人教版九年级数学上册专题04二次函数实际应用的四种考法(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册专题04二次函数实际应用的四种考法(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了销售利润问题，几何图形运动问题，拱桥问题，投掷铅球问题等内容，欢迎下载使用。
类型一、销售利润问题
例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量（件）是售价（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润售价－成本月销量，三者有如下数据：
(1)试求关于的函数关系式的取值范围不必写出）；
(2)玩具的成本为______元，当玩具售价______元时，月销售总利润有最大值______元；
(3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降元/件，且物价局规定该玩具售价最高不得超过元/件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值．
【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
(4)若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式训练3】某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为10元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示：
商品B的成本为3元/千克，销售单价为6元/千克，但是每天供货总量只有40千克，且当天都能销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1千克商品A，免费送1千克商品B．
(1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)设两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数表达式；
(3)当商品A销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润两种商品的销售总额两种商品的成本）
类型二、几何图形运动问题
例．如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练1】如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B． C． D．
【变式训练2】如图1，在矩形（）中，动点Q从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，到达点A后停止运动，动点P从点B出发，沿以与点Q同样的速度做匀速运动，到达点A后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积是y，其中y关于x的函数图像如图2所示，则的值是（ ）

A．1B．1.5C．2D．2.5
【变式训练3】如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
类型三、拱桥问题
例．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为米时，桥洞顶部离水面米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：

(1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度．
(3)【问题3】已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？
【变式训练1】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【变式训练2】．某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，轴），求这两根竹竿之间的水平距离．
类型四、投掷铅球问题
例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴．
【变式训练1】2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，．求：

(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．
【变式训练2】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【变式训练3】实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．
(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）．
【变式训练4】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：
(1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，______；
(2)求关于的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功，已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
课后训练
1．如图①，在正方形中，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设，，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．4D．5
2．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A．B．
C．D．
3．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
4．为满足市场需求，某超市在2023年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？
5．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：

根据以上数据回答下列问题：
(1)求主桥洞的函数表达式；
(2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长．
6．根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）
专题04 二次函数实际应用的四种考法
类型一、销售利润问题
例．某商场主营玩具销售，经市场调查发现，某种玩具的月销量（件）是售价（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润售价－成本月销量，三者有如下数据：
(1)试求关于的函数关系式的取值范围不必写出）；
(2)玩具的成本为______元，当玩具售价______元时，月销售总利润有最大值______元；
(3)由于原材料下降，从本月起，该玩具成本下降元/件，且物价局规定该玩具售价最高不得超过元/件．若月销量与售价仍满足（1）中的关系，预计本月总利润最高为元，请你求出的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据销售利润的关系式求解即可；
（3）根据题意列出二次函数，在根据二次函数的性质求解即可；
【详解】（1）设y关于的函数解析式为，则，
，解得，
∴关于的函数解析式为；
（2）设成本为元，
由题意可得:，解得（元），
则
∵，则有最大值，
当时，，
故答案为：，；
（3）由题意得
，函数图象的对称轴为.
由题意得且，
∴当时，最大利润，
解得．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式训练1】某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
(1)求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
(2)求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
(4)若物价部门规定每箱售价不得高于55元，则每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？
【答案】(1)
(2)
(3)当每箱苹果销售价为元时，可获得最大利润，为元
(4)每箱苹果销售价为元时，可获最大利润
【分析】（1）销售价（元/箱）时，则每天减小 箱，根据平均每天销售量等于原平均每天销售数量减去每天减小的箱数，列出平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
（2）根据销售利润销售量（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式；
（3）根据二次函数的最值求得最大利润；
（4）根据自变量取值范围和函数增减性可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得，售价为元/箱，则提高了元，销售量减少了箱，
．
（2）由（1）得销售量为箱，
．
（3）由（2）知
，
当时，有最大值．
答：当每箱苹果销售价为元时，可获得最大利润，为元．
（4）由（3）可知，，
则抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随增大而增大，
∵，
∴当时，有最大值．
答：每箱苹果销售价为元时，可获最大利润．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
【变式训练2】某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该超市决定降价销售，经市场调查发现，这种洗衣液的售价每降价1元，每周的销量可增加100瓶，规定这种消毒洗衣液每瓶的售价不低于进价．
(1)求今年这款消毒洗衣液每瓶进价是多少元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为多少元时，这款洗衣液每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元；
(2)当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【分析】（1）设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，根据题意得出：，根据二次函数的性质可得出答案．
【详解】（1）解：设今年这款消毒洗衣液每瓶进价是x元，则去年这款消毒洗衣液每瓶进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
元，
答：今年这款消毒洗衣液每瓶进价是24元.
（2）解：设这款消毒洗衣液每瓶的售价定为m元时，这款洗衣液每周的销售利润w最大，
根据题意得出：，
整理得：，
根据二次函数的性质得出：当时，利润最大，
最大利润为：，
答：当这款消毒洗衣液每瓶的售价定为33元时，这款洗衣液每周的销售利润最大，最大利润是8100元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，正确理解题意列出关系式是解题关键．
【变式训练3】某超市经销A、B两种商品．商品A每千克成本为10元，经试销发现，该种商品每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如下表所示：
商品B的成本为3元/千克，销售单价为6元/千克，但是每天供货总量只有40千克，且当天都能销售完．为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动．即买1千克商品A，免费送1千克商品B．
(1)求销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数表达式；
(2)设两种商品的每天销售总利润为w元，求出w（元）与x的函数表达式；
(3)当商品A销售单价定为多少元时，才能使当天的销售总利润最大？最大利润是多少？（总利润两种商品的销售总额两种商品的成本）
【答案】(1)
(2)
(3)当商品A的定价为30.5元时，总利润最大，最大利润是330.25元
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法，即可求出销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式；
（2）利用总利润两种商品的销售总额两种商品的成本，即可找出w与x之间的函数表达；
（3）利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴销售量y（千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数表达式为；
（2）解：根据题意得：，
即；
（3）解：∵，
∴，
∴当时，w取得最大值，最大值为330.25，
∴当商品A销售单价定为30.5元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是330.25元．
【点睛】本题考查了一次函数以及二次函数的应用，求一次函数解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的相关性质．
类型二、几何图形运动问题
例．如右图，直线l的解析式为，它与x轴和y轴分别相交于A、B两点，点C为线段上一动点，过点C作直线l的平行线m，交y轴于点D．点C从原点O出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t秒，以为斜边作等腰直角三角形（E，O两点分别在CD两侧）．若和的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论时，S与t之间的函数关系式式即可求解．
【详解】解：①当时，如图所示：

可知：
②当时，如图所示：

此时，
，，
，综上：
显然只有C选项符合题意，故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．根据题意找到S与t之间的函数关系式是解题关键．
【变式训练1】如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解．
【详解】解：①当点在上运动时，即：
；
②当点在上运动时，即：
；
③当点在上运动时，即：
；
综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路．
【变式训练2】如图1，在矩形（）中，动点Q从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度做匀速运动，到达点A后停止运动，动点P从点B出发，沿以与点Q同样的速度做匀速运动，到达点A后也停止运动．已知点P，Q同时开始运动，设点Q的运动时间为x秒，的面积是y，其中y关于x的函数图像如图2所示，则的值是（ ）

A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】设，分和，结合矩形的性质，表示三角形的面积，构造函数，结合图像，确定m，n的值计算即可．
【详解】解：设，
当时，，
根据图像，得当时，y取得最大值5，此时，
当时，，此时；
当时，P停止运动，
，
根据图像，当时，此时，
故，
故选：C．
【点睛】本题考查了数形结合思想，二次函数的最值，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的最值，一次函数的性质是解题的关键．
【变式训练3】如图，在中，．动点从点出发，沿线段以1单位长度/秒的速度运动，当点与点重合时，整个运动停止．以为一边向上作正方形，若设运动时间为秒，正方形与重合部分的面积为，则下列能大致反映与的函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题目所给条件，分当时和当时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案．
【详解】解；当时，正方形与重合部分的面积为正方形的面积，
∴，
∴此时函数图象为顶点在原点，开口向上的抛物线；
当时，设与相交于，与相交于，
，
此时正方形与重合部分的面积为正方形的面积减去三角形的面积，∵是等腰直角三角形，，
，，
∴，
∵，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键．
类型三、拱桥问题
例．一座拱桥的示意图如图所示，当水面宽为米时，桥洞顶部离水面米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：

(1)【问题1】建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式．
(2)【问题2】由于暴雨导致水位上涨了米，求此时水面的宽度．
(3)【问题3】已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？
【答案】(1)
(2)米
(3)米
【分析】（1）以的中点为平面直角坐标系的原点，所在线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解；
（2）根据题（1）的结果，令求出的两个值，从而可得水面上升后的水面宽度；
（3）将代入，得出的值，进而减去货船的高度，即可求解．
【详解】（1）以的中点为平面直角坐标系的原点，所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下：

根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为
因此设抛物线的函数表达式为，
将代入得：，
解得：，
则所求的抛物线的函数表达式为；
（2）由题意，令得，
解得：，
则水面上升1m后的水面宽度为：（米），
（3）由题意，当时，，
∵一艘货船的高为米，
∴水面在正常水位的基础上最多能上升（米）．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键．
【变式训练1】如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在处，对称轴与水平线垂直，，点在抛物线上，且点到对称轴的距离，点在抛物线上，点到对称轴的距离是1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，为更加稳固，小星想在上找一点，加装拉杆，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点的位置并求出坐标；
(3)为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为，当时，函数的值总大于等于9．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，将，代入即可求解；
（2）点B关于y轴的对称点，则，求出直线与y轴的交点坐标即可；
（3）分和两种情况，根据最小值大于等于9列不等式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与y轴重合，
设抛物线的解析式为，
，，
，，
将，代入，得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解： 抛物线的解析式为，点到对称轴的距离是1，
当时，，
，
作点B关于y轴的对称点，
则，，
，
当，，A共线时，拉杆长度之和最短，
设直线的解析式为，
将，代入，得，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为，位置如下图所示：

（3）解：中，
抛物线开口向下，
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
当时，
在范围内，当时，y取最小值，最小值为：
则，
解得，
；
综上可知，或，
的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及求二次函数解析式，求一次函数解析式，根据对称性求线段的最值，抛物线的增减性等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，第3问注意分情况讨论．
【变式训练2】．某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为．

(1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点G、M在上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/．已知，求每个B型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户的成本）
【答案】(1)
(2)每个B型活动板房的成本为3725元
【分析】（1）根据题意得出，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意得出，继而求出矩形的面积，列式求解即可．
【详解】（1）∵长方形的长，宽，抛物线的最高点E到的距离为，
∴，
∴，
∴，
设该抛物线的函数表达式为，
把代入，得，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为；
（2）∵，
∴，
当时，，
∴，，
∴，
∴（元），
所以，每个B型活动板房的成本为3725元．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，准确理解题意，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式训练3】随着乡村振兴战略的不断推进，为了让自己的土地实现更大价值，某农户在屋侧的菜地上搭建一蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A的水平距离x（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为6米．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该农户计划在大棚内搭建高为3米的竹竿支架，已在抛物线对称轴左侧搭建了一根竹竿，需在对称轴右侧处再搭建一根同样高的竹竿（点D、F均在x轴上，点C、E均在抛物线上，轴），求这两根竹竿之间的水平距离．
【答案】(1)；(2)1米
【分析】（1）用待定系数法求出和式关系式即可；
（2）结合（1）令，求出x的值，可得D，E的横坐标，即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，点A的坐标为，点B的坐标为，
把，代入得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题意知，点C、D的纵坐标均为3，
∴
解得或，
∴，，
∴，
∴这两根竹竿之间的水平距离为1米．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出函数关系式．
类型四、投掷铅球问题
例．小红为了研究抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距离．如图，用计算机编程模拟显示，当弹跳球以某种特定的角度和初速度从坐标为的点处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，其最高点的坐标为．弹跳球落到倾斜角为的斜面上反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线，且开口大小和方向均不变，但最大高度只是抛物线的．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若斜面被坐标平面截得的截图与轴的交点的坐标为，求抛物线的对称轴．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，由题意得，该抛物线的顶点坐标是，抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）由题意，设解析式为，将点代入，得出解析式为，联立抛物线的解析式得出反弹点的坐标为，依题意，设抛物线的解析式为，将代入抛物线的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ．
由题意得，该抛物线的顶点坐标是，
．
该抛物线经过点，
解之，得．
（2）由题意，设解析式为，将点代入，
，
解得：,
∴
令，
解之，得舍去，
反弹点的坐标为．
由题意，设抛物线的解析式为
将代入抛物线的解析式，得舍去或
即抛物线的对称轴为直线
【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【变式训练1】2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，．求：

(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．
【答案】(1)
(2)
(3)米
【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点的坐标，由的长为点的横坐标减去的长可得出结论．
【详解】（1）解：米，且点在轴正半轴，
．
（2）抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的解析式为：，
，，解得．
抛物线的解析式为：．
（3）在中，，米，
米，米．点的纵坐标为，
令，解得，，
在对称轴右侧，，．米，
的长约为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点等相关内容，得出点的坐标是解题关键．
【变式训练2】小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
【变式训练3】实心球是中考体育项目之一．在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面1.8m，实心球运动至最高点时距地面3.4m，距出手点的水平距离为4m．设实心球掷出后距地面的竖直高度为y（m），实心球距出手点的水平距离为x（m）．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．

(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式．
(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到12.4m为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．
(3)第二次投掷时，实心球运动的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．记小军第一次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，第二次投掷时出手点与着陆点的水平距离为，则______（填“＞”“＜”“＝”）．
【答案】(1)；(2)不能得满分；(3)＜
【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；
（2）令，解得x，与12.4m比较即可；
（3）令，解得x，根据（2）所得即可比较与．
【详解】（1）由题意，可知抛物线最高点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
将代入，得，解得．
∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为；
（2）令，解得（负值已舍去），
∴实心球出手点与着陆点的水平距离为m．
∵，即，∴，
∴小军第一次投掷实心球不能得满分．
（3）∵，
解得（负值已舍去），，，
，，∴．故答案为：＜．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式训练4】鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线，已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离水平速度时间）与离地高度的鹰眼数据如表：
(1)假如没有守门员，根据表中数据预测足球落地时，______；
(2)求关于的函数解析式；
(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功，已知守门员背对足球向球门前进过程中最大防守高度为，若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的，再代入求出，比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等，
抛物线关于对称，
当时，，
时，，
故答案为：．
（2）由（1）知，抛物线关于对称，设，
把代入上述解析式，
，解得，
（3）若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为，且时，足球位于守门员正上方，
则有，解得，
，
代入上述解析式可得，，
解得或．
此过程守门员的最小速度为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
课后训练
1．如图①，在正方形中，点E是的中点，点P是对角线上一动点，设，，图②是y关于x的函数图象，且图象上最低点Q的坐标为，则正方形的边长为（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】C
【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解．
【详解】解：如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，
根据点的对称性，，则为最小，
故，
设正方形的边长为a，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：（负值已舍去），
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形，正方形的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键．
2．某超市一月份的营业额为万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则根据题意列方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】可先表示出二月份的营业额，那么二月份的营业额增长率三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解．
【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加，
为，
则列出的方程是．
故选D．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和．
3．根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
【详解】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
4．为满足市场需求，某超市在2023年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
(3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？
【答案】(1)
(2)当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元
(3)440盒
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
（2）解：
时，
即：当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8000元．
（3）解：令
解得：
抛物线开口向下
∴当时，每天获得的利润不低于6000元
∴当时，每天获得的利润不低于6000元
在中，
∴随的增大而减小
故当时，
即超市每天至少销售粽子440盒．
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用．根据题意建立函数模型是解题关键．
5．某公园有一座漂亮的五孔桥，如图所示建立平面直角坐标系，主桥洞与两组副桥洞分别位于轴的两侧成轴对称摆放，每个桥洞的形状近似的可以看作抛物线，主桥洞上，与近似满足函数关系．经测量在主桥洞上得到与的几组数据：

根据以上数据回答下列问题：
(1)求主桥洞的函数表达式；
(2)若的表达式：，的表达式：，求五个桥洞的总跨度的长．
【答案】(1)
(2)五个桥洞的总跨度的长为米
【分析】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为待定系数法求二次函数解析式即可求解；
（2）根据二次函数的平移，分别令，，，求得每个桥洞的跨度即可求解．
【详解】（1）由表可知，抛物线的顶点坐标为
∴抛物线的解析式为
∵抛物线过点．解得
（2）令，
解得：，
；
∵的表达式：，的表达式：
由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，
即将向下移动
当时，
解得：，
；
由题意抛物线与抛物线上之间的部分重合，
即将向下移动，
当时，
解得：，
∴
∴五个桥洞的总跨度的长为米．

【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，画二次函数的图像，理解题意，灵活的运用抛物线的对称性解题是关键．
6．根据以下素材，探索完成任务
如何调整电梯球、落叶球的发球方向
素材1：如图是某足球场的一部分，球门宽，高．小梅站在A处向门柱一侧发球，点A正对门柱（即），，足球运动的路线是抛物线的一部分．

素材2：如图，当足球运动到最高点Q时，高度为，即，此时水平距离，以点A为原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系．

(1)求足球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式，此时足球能否入网？
(2)小梅改变发球方向，发球时起点不变，运动路线的形状不变，足球是否能打到远角E处再入网？（上述（1），（2）中球落在门柱边线视同球入网）
【答案】(1)，足球不能进入球网；(2)能
【分析】（1）由题意知抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式的顶点式为，由抛物线过原点即可求出a的值，从而确定抛物线的解析式；求出当时的函数值，与球门高对比即可作出判断；
（2）原点不变，所在直线为x轴，函数解析式不变，求出的长，计算当，对应的函数值并与比较，即可判断足球是否入门．
【详解】（1）解：由题得抛物线顶点坐标为，设
∵抛物线经过点A（0，0），
∴，
∴，
∴足球运动轨迹抛物线的函数表达式为；
当时，，，
∴足球不能进入球网．
（2）解：∵足球运动轨迹抛物线形状不变，此时以点A为原点，所在直线为x轴，
∴抛物线的函数表达式仍为
∵，
∴由勾股定理得：，
当，，
∴能打到远角E处入网．
【点睛】本题是二次函数的应用问题，考查了求二次函数的解析式，求函数值，勾股定理等知识，正确理解题意，把实际问题转化为数学问题是解题的关键．
售价（元/件）
月销量（件）
月销售总利润（元）
销售单价x（元/千克）
15
20
25
30
销售量y（千克）
30
25
20
15
(米)
(米)
售价（元/件）
月销量（件）
月销售总利润（元）
销售单价x（元/千克）
15
20
25
30
销售量y（千克）
30
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(米)
(米)