人教版八年级数学上册专题02与三角形的角有关的三种题型(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册专题02与三角形的角有关的三种题型(原卷版+解析)，共26页。试卷主要包含了与角平分线有关的内角和问题，折叠问题，多边形角度问题等内容，欢迎下载使用。
例．如图，中，，平分，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式训练1】如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【变式训练2】如图，中，，，平分，于，，则的度数=

【变式训练3】如图，在中，线段平分，交边于点，过点作于点，若，则 度．

类型二、折叠问题
例．如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【变式训练1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则 ．
【变式训练2】在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 °
【变式训练3】如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
类型三、多边形角度问题
例．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形
A．四B．五C．六D．八
例2.（1）如图1所示， ；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ．
【变式训练1】如图所示，已知，试求的度数．

【变式训练2】根据题意解答：
(1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由．
(3)如图3，若，，，则__________度．
课后训练
1．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．如图，点在同一平面内，连接，若，则（ ）

A．B．C．D．
3．如图在五角星中，的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为 ．

5．把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．

6．如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．

7．如图，在中．若，，则 °．

8．探究与发现：
(1)如图1，在中，，分别平分和．
①若，则______；
②若，用含有的式子表示的度数为______；
(2)如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系．
专题02 与三角形的角有关的三种题型
类型一、与角平分线有关的内角和问题
例．如图，中，，平分，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，那么，然后利用分别表示，，，最后利用三角形内角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵中，，
∴设，那么，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键是熟练使用三角形内角和定理．
【变式训练1】如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根据，，以及即可推出；②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明，由①知：即可证明；④由同角的余角相等证明，再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故①正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故②正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
由①知：，
∴．
故③正确；
∵，，
∴，．
∴．
∵平分，
∴，
∴．
故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式训练2】如图，中，，，平分，于，，则的度数=

【答案】/70度
【分析】先求出，再根据角平分线的定义得出，根据垂直的定义得出，求出，进而求出，再得出，根据三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握这些知识点是解题的关键．
【变式训练3】如图，在中，线段平分，交边于点，过点作于点，若，则 度．

【答案】
【分析】由三角形内角和定理结合已知条件得出，由角平分线的定义得出，进而得出，得出，由垂线的定义求出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：，，
，，
平分，，
，
，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义是解决问题的关键．
类型二、折叠问题
例．如图，将沿折叠，使、与边分别相交于点、，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可得，，可求，从而可求，由，，即可求解．
【详解】解：由翻折得：
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握性质及定理是解题的关键．
【变式训练1】如图，将纸片沿折叠，使点A落在点处，且平分平分，若，则 ．
【答案】/80度
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得，进而可得，再根据三角形的外角性质和折叠的性质可得，即可求解.
【详解】解：连接．
∵平分平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，熟练掌握折叠的性质、得出是解题的关键.
【变式训练2】在中，，，将、按照如图所示折叠，若，则 °
【答案】
【分析】先根据折叠的性质求出，，，再根据三角形内角和定理求出，，进而求出，然后求出四边形内角和，进而得出，即可得出答案．
【详解】根据折叠性质得，，．
∵，，
∴，，
∴，，
∴．
在四边形中，.
∴，
即，
∴，
∴．
故答案为：265．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角之间的数量关系是解题的关键．
【变式训练3】如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点F，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，∴，
∴，
根据折叠可知，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是求出．
类型三、多边形角度问题
例．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形
A．四B．五C．六D．八
【答案】A
【分析】先求出多边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于求出边数即可．
【详解】解：一个多边形的每个外角都等于和它相邻的内角，
这个多边形的每一个外角的度数为，
多边形的边数为，
即多边形是四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能根据多边形的外角和求出多边形的边数是即此题的关键，注意：边数为的多边形的内角和，多边形的外角和等于．
例2.（1）如图1所示， ；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为；图2称为二环四边形，它的内角和为，则二环四边形的内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为 ．
【答案】 360° 720° 1080°
【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；
（2）连接，交于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得；结合五边形内角和性质，得；结合（1）的结论，根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）如图所示，连接AD，交于点M
∵，，
∴；
故答案为：360°
（2）如图，连接，交于点M
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴二环四边形的内角和为：
∵二环三角形的内角和为：
二环四边形的内角和为：
∴二环五边形的内角和为：
∴二环n边形的内角和为：
故答案为：，，．
【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．
【变式训练1】若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数是 ．
【答案】八/8
【分析】利用任何多边形的外角和是，用除以一个外角度数即可求出答案．
【详解】解：多边形外角个数：，
所以多边形的边数为，
故答案为：八．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．外角和定理是解题的关键．
【变式训练2】如图所示，已知，试求的度数．

【答案】
【分析】连接AD．由四边形ABCD的内角和定理可推得，然后证明，则可证．
【详解】解：连接．设与相交于点O．

由四边形的内角和可得：，
∵，
∴．
在与中，
∴
即
即(注：，)
【点睛】本题考查了三角形与多边形内角和求法，解题的关键是灵活运用所学的多边形内角和定理将所求的角集中在一起．
【变式训练3】根据题意解答：
(1)如图1，点、、、在同一直线上，平分，，若为度，求的度数（用关于的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，地面，地面，求的度数，并说明理由．
(3)如图3，若，，，则__________度．
【答案】(1)，理由见解析；
(2)，理由见解析；
(3)．
【分析】（1）根据平角定义表示，由角平分线定义得：，最后根据平行线性质得结论；
（2）作平行线，根据平行线的性质得：和，所以；
（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和列式后可得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，∴，
∴．
（3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，
由三角形外角定理得：，
，
∵，，∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∵，
∴，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为．
课后训练
1．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答．
【详解】由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．如图，点在同一平面内，连接，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，根据三角形内角和求出，再利用四边形内角和减去和的和，即可得到结果．
【详解】解：连接，

，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
3．如图在五角星中，的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角形外角的性质可得，，再根据三角形内角和的性质求解即可．
【详解】解：利用三角形外角的性质可得，，

再根据三角形内角和的性质可得：，
故选：A
【点睛】此题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
4．一副三角板如图方式摆放，平分，平分，则的度数为 ．

【答案】
【分析】首先根据三角板的性质得到，，然后利用角平分线的概念得到，，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵一副三角板如图方式摆放，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角板中角的运算，角平分线的概念，三角形内角和定理的运用等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．

【答案】
【分析】根据三角形外角性质得出，，再根据三角形的内角和定理和解答即可．
【详解】解：如图可知：，，
，，
，
故答案为：．

【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．
6．如图，在中，，的平分线交于点，是与平分线的交点，是的两外角平分线的交点，若，则的度数 ．

【答案】/10度
【分析】利用角平分线的定义，可得出，，结合，可得出的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：平分，平分，，，
，
，
又，
．
，，
∵，
∴，
又，
，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
7．如图，在中．若，，则 °．

【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，再根据整理即可得证，最后根据三角形的内角和即可得出答案．
【详解】是的一个外角
即
是的一个外角
即
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的定义，根据图形找到角之间的关系是解题的关键．
8．探究与发现：
(1)如图1，在中，，分别平分和．
①若，则______；
②若，用含有的式子表示的度数为______；
(2)如图2，在四边形中，，分别平分和，试探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在六边形中，，分别平分和，请直接写出与的数量关系．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得．
（2）利用四边形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得．
（2）利用六边形内角和，可求得与度数之和，根据角平分线的定义，可求得与的度数之和，进而可求得．
【详解】（1）解①，
．
，分别平分和，
，．
．
．
②，
．
，分别平分和，
，．
．
．
故答案为：①；②；
（2）解：，理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
；
（3）解：．
理由如下：
根据题意，得．
，分别平分和，
，．
．
∴
．
【点睛】本题主要考查多边形内角和以及角平分线的定义，熟记多边形内角和公式，即边形内角和等于，及角平分线的定义是解题的关键．