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人教版七年级数学上册专题09线段上动点问题压轴题的四种考法(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学上册专题09线段上动点问题压轴题的四种考法(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了线段之间数量关系问题，定值问题，时间问题，求值等内容，欢迎下载使用。
例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．
（1）如图2，当与重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．
①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当的长为4时，求t的值；
②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．
（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．
（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．
（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？
【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.
（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后，；
②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
课后训练
1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有
①A、B两点的中点表示的数为；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
专题09 线段上动点问题压轴题的的四种考法
类型一、线段之间数量关系问题
例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；
（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，
所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，
所以．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析
【分析】（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．
【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P､Q相遇时，（秒），
∴．当点P在上时，，
∵，
∴，，符合；
当点P在原点O右侧时，，
∵，，
，符合．
综上所述，若，t的值为或13.
（3）设线段的长为b，则．
∵点P在线段上运动，
∴．．
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．
（1）如图2，当与重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．
①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．
【分析】（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=；
（2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN =2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；
（3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN= 5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．
【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，
∵点是的中点．
∴点是的中点，
∵，
∴AC=BC=，
故答案为：5，2.5；
（2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度，
∵，
∴BN=，
∴AN=AB+BN=5+=8，
∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
=CN-BN=4-3=1；
②∵，
，
即，
，
=1，
故答案为：１；
（3）∵线段沿直线向由移动个单位长度，
∴BN=，
∴AN=AB-BN=5-b，
∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
∴=CN+BN=，
∴AM=2BC．
故答案为：AM=2BC．
【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不会发生变化，详见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；
（2）先求出，可得，即可求解；
（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：；
故答案为：8，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点 C 表示的数为；
（3）解：的值不会发生变化，
依题意得：，
∴，，
∴，
∴ 的值不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
【详解】（1）解：当时，
∵
∴，
∴．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴．
∵
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，，
∴，
∵点C为线段PQ的中点，
∴，即，
解得：；
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
解得：，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
解得：；
综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；
（3）根据（2）可知．
∵点M是线段CQ的中点，
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，．
∵，
∴，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析
【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可；
（2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；
（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．
【详解】解：（1）由，，
，
得，，
所以，；
（2）当点在点的右侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，，
所以，，
又因为，
所以，
当点在点的左侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，
所以，，
所以
所以．
综上，线段的长为9；
（3）②正确，且．理由如下：
因为点与点重合，所以，
所以，所以，
所以．
【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN
=AC +CD+BD
=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD
=(AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0
∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t
∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2
∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当的长为4时，求t的值；
②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．
（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】（1）①2；②无解；（2）或0.9或2.3或2.5
【分析】（1）①由题意易得点A表示的数为-6，点B表示的数为2，则有点表示的数为，点表示的数为，进而可得，然后问题可求解；
②由①可得，，由点M为的中点，点N为的中点，可得，，然后由可求解，最后结合点P、Q两点重合后同时停止运动可求解；
（2）由题意得点、第一次相遇时的时间为秒；点、第二次相遇时的时间为2.4秒，则可分①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，则有；②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，；③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，；④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，，然后求解即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴点A表示的数为-6，点B表示的数为2，
由题意可得点运动的路程为，点运动的路程为，
∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②由①可得，，，
当点、重合时，则有，即，
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵5＞4，
∴不符合点P、Q两点重合后同时停止运动，
∴当时，t无解；
（2）由题意得：
点、第一次相遇时的时间为，解得：；
∴此时点离点B的距离为6×0.8=4.8，点离点A的距离为4×0.8=3.2，
∴点到达点B的时间为4.8÷4=1.2秒，此时点与的距离为6×1.2-3.2=4，
∴点、第二次相遇时的时间为0.8+1.2+4÷10=2.4秒，
①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
综上所述：当时，或0.9或2.3或2.5．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题，熟练掌握一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题是解题的关键．
【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．
（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．
（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？
【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒．
【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；
（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；
（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵满足，
∴a+2＝0， b﹣5＝0，
∴a＝﹣2，b＝5，
即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；
故答案为：﹣2，5；
（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，
设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，
则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
列方程得，7﹣3x﹣x＝3，
解得：x＝1，
答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；
（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，
如图1，当点P、M都在点B的左侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t），
解得：t＝1；
如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝；
③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，
BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝（舍去）；
综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．
【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.
（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后，；
②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
【答案】（1）-2和4；（2）①经过秒或秒，；②经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可;
(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;
②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点.
【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b
∵，
∴OA+OB=6
∴-a+b=6
∵.
∴b=-2a
∴
∴
∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4
故答案为：-2和4；
（2）①设秒后，，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t
情况一：当点在点右侧时，故OB=4-2t
∵
则，
解得：.
情况二：当点在点左侧时，，故OB=2t-4
∵
则，
解得：.
答：经过秒或秒，.
②设经过秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t
当点是的中点时，则，
解得：.
当点是的中点时，则.
解得：.
当点是的中点时，则
解得：（不合题意，舍去）
答：经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
（2）解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∴AM=BM
故答案为：．
（3）解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，
∴MN＝AB，即=．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴=1,即=．
综上所述＝或
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
【答案】（1），；（2）①；②或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得；
（2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以；
（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）根据题意知，，，
，，
，
，，
故答案为：，；
（2）①根据、的运动速度知：，
，
，即，
，
，
；
②当点在线段上时，如图，
，
又，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
，
又，
，
；
综上所述：或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
课后训练
1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3)或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）当C、D运动时，，，
∴．
（3）当点N在线段上时，
∵，
又∵，
∴，
∴．
当点N在线段的延长线上时，
∵，
又∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有
①A、B两点的中点表示的数为；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）A、B两点的中点C表示的数是3；（2）点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度；（3）=2（定值）．理由见解析.
【分析】（1）分别求出a、b的值，然后求出中点C的值；
（2）分情况讨论，当点D运动到点C左边和C右边时，得出不一样的C值；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t．
【详解】（1）∵|a+2|+（b﹣8）2020＝0
∴a＝﹣2，b＝8，
∴A、B两点的中点C表示的数是：；
（2）设点D的运动速度为v，
①当点D运动到点C左边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（3﹣2v），
解之得；
②当点D运动到点C右边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（2v﹣3），
解之得v＝4；
∴点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t．
∵P是ME的中点，
∴P点对应的数是，
又∵Q是ON的中点，
∴Q点对应的数是，
∴MN＝（8+10t）﹣（﹣2﹣7t）＝10+17t，OE＝tPQ＝（4+5t）﹣（﹣1﹣3t）＝5+8t，
∴（定值）.
【点睛】本题考查绝对值的应用及幂指数的应用，以及实际问题，属于典型的开放性应用题．
3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
(3)；t=6；；t=12；；
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值．
【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设点表示的数为x，则，
根据“巧点”的定义可知：
①当时，有，解得，；
②当时，有，解得，；
③当时，有，解得，．
综上，点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若时，点P为的“巧点”，有
①当时，，解得，，
②当时，，解得，；
③当时，，解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；；；
（ii）、若时，点Q为AP的“巧点”，有
①当时，，解得，；
②当时，，解得，；
③当时，，解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：；；．
故，运动时间的所有可能值有：．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．
（1）如图2，当与重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．
①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当的长为4时，求t的值；
②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．
（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．
（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．
（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？
【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.
（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后，；
②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
课后训练
1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有
①A、B两点的中点表示的数为；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
专题09 线段上动点问题压轴题的的四种考法
类型一、线段之间数量关系问题
例．已知线段，(，为常数，且)，线段在直线上运动(点B，M在点A的右侧，点N在点M的右侧)．P是线段的中点，Q是线段的中点．
(1)如图①，当点N与点B重合时，求线段的长度(用含a，b的代数式表示)；
(2)如图②，当线段运动到点B，M重合时，求线段，之间的数量关系；
(3)当线段运动至点Q在点B的右侧时，请你画图探究线段，，三者之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意表示出和的长度，然后即可求出；
（2）根据题意表示出和的长度，再表示出和的长度，即可发现和之间的数量关系；
（3）分两种情况讨论：①点M在点B的左侧，②点M在点B的右侧．表示出和，即可发现，，三者之间的数量关系．
【详解】（1）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
∴．
（2）因为P是线段的中点，Q是线段的中点，所以，，
因为，所以，
因为，所以．
（3）如图①，
当点M在点B的左侧时，，
所以；
如图②，当点M在点B的右侧时，，
所以．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了线段的和差问题，动点问题，画好线段图，分类讨论是解题的关键．
【变式训练1】如图，数轴上点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，动点P､Q分别从A､B两点同时出发，都向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．设运动时间为t秒．
（1）若点A表示的数为，则点B表示的数为________，线段中点表示的数为___________；
（2）在（1）的条件下，若，求t的值；
（3）当点P在线段上运动时，若，请探究线段与线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）6；-3；（2）或13；（3）或，见解析
【分析】（1）由点A表示的数为，AO＝2OB可知，可求出OB，AB长，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝6+t，分别代入2OP﹣OQ＝9列式即可求出t的值；
（3））设线段的长为b，则 ，分两种情况去绝对值，求出t的值，即可解决问题．
【详解】（1）∵点A表示的数为，AO＝2OB，
∴AO＝12，OB＝6，
∴AB＝18，
∴线段中点表示的数为3．
故答案是：6；﹣3；
（2）当P､Q相遇时，（秒），
∴．当点P在上时，，
∵，
∴，，符合；
当点P在原点O右侧时，，
∵，，
，符合．
综上所述，若，t的值为或13.
（3）设线段的长为b，则．
∵点P在线段上运动，
∴．．
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴，
又∵，
∴；
若，则，
∴，
∴，
解得．
∴．
∵．
∴．
综上所述，线段与线段之间的数量关系为或．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
【变式训练2】如图1，，是直线上的两个点，且．线段（在的左侧）可以在直线上左右移动．已知，点是的中点．
（1）如图2，当与重合时， ， ；
（2）在图2的基础上，将线段沿直线向左移动个单位长度得到图3．
①若，求和的长；
②若，则的值是 ．
（3）在图2的基础上，将线段沿直线向右移动个单位长度．请直接写出与之间的数量关系 ．
【答案】（1）5，2.5；（2）①=2，=1；②1；（3）AM=2BC．
【分析】（1）当与重合时，AM=MN-NA=5,由点是的中点．由，可得AC=BC=；
（2）①由线段沿直线向左移动个单位长度,可得BN=可求=MN-AN =2，由点是的中点．NC=AC=，可求；②由，解方程即可；
（3）又线段沿直线向由移动个单位长度,BN=，可得AN= 5-b，可求=MN-AN=5+b，由点是的中点．可求NC=AC=，可求=CN+BN=即可．
【详解】解：（1）当与重合时，AM=MN-NA=MN-BA=10-5=5，
∵点是的中点．
∴点是的中点，
∵，
∴AC=BC=，
故答案为：5，2.5；
（2）①∵线段沿直线向左移动个单位长度，
∵，
∴BN=，
∴AN=AB+BN=5+=8，
∴=MN-AN=MN-（AB+BN）=10-（5+3）=2，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
=CN-BN=4-3=1；
②∵，
，
即，
，
=1，
故答案为：１；
（3）∵线段沿直线向由移动个单位长度，
∴BN=，
∴AN=AB-BN=5-b，
∴=MN-AN= 10-（5-b）=5+b，
∵点是的中点．
∴NC=AC=，
∴=CN+BN=，
∴AM=2BC．
故答案为：AM=2BC．
【点睛】本题考查与线段有关的动点与动线问题，掌握线段的中点定义，会根据线段和差列方程，理解线段和差是解题关键．
类型二、定值问题
例．如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
【答案】(1)8，；(2)；(3)的值不会发生变化，详见解析
【分析】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解；
（2）先求出，可得，即可求解；
（3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，解得：；
故答案为：8，
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点 C 表示的数为；
（3）解：的值不会发生变化，
依题意得：，
∴，，
∴，
∴ 的值不会发生变化．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式训练1】如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当t＝1时，PQ＝ cm；
(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？
(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)3.5
(2)t为2或时，点C为线段PQ的中点
(3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析
【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长；
（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．
（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．
【详解】（1）解：当时，
∵
∴，
∴．
故答案为：3.5．
（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，
∴．
∵
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，，
∴，
∵点C为线段PQ的中点，
∴，即，
解得：；
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
解得：，不符合题意舍；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
解得：；
综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点；
（3）根据（2）可知．
∵点M是线段CQ的中点，
∴．
①当Q由C往B第一次运动时，即时，
此时，．
∵，
∴，
∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．
②当Q由B往C点第一次返回时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；
③当Q由C往B第二次运动时，即时，
此时，，
∴，
∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．
综上可知PM的长度为3cm或1cm．
【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
【变式训练2】如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析
【分析】（1）利用两个非负数和为0，可得每个非负数为0，可求，即可；
（2）分类考虑当点在点的右侧和点在点的左侧时，利用中点可求AM，DN，利用线段和差求AD，可求MN=AD-AM-DN即可；
（3）利用PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC即可．
【详解】解：（1）由，，
，
得，，
所以，；
（2）当点在点的右侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，，
所以，，
又因为，
所以，
当点在点的左侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，
所以，，
所以
所以．
综上，线段的长为9；
（3）②正确，且．理由如下：
因为点与点重合，所以，
所以，所以，
所以．
【点睛】本题考查非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比问题，掌握非负数的性质，线段中点，线段和差，线段的比，关键是利用线段和差PA=PC+AC，PB=PC-BC，求出PA+PB=2PC．
【变式训练3】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN
=AC +CD+BD
=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD
=(AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0
∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t
∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2
∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
类型三、时间问题
例．如图，点A、B都在数轴上，点O为原点，设点A、B表示的数分别是m、n，且m与n满足．
（1）若动点P从点A出发，沿数轴向左以每秒4个单位长度的速度运动，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒6个单位长度的速度运动，已知点P与点Q同时出发，且P、Q两点重合后同时停止运动，设点P运动时间为t秒．
①当的长为4时，求t的值；
②若点M为的中点，点N为的中点，且，求t的值．
（2）点P沿着以每秒4个单位长度的速度往返运动1次，点Q沿着以每秒6个单位长度的速度往返运动1次．若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，当时，求t的值．
【答案】（1）①2；②无解；（2）或0.9或2.3或2.5
【分析】（1）①由题意易得点A表示的数为-6，点B表示的数为2，则有点表示的数为，点表示的数为，进而可得，然后问题可求解；
②由①可得，，由点M为的中点，点N为的中点，可得，，然后由可求解，最后结合点P、Q两点重合后同时停止运动可求解；
（2）由题意得点、第一次相遇时的时间为秒；点、第二次相遇时的时间为2.4秒，则可分①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，则有；②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，；③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，；④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，，然后求解即可．
【详解】解：（1）①∵，
∴，
∴点A表示的数为-6，点B表示的数为2，
由题意可得点运动的路程为，点运动的路程为，
∴点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
∴，
∵，
∴，
解得：；
②由①可得，，，
当点、重合时，则有，即，
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵5＞4，
∴不符合点P、Q两点重合后同时停止运动，
∴当时，t无解；
（2）由题意得：
点、第一次相遇时的时间为，解得：；
∴此时点离点B的距离为6×0.8=4.8，点离点A的距离为4×0.8=3.2，
∴点到达点B的时间为4.8÷4=1.2秒，此时点与的距离为6×1.2-3.2=4，
∴点、第二次相遇时的时间为0.8+1.2+4÷10=2.4秒，
①当点、在第一次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
②当点、在第一次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
③当点、在第二次相遇前相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
④当点、在第二次相遇后相距1个单位长度时，即，如图所示：
∴，解得：；
综上所述：当时，或0.9或2.3或2.5．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题，熟练掌握一元一次方程的应用、线段的和差关系及数轴上的动点问题是解题的关键．
【变式训练1】如图，点在数轴上分别表示有理数，且满足．
（1）点表示的数是___________，点表示的数是____________．
（2）若动点从点出发以每秒3个单位长度向右运动，动点从点出发以每秒1个单位长度向点运动，到达点即停止运动两点同时出发，且点停止运动时，也随之停止运动，求经过多少秒时，第一次相距3个单位长度？
（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为秒，若的中点为的中点为，当为何值时，？
【答案】（1）﹣2，5；（2）1秒；（3）1秒或秒．
【分析】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；
（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程 7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；
（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示BM、PB、AN长，由题意得出方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵满足，
∴a+2＝0， b﹣5＝0，
∴a＝﹣2，b＝5，
即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；
故答案为：﹣2，5；
（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，
设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，
则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，
列方程得，7﹣3x﹣x＝3，
解得：x＝1，
答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；
（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，
∵AP的中点为M，BQ的中点为N，
∴AM＝AP＝t，BN＝BQ＝t，
如图1，当点P、M都在点B的左侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（7﹣3t），
解得：t＝1；
如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，
BM＝AB﹣AM＝7﹣t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴7﹣t +7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝；
③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，
BM＝AM﹣AB＝t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣t，
∵BM+AN＝3PB，
∴t﹣7+7﹣t＝3（3t﹣7），
解得：t＝（舍去）；
综上所述，当t为1秒或秒时，BM+AN＝3PB．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、两点的距离、非负数的性质以及分类讨论等知识；关键是数形结合，正确列出一元一次方程．
【变式训练2】如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.
（1）点、在数轴上对应的数分别为______和______.
（2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①经过几秒后，；
②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？
【答案】（1）-2和4；（2）①经过秒或秒，；②经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【分析】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可;
(2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可;
②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点.
【详解】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b
∵，
∴OA+OB=6
∴-a+b=6
∵.
∴b=-2a
∴
∴
∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4
故答案为：-2和4；
（2）①设秒后，，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t
情况一：当点在点右侧时，故OB=4-2t
∵
则，
解得：.
情况二：当点在点左侧时，，故OB=2t-4
∵
则，
解得：.
答：经过秒或秒，.
②设经过秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t
当点是的中点时，则，
解得：.
当点是的中点时，则.
解得：.
当点是的中点时，则
解得：（不合题意，舍去）
答：经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点.
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数.
类型四、求值
例．已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)；(2)；(3)或
【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
【详解】（1）解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
（2）解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∴AM=BM
故答案为：．
（3）解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，
∴MN＝AB，即=．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴=1,即=．
综上所述＝或
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．
【变式训练】已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B同时出发以1cm／s、3cm／s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝_____，DM＝_____；（直接填空）
（2）若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求线段AM的值，
②若N是直线AB上一点，且AN－BN＝MN，求的值
【答案】（1），；（2）①；②或1
【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得、的长，根据线段的和差计算可得；
（2）①根据、的运动速度知，再由已知条件求得，所以；
（3）分点在线段上时和点在线段的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）根据题意知，，，
，，
，
，，
故答案为：，；
（2）①根据、的运动速度知：，
，
，即，
，
，
；
②当点在线段上时，如图，
，
又，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图，
，
又，
，
；
综上所述：或1．
【点睛】本题考查求线段的长短的知识，数轴上的动点问题，解题的关键是细心阅读题目，理清题意，利用数形结合及分类讨论的思想求解．
课后训练
1．如图1，已知线段，点M是线段上一点，点C在线段上，点D在线段上，C、D两点分别从M、B出发以的速度沿直线运动，运动方向如箭头所示，其中a、b满足条件：．
(1)直接写出：____________，_____________；
(2)若，当点C、D运动了，求的值；
(3)如图2，若，点N是直线上一点，且，求与的数量关系．
【答案】(1)1，3；(2)8cm；(3)或
【分析】（1）根据绝对值的非负性得出a-1=0，b-3=0，求解即可；
（2）当C、D运动时，，，结合图形求解即可；
（3）分两种情况：当点N在线段上时；当点N在线段的延长线上时；利用线段间的数量关系求解即可．
【详解】（1）解：∵|a−1|+|b−3|=0
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
故答案为：1；3；
（2）当C、D运动时，，，
∴．
（3）当点N在线段上时，
∵，
又∵，
∴，
∴．
当点N在线段的延长线上时，
∵，
又∵，
∴．
综上所述，或．
【点睛】题目主要考查绝对值的非负性及点的运动，线段间的数量关系等，理解题意，根据图象得出线段间的数量关系是解题关键．
2．【阅读理解】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，则有
①A、B两点的中点表示的数为；
②当b＞a时，A、B两点间的距离为AB＝b﹣a．
【解决问题】数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣8）2020＝0
（1）求出A、B两点的中点C表示的数；
（2）点D从原点O点出发向右运动，经过2秒后点D到A点的距离是点D到C点距离的2倍，求点D的运动速度是每秒多少个单位长度？
【数学思考】（3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）A、B两点的中点C表示的数是3；（2）点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度；（3）=2（定值）．理由见解析.
【分析】（1）分别求出a、b的值，然后求出中点C的值；
（2）分情况讨论，当点D运动到点C左边和C右边时，得出不一样的C值；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t．
【详解】（1）∵|a+2|+（b﹣8）2020＝0
∴a＝﹣2，b＝8，
∴A、B两点的中点C表示的数是：；
（2）设点D的运动速度为v，
①当点D运动到点C左边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（3﹣2v），
解之得；
②当点D运动到点C右边时：由题意，有2v﹣（﹣2）＝2（2v﹣3），
解之得v＝4；
∴点D的运动速度是每秒个单位长度，或每秒4个单位长度；
（3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是﹣2﹣7t，点N对应的数是8+10t．
∵P是ME的中点，
∴P点对应的数是，
又∵Q是ON的中点，
∴Q点对应的数是，
∴MN＝（8+10t）﹣（﹣2﹣7t）＝10+17t，OE＝tPQ＝（4+5t）﹣（﹣1﹣3t）＝5+8t，
∴（定值）.
【点睛】本题考查绝对值的应用及幂指数的应用，以及实际问题，属于典型的开放性应用题．
3．如图一，点在线段上，图中有三条线段、和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”）
(2)（问题解决）如图二，点和在数轴上表示的数分别是和，点是线段的巧点，求点在数轴上表示的数．
(3)（应用拓展）在（2）的条件下，动点从点处，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速运动，当其中一点到达中点时，两个点运动同时停止，当、、三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点时，直接写出运动时间的所有可能值．
【答案】(1)是
(2)10或0或20
(3)；t=6；；t=12；；
【分析】（1）根据新定义，结合中点把原线段分成两短段，满足原线段是短线段的2倍关系，进行判断即可；
（2）由题意设C点表示的数为x，再根据新定义列出合适的方程即可；
（3）根据题意先用t的代数式表示出线段，再根据新定义列出方程，得出合适的解，即可求出t的值．
【详解】（1）∵原线段是中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的巧点，
故答案为：是；
（2）设点表示的数为x，则，
根据“巧点”的定义可知：
①当时，有，解得，；
②当时，有，解得，；
③当时，有，解得，．
综上，点表示的数为10或0或20；
（3）由题意得，
（i）、若时，点P为的“巧点”，有
①当时，，解得，，
②当时，，解得，；
③当时，，解得，；
综上，运动时间的所有可能值有；；；
（ii）、若时，点Q为AP的“巧点”，有
①当时，，解得，；
②当时，，解得，；
③当时，，解得，．
综上，运动时间的所有可能值有：；；．
故，运动时间的所有可能值有：．
【点睛】本题是新定义题，是数轴的综合题，主要考查数轴上的点与数的关系，数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是根据新定义列出方程并进行求解．
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