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人教版八年级数学上册专题01全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题01全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版+解析)，共56页。试卷主要包含了倍长中线模型，截长补短模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．
(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B(2)C(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；
（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE
（2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，
∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）先写出数量关系，过作于，然后证明和，便可得结论了．（2）成立, 在上截取证明和，便可得到结论．
【详解】
理由是：过作于 ∵CE为角平分线
同理可证
成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线
又
又是角平分线
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，
∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，
∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．
【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．在和中，，
，，．
，．
．，．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
【答案】30
【分析】延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积．
【详解】解：如图，延长至，使，连接CE，
∴，∴在和中，
，∴，∴，
∵，，∴，∴，
．故答案为：30
【点睛】本题考查了三角形的全等，勾股定理逆定理等知识，根据中点的意义添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
2．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)证明：在和中，
，∴ ，∴ ，∴ ，
∵，∴．
(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，在和中，
，∴ ，∴ ，，
∵，∴ ，∴ ，∵，∴ ，
∴ ，即，∵，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
【答案】180°-2x
【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．
【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，
又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，
又∵OE=2OP，∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，，，，，，
在与中，,，，；
（2）如图所示，，，
平分，，，
，，，作，
在与中，，，
，，
在与中，，，
，，，
设，，，．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．
(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)证明见解析(3)，理由见解析
【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．
（1）解：延长至E，使，连接，
是边上的中线，，在和中，，
，，
在中，由三角形的三边关系得：，，即，
，，；故答案为：；；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）可证：，，
，，∴MD是线段NF的垂直平分线，，
在中，由三角形的三边关系得：，；
（3）解：，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，，，
，，即，
，，∵，，∴，
在和中，，，，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，
∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC．
（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，
∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，
∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°，
∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)图见解析，°(2)，(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求得∠BAD=∠BAC，由旋转的性质可得∠ABE=∠E，由三角形内角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性质可得∠FBC；（3）在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等边三角形，便可解答；
（1）解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则∠CAE=60°；
（2）解：∵，是边的高线，∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，又，∴，
在中，，
∴∴
又∵是边的高线，∴
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．
（3）解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，
∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），
∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，
∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）①；②4；（2），见解析
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，∴AB′=AC′，∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，∴AD=BC，故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，，∴△AB′C′≌△ABC（SAS）∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，∴AD=B′C′=4，故答案为4；
（2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，∴B′D=C′D，∵DE=AD，∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，∵α+β=180°，∴∠B′AC′+∠BAC=180°，∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中， ∴△EB′A≌△CAB（SAS），∴AE=BC，∴AD=BC．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析．
【分析】（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；
（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；
（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题.
【详解】解：（1）结论：DB＝DC．理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD＝CD．故答案为BD＝CD．
（2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB．
（3）结论：AB＝AC+2BE．
理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用角平分线构造全等三角形是解决此题的关键.
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
【答案】(1)60° (2)证明见解析；(3) ．
【分析】（1）在BD上取点E，使BE= CD，证明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CAD， AE= AD，由等边三角形的性质可得出答案；（2）在DC的延长线上取一点H，使BD= BH，证明△ABD≌△CBH (SAS)，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）延长DC至H，使CH = AC，连接BH，证明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性质得出AB= BH，，证出△BDH为等边三角形，在Rt△CED中，设ED = m，则CE=2m，由等边三角形的性质得出DH=BH=AB=km+2m，则可得出答案．
（1）解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示：
∵，，∴△ABC是等边三角形，∴AB= AC，
∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，∴（SAS），∴，，
∴，
∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；
（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示：
∴ ，∵，，∴，
∵AB＝BC，，∴，
又∵，即，∴，
在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴ ，∴；
（3）解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示：
图3
∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，
∵AC = CH，BC= BC，∴（SAS），
∴，，
∵，∴，∴，设，则，
∵∴，∴，
又∵，∴△BDH为等边三角形，
∴，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，能够准确作出辅助线构造出全等三角形以及等边三角形性质的运用是解题的关键．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
【答案】见解析
【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到．
【详解】证明：如图，延长至，使，连接．
∵是的中线，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴(SAS)，
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴(SAS)，
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴(SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴(SAS)，
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
3．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．
(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；（2）已知．①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
专题01 全等模型-倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2023·成都市·八年级课时练习）【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B(2)C(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
（1）∵在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠M，∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
例2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：
如图，在中，D是边BC的中点，过点C画直线CE，使，交AD的延长线于点E，求证：
证明∵（已知）
∴，（两直线平行，内错角相等）．
在与中，
∵，（已证），
（已知），
∴，
∴（全等三角形的对应边相等）．
（1）【方法应用】如图①，在中，，，则BC边上的中线AD长度的取值范围是______．
（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，，点E是BC的中点，若AE是的平分线，试猜想线段AB、AD、DC之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【拓展延伸】如图③，已知，点E是BC的中点，点D在线段AE上，，若，，求出线段DF的长．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）AD=AB+DC．理由见解析；（3）DF=3．
【分析】（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出AC=BE=4，在△ABE中，根据三角形三边关系定理得出AB-BE＜AE＜AB+BE，代入求出即可；
（2）结论：AD=AB+DC．延长AE，DC交于点F，证明△ABE≌△FEC（AAS），推出AB=CF，再证明DA=DF即可解决问题；（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，证明AB=DF+CF，可得结论．
【详解】解：（1）延长AD到E，使AD=DE，连接BE，
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=4，
在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；
（2）结论：AD=AB+DC．理由：如图②中，延长AE，DC交于点F，
∵AB∥CD，∴∠BAF=∠F，
在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴CF=AB，
∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF=∠FAD，∴∠FAD=∠F，∴AD=DF，
∵DC+CF=DF，∴DC+AB=AD；
（3）如图③，延长AE交CF的延长线于点G，
∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥CF，∴∠BAE=∠G，
在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC（AAS），∴AB=GC，
∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=DF+CF，
∵AB=5，CF=2，∴DF=AB-CF=3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE
（2）AC=BF，理由如下：延长AD至点G，使GD=AD，连接BG，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，
∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC； = 2 \* GB3 ②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法： = 1 \* GB3 ①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD； = 2 \* GB3 ②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·山东八年级课时练习）如图所示，平分平分；
（1）求与的数量关系，并说明你的理由．
（2）若把条件去掉，则（1）中与的数量关系还成立吗?并说明你的理由．
【答案】（1），见解析；（2）成立，见解析
【分析】（1）先写出数量关系，过作于，然后证明和，便可得结论了．（2）成立, 在上截取证明和，便可得到结论．
【详解】
理由是：过作于 ∵CE为角平分线
同理可证
成立 理由：在上截取 ∵CE为角平分线
又
又是角平分线
例2．（2022秋·重庆市·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°−α，
∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°−α，∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°，
∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
例3．（2023·广西·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．
(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ；（直接写出答案）；(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．
【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析．
【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．
【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．
∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．
∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．
∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．
在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．
∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；
（2）猜想：AE=AB+DE+BD．
证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．
∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．
在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），
∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．
∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，
∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．
∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．
【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．
例4．（2022秋·绵阳市·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．在和中，，
，，．
，．
．，．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·四川成都·八年级期中）如图中，点为的中点，，，，则的面积是______．
【答案】30
【分析】延长至，使，连接CE，得到，证明，得到，进而证明，即可求出△ABC面积．
【详解】解：如图，延长至，使，连接CE，
∴，∴在和中，
，∴，∴，
∵，，∴，∴，
．故答案为：30
【点睛】本题考查了三角形的全等，勾股定理逆定理等知识，根据中点的意义添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
2．（2022·北京·中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得
(1)如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；
(2)连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．
(1)证明：在和中，
，∴ ，∴ ，∴ ，
∵，∴．
(2)解：补全后的图形如图所示，，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵，CM＝CB，∴ 垂直平分BM，∴，在和中，
，∴ ，∴ ，，
∵，∴ ，∴ ，∵，∴ ，
∴ ，即，∵，∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明是解题的关键．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
【答案】180°-2x
【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．
【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
4．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，
又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，
又∵OE=2OP，∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，，，，，，
在与中，,，，；
（2）如图所示，，，
平分，，，
，，，作，
在与中，，，
，，
在与中，，，
，，，
设，，，．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
6．（2022·浙江台州·八年级阶段练习）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
(1)【阅读理解】如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．
在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是______；中线的取值范围是______．
(2)【理解与应用】如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：．
(3)【问题解决】如图3，在中，点D是的中点，，，其中，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；(2)证明见解析(3)，理由见解析
【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．
（1）解：延长至E，使，连接，
是边上的中线，，在和中，，
，，
在中，由三角形的三边关系得：，，即，
，，；故答案为：；；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示：
同（1）可证：，，
，，∴MD是线段NF的垂直平分线，，
在中，由三角形的三边关系得：，；
（3）解：，理由如下：延长至，使，连接，如图3所示：
由（1）得：，，，
，，即，
，，∵，，∴，
在和中，，，，．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等．
7．（2022·山东临沂·八年级期末）（1）问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD＝CD，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD＝CD；（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证BD+AD＝BC．
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．只要证明△DEA≌△DFC即可解决问题；
（2）如图3中，在BC时截取BK=BD，BT=BA，连接DK．首先证明DK=CK，再证明△DBA≌△DBT，推出AD=DT，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD＝CD．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE⊥BA于E，DF⊥BC于F．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，
∵∠E＝∠DFC＝90°，∴△DEA≌△DFC，∴DA＝DC．
（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．
∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，
∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，
∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，∴∠DTK＝∠DKT＝80°，
∴DT＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．
【点睛】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
8．（2022·北京·九年级专题练习）如图，在三角形中，，，是边的高线，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接交于点F．
(1)依题意补全图形，写出____________°
(2)求和的度数；(3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)图见解析，°(2)，(3)，证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质，补全图形即可；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，求得∠BAD=∠BAC，由旋转的性质可得∠ABE=∠E，由三角形内角和定理在△ABE中，∠ABE+∠E+∠BAC=180°-∠CAE，便可求得∠BAF+∠ABF，再由三角形外角的性质可得∠FBC；（3）在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，由△ABF≌△AEM求得AF=AM，∠BAF=∠EAM，再由∠CAE=60°可得△AFM是等边三角形，便可解答；
（1）解：如图分别以A，C为圆心，以AC为半径作弧，两弧交于点E，连接BE交AD于点F，则∠CAE=60°；
（2）解：∵，是边的高线，∴，
∵线段绕点A逆时针旋转得到线段，
∴，又，∴，
在中，，
∴∴
又∵是边的高线，∴
∵∠BFD=∠BAF+∠ABF，∴．
（3）解：如图，在EF上取点M，使EM=BF，连接AM，
∵AB=AE，∠ABF=∠AEM，BF=EM，∴△ABF≌△AEM（SAS），
∴AF=AM，∠BAF=∠EAM，∵∠DAC=∠BAF，∴∠DAC=∠EAM，
∵∠CAE=60°，∴∠FAM=60°，∴△AFM是等边三角形，∴FM=AF，∴AF+BF=EF；
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形判定的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质；熟练掌握相关性质是解题关键．
9．（2022·吉林·公主岭市范家屯镇第二中学校九年级期末）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”， 边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．
特例感知：（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为________；
②如图3，当时，则长为___________．
猜想论证：（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
【答案】（1）①；②4；（2），见解析
【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．
【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，
∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，∴AB′=AC′，∴∠AB′D=30°，
∴AD=AB′，∴AD=BC，故答案为；
②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，
在△AB′C′和△ABC中，，∴△AB′C′≌△ABC（SAS）∴B′C′=BC=8，
∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，∴AD=B′C′=4，故答案为4；
（2）猜想． 证明：如图，延长至点E使得，连接B′E、C′E，
∵AD是△AB′C’的中线，∴B′D=C′D，∵DE=AD，∴四边形AB′EC′是平行四边形，
∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，∵α+β=180°，∴∠B′AC′+∠BAC=180°，∴∠EB′A=∠BAC，
在△EB′A和△CAB中， ∴△EB′A≌△CAB（SAS），∴AE=BC，∴AD=BC．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．
10．（2022·湖北孝感·八年级期中）（1）感知：如图1，AD平分∠BAC，∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB，DC数量关系为： ．（2）探究：如图2，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，（1）中的结论是否成立？请作出判断并给予证明．（3）应用：如图3，在四边形ABCD中，DB＝DC，∠ABD+∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，DE⊥AB于点E，试判断AB，AC，BE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）BD＝CD；（2）成立，证明详见解析；（3）AB＝AC+2BE，证明详见解析．
【分析】（1）结论：BD＝CD．只要证明△ADC≌△ADB即可；
（2）结论成立．如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，只要证明△ADC≌△ADB即可；
（3）如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．首先证明△DFC≌△DEB（AAS），再证明Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）即可解决问题.
【详解】解：（1）结论：DB＝DC．理由：∵∠B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠DAC＝∠DAB，AD＝AD，∴△ADC≌△ADB．∴BD＝CD．故答案为BD＝CD．
（2）结论成立．理由：如图②中，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
∵DA平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△EDB中，，∴△DFC≌△DEB，∴DC＝DB．
（3）结论：AB＝AC+2BE．
理由：如图③中，连接AD．作DF⊥AC于F．
∵∠B+∠ACD＝180°，∠ACD+∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD，
在△DFC和△DEB中，，∴△DFC≌△DEB（AAS），∴DF＝DE，CF＝BE，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE．
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用角平分线构造全等三角形是解决此题的关键.
11．（2022·辽宁大连·八年级期末）已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，．
(1)【特例体验】如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
(2)【类比探究】如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
(3)【拓展迁移】如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
【答案】(1)60° (2)证明见解析；(3) ．
【分析】（1）在BD上取点E，使BE= CD，证明△ABE≌△ACD(SAS)，由全等三角形的性质得出∠BAE=∠CAD， AE= AD，由等边三角形的性质可得出答案；（2）在DC的延长线上取一点H，使BD= BH，证明△ABD≌△CBH (SAS)，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；（3）延长DC至H，使CH = AC，连接BH，证明△ABC≌△HBC(SAS)，由全等三角形的性质得出AB= BH，，证出△BDH为等边三角形，在Rt△CED中，设ED = m，则CE=2m，由等边三角形的性质得出DH=BH=AB=km+2m，则可得出答案．
（1）解：在BD上取点E，使BE= CD，如图1所示：
∵，，∴△ABC是等边三角形，∴AB= AC，
∵∠BAC =∠BDC，∠AOB=∠COD，∴∠ABE=∠ACD，
在△ABE和△ACD中，
，∴（SAS），∴，，
∴，
∴△AED是等边三角形，∴∠ADB=60°；故答案为：60°；
（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使，如图2所示：
∴ ，∵，，∴，
∵AB＝BC，，∴，
又∵，即，∴，
在△ABD和△CDH中，∴(SAS)，∴ ，∴；
（3）解：延长DC至H，使CH = AC，连接BH，如图3所示：
图3
∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°，∴∠ACB=∠BCH，
∵AC = CH，BC= BC，∴（SAS），
∴，，
∵，∴，∴，设，则，
∵∴，∴，
又∵，∴△BDH为等边三角形，
∴，∴．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，能够准确作出辅助线构造出全等三角形以及等边三角形性质的运用是解题的关键．
12．（2022秋·重庆八年级课时练习）在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F．
（1）求证：；
（2）已知．
①如图1，若，，求CE的长；
②如图2，若，求的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．
【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，
（2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案；
（3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得．
【详解】解：（1）、分别是与的角平分线，
，
，
，
（2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD，
由（1）得，
，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，
∴，
∴，
∴
在与中，
，
，
，
，
；
∵，，
∴
（3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC，
，
∴，
在与中，
，
∴（SAS）
∴，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
13．（2022秋·辽宁鞍山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E是线段BD与直线AP的交点．
（1）若∠DAE＝15°，求证：△ABD是等腰直角三角形；
（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出∠BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及∠DAE＝15°，推出∠BAD＝90°，即可得出结论；
（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF≌△ACE，得出AF＝AE，再进一步推出∠AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．
【详解】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠CAE＝∠DAE＝15°，AD＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝75°，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝AC＝AD，
∴△ABD是等腰直角三角形；
（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，
∵线段AC与AD关于直线AP对称，
∴∠ACE＝∠ADE，AD＝AC，
∵AD＝AC＝AB，
∴∠ADB＝∠ABD=∠ACE，
在△ABF与△ACE中，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴AF＝AE，
∵AD＝AB，
∴∠D＝∠ABD，
又∠CAE＝∠DAE，
∴，
∴在△AFE中，AF＝AE，∠AEF＝60°，
∴△AFE是等边三角形，
∴AF＝FE，
∴BE＝BF+FE＝CE+AE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．
14．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接）
【答案】见解析
【分析】延长至，使，连接．先证明．得到，，再利用外角性质及等式的性质得到，进而得到，最后即可得到．
【详解】证明：如图，延长至，使，连接．
∵是的中线，
∴．
在与中，
，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∵，，
，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
15．（2023春·成都市·七年级专题练习）（1）如图1，在ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE＋CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B＋∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析
【分析】（1）证明，推出CE=AB=4，在中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
【详解】（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴(SAS)，
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴(SAS)，
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴∠A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴(SAS)，
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF= ∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴(SAS)，
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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