAE=DEAE=43，
又∵∠A=∠G，
∴tan∠CAE=tan∠G=OFFG=43，
∴FG=34OF=34×8=6．
【解析】(1)根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，根据三角形内角和可得∠A=90°−∠CBA，根据切线的性质可得∠OFG=90°，根据三角形内角和可得∠G=90°−∠GOF，根据平行线的性质可得∠CBA=∠OGF，即可证明∠A=∠G；
(2)根据垂径定理可得CE=DE，根据正切的定义可得tan∠CAE=43，由(1)得∠A=∠G，故tan∠G=OFFG=43，即可求得．
本题考查了半圆(或直径)所对的圆周角是直角，三角形内角和，切线的性质，平行线的性质，垂径定理，正切的定义等，熟练掌握以上性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3得a+b+3=09a+3b+3=−12，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的表达式为y=−x2−2x+3；
(2)如图，
由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，
∴AO=OC=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，
过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，
∴∠PEF=90°，
∴以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，
∴PE=EF=OA=OC=3，
∴xP=−4或xP=2，
∴P(−4,−5)或(2,−5)．
【解析】(1)将(1,0)和(3,−12)代入y=ax2+bx+3，用待定系数法即得抛物线的表达式；
(2)由y=−x2−2x+3得对称轴为直线x=−1，A(−3,0)，C(0,3)，即知△AOC是等腰直角三角形，根据以P、E、F为顶点的三角形与△AOC全等，得PE=EF=OA=OC=3，即可求得P(−4,−5)或(2,−5)．
本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
26.【答案】∠BAC=∠EDC=90° acb
【解析】解：(1)①∠BAC=∠EDC=90° (或∠B=∠E)；
②acb；
(2)∵AB⊥AD，AB⊥CE，DE⊥AD，
∴∠DAC=∠ACE=∠ADE=90°．
∴四边形ACED是矩形，
∴AD=CE=18m，DE=AC=1.68m．
在Rt△CBE中，∠BEC=32°，
∴CB=CE⋅tan32°≈18×0.625=11.25(m)
∴AB=AC+CB=1.68+11.25≈12.9(m)．
答：旗杆的高度AB约为12.9m．
(1)根据题意填空即可；
(2)根据矩形的判定定理得到四边形ACED是矩形，根据矩形的性质得到AD=CE=18m，DE=AC=1.68m.解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角与俯角问题，矩形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．时间t/s
0
10
20
30
40
油温y/℃
10
30
50
70
90
公司
平均数/分
中位数/分
方差/分 2
甲
8
① ______
1
乙
② ______
8
③ ______
活动任务：测量旗杆的高度
【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出两种测量方案的图形，如图1，图2．
【步骤二】准备测量工具镜子，皮尺和测倾器，如图3.皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离；测倾器(由度盘，铅锤和支杆组成)的功能是测量目标物的仰角或俯角.(如图3)
【步骤三】实地测量并记录数据
方案一：利用镜子的反射(测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线l⊥AD，∠1=∠2)，如图1，小明利用镜子和皮尺测出了旗杆的高度，其测量和求解过程如下：
测量过程：
小明将镜子放在距离旗杆AB底部a m的点C处，然后看着镜子沿直线AC来回移动，直至看到旗杆顶端B在镜子中的像与点C重合，此时小明站在点D处，测得CD=b m，小明的眼睛离地面的高度DE=c m．
求解过程：
由测量知，AC=a，CD=b，DE=c．
∵法线l⊥AD，∠1=∠2，
∴∠BCA=∠ECD．
∵① ______，
∴△ABC∽△DEC．
∴.ABDE=ACCD，即ABc=ab．
∴AB=② ______(m).故旗杆的高度为……m．
方案二：如图2，小亮在测点D处安置测倾器，测得旗杆顶端B的仰角∠BEC=32°，量出测点D到旗杆的距离AD=18m，量出测倾器的高度DE=1.68m．
龙
蛇
马
羊
龙
(龙，蛇)
(龙，马)
(龙，羊)
蛇
(蛇，龙)
(蛇，马)
(蛇，羊)
马
(马，龙)
(马，蛇)
(马，羊)
羊
(羊，龙)
(羊，蛇)
(羊，马)
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