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人教版八年级数学上册专题08三角形中的特殊模型-双角平分线模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题08三角形中的特殊模型-双角平分线模型(原卷版+解析)，共38页。试卷主要包含了双角平分线模型等内容，欢迎下载使用。
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．
图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则 .
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．
(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 ．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．
课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·八年级月考）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则
A．B．C．D．
3．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
8．（2023·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是 ．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则 ， ，
（2）若，则 ．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．
14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
专题08.三角形中的特殊模型-双角平分线模型
模型1、双角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．
图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则 .
【答案】
【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】解：∵平分，平分，
∴，∴.
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四边形的内角和求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：在四边形中，，∴，
由题意可得：平分，平分，∴，，
∴，∴故选：C．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．
(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 ．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，，再结合，即可得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到，，，再代入（1）中结论求解即可．
【详解】（1）解：猜想：，
证明：由题意得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，、分别是、的三等分线，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为度是解题的关键．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
【答案】40°
【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．
【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，
则有 ，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
【答案】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，，与的平分线交于点∴
∵∴
∵ ∴同理，得；
；；…
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可．
【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，，
平分，平分．，，
，；
如图3，是等腰三角形，，，，
平分，平分．，，
，；故答案为，，；
（2）解：成立，如图1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．
【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95
【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；
（3）由角平分线的性质、四 边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；
（4）由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线
∵∠ACD是△ABC的一个外角
∵∠2是△BOC的一个外角
（2）探究3结论：∠BOC=90°－
∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线
∴
∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A
两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A
即∴整理得：∠BOC=90°－
（3）拓展结论：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线∴
∴∠OBC+∠OCB
在△BOC中，
∴∴
（4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线∴
∴∴
∵∴
在△CPD中，故答案为：95
【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．
课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件可知平分，则可求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案．
【详解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．
2．（2023·江苏·八年级月考）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则
A．B．C．D．
【解答】解：到三角形三边距离相等，是内心，
即三条角平分线交点，，，都是角平分线，
，，
，，
．故选：．
3．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：延长，作，，，设，
平分，，，
平分，，，，
，，
，，
在和中，，，．故选：．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可．
【详解】解：作于点F，于点H，于点G，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵，，∴平分，
∵，，∴，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．
【详解】解：，，
，故A选项正确，不符合题意；
平分，，
在中，，
，故B选项错误，符合题意；
平分，，
在中，，故C选项正确，不符合题意；
、分别是和的平分线，到、、的距离相等，
是的外角平分线，，
故D选项正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据的平分线与的平分线的反向延长线交于点可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．
【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B
【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
8．（2023·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是 ．
【解答】解：在中，，在中，，
、分别是和的平分线，，，
，
，，，即．故答案为：．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则 ， ，
（2）若，则 ．
【答案】 40° 20° 10°
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；
（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．
【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°
同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10° 故答案为：40°；20°；10°．
（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°
同理可证：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案为：°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
【答案】
【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．
【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，
∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=，∠BCP=，
∴∠PBC+∠BCP=
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
【答案】36°
【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．
【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据尺规作图法可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，，∴，
∵是的平分线，∴，
∵，是的平分线，
∴，∴．
【点睛】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．
14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.
【答案】 成立，见解析.
【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案
【详解】解：成立．
理由如下：∵在中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，
由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，．
由三角形的外角性质得，，
，
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=∠A；理由见解析
【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．
【详解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+∠A．
(2)∠BOC=∠A．
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
71．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）①；②；(2) （3）
【详解】：（1）①；②；
（2）∵和分别平分和∴,
∴ 即
（3）由轴对称性质知：
由（1）②可得 ∴．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此结果形式可以不同，只要正确皆可）
【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；
（2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．
试题解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°．
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分线，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m．
（3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠BPC =180°﹣
【分析】（1）借助角平分线的性质即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中进一步分析可找出∠BPC与∠A的关系，进而求出∠BPC的度数；
（2）根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根据角平分线的定义可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性质得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC与∠A的关系；
（3）延长BA、CD相交于点Q，由（2）的分析可直接得出∠P与∠Q的关系，而∠BAD与∠CDA是△ADQ的外角，再结合三角形外角性质即可解答.
【详解】（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+35°=125° 故答案为125°
（2）∠BPC=90°﹣∠A
理由如下：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°﹣（∠A+180°）=90°﹣∠A
（3）延长BA、CD相交于点Q，如图
∠BPC=90°﹣∠Q∴∠Q=180°﹣2∠BPC
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC
∴∠BPC =180°﹣ 故答案为∠BPC =180°﹣
【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
【答案】（1），证明见解析；（2）；．
【分析】（1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可；
（2）图2中，根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．
【详解】解：（1）．
证明：∵平分，平分，
∴，，∴
．即．
（2）；．如图2所示：
∵平分，平分，∴，，
∴．
∵∴．即．
如图3所示：∵平分，平分，∴，，
∴
．
∵∴．即．故答案为：；．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．
图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则 .
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．
(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 ．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．
课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏·八年级月考）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则
A．B．C．D．
3．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
8．（2023·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是 ．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则 ， ，
（2）若，则 ．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．
14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
17．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
专题08.三角形中的特殊模型-双角平分线模型
模型1、双角平分线模型
1）两内角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF交于点G；结论：．
图1 图2 图3
2）两外角平分线的夹角模型
条件：如图2，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：．
3）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：．
图4 图5 图6
4）凸多边形双内角平分线的夹角模型
条件：如图4，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：
5）两内角平分线的夹角模型
条件：如图5，BP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：
6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图6，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是．
7）旁心模型
旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD
例1．（2023·绵阳市八年级课时练习）如图，在中，，，平分，平分，则 .
【答案】
【分析】先根据角平分线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.
【详解】解：∵平分，平分，
∴，∴.
【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.
例2．（2023·河南周口·八年级统考期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四边形的内角和求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：在四边形中，，∴，
由题意可得：平分，平分，∴，，
∴，∴故选：C．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解．
例3．（2023秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，．
(1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 ．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，，再结合，即可得到结论；
（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到，，，再代入（1）中结论求解即可．
【详解】（1）解：猜想：，
证明：由题意得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，、分别是、的三等分线，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为度是解题的关键．
例4．（2023秋·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ．
【答案】61°
【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．
【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，
∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，
∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，
∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．
【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．
例5．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，已知在中，、的外角平分线相交于点，若，，求的度数.
【答案】
【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系．
【详解】解：∠B、∠C的外角平分线相交于点G，
在中，∠BGC=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠EBC+∠BCF）
=180°-（180°-∠ABC+180°-∠ACB）=180°-（180°-m°+180°-n°）；=
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系简化计算得出．
例6．（2023春·广西·七年级专题练习）如图，在△ABD中，∠ABD的平分线与∠ACD的外角平分线交于点E，∠A=80°，求∠E的度数
【答案】40°
【分析】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可．
【详解】由题意：设∠ABE=∠EBC=x，∠ACE=∠ECD=y，
则有 ，①-2×②可得∠A=2∠E，∴∠E=∠A=40°．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．
例7．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ．
【答案】
【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，，与的平分线交于点∴
∵∴
∵ ∴同理，得；
；；…
∴故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解．
例8．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系．
(1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ；
如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由．
【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可．
（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可．
【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，，
平分，平分．，，
，；
如图3，是等腰三角形，，，，
平分，平分．，，
，；故答案为，，；
（2）解：成立，如图1，在中，，
在中，，（1）
平分，平分，，，
又，，（2）
由（1）（2），，．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键．
例9．（2023·重庆·七年级专题练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线
∴，
∴
∴
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A 有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3： 如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则与有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD=_____度．
【答案】（1）∠BOC=；（2）∠BOC=90°－；（3）；（4）95
【分析】（1）根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；
（2）根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；
（3）由角平分线的性质、四 边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；
（4）由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】（1）探究2结论：∠BOC=
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线
∵∠ACD是△ABC的一个外角
∵∠2是△BOC的一个外角
（2）探究3结论：∠BOC=90°－
∵BO和CO分别是∠DBC和∠ECB的角平分线
∴
∵∠DBC=2∠OBC=∠ABC+∠A，∠ECB=2∠OCB=∠ACB+∠A
两式相加得：2∠OBC+2∠OCB=∠ABC+∠ACB+2∠A
即∴整理得：∠BOC=90°－
（3）拓展结论：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠BCD的角平分线∴
∴∠OBC+∠OCB
在△BOC中，
∴∴
（4）运用：∵CP和DP分别是∠DCF和∠GDC的角平分线∴
∴∴
∵∴
在△CPD中，故答案为：95
【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线的性质及多边形内角和定理是关键．
课后专项训练
1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，平分，点是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；
③作射线，交于点．若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据条件可知平分，则可求出，根据平分求出，进而利用即可求出答案．
【详解】由作法得平分，∴，
∵平分，∴，
∵，∴．故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题的关键．
2．（2023·江苏·八年级月考）中，点是内一点，且点到三边的距离相等；，则
A．B．C．D．
【解答】解：到三角形三边距离相等，是内心，
即三条角平分线交点，，，都是角平分线，
，，
，，
．故选：．
3．（2023·成都·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则
A．B．C．D．
【解答】解：延长，作，，，设，
平分，，，
平分，，，，
，，
，，
在和中，，，．故选：．
4．（2023·重庆·八年级专题练习）已知，如图，中，，，点D、E分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（ ）
A．45°B．48°C．60°D．66°
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质定理证得，，进而得出，从而判定平分，再利用外角的性质求出即可．
【详解】解：作于点F，于点H，于点G，
∵平分，平分，∴，，∴，
∵，，∴平分，
∵，，∴，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线．
5．（2023秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出，即可判断A选项；根据角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义和角平分线的定义求出，再利用三角形的内角和定理求出，即可判断C选项；利用角平分线的性质，推出为的外角平分线，然后列式计算求出，即可判断D选项．
【详解】解：，，
，故A选项正确，不符合题意；
平分，，
在中，，
，故B选项错误，符合题意；
平分，，
在中，，故C选项正确，不符合题意；
、分别是和的平分线，到、、的距离相等，
是的外角平分线，，
故D选项正确，不符合题意．故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键．
6．（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】延长BE交DC的延长线于G，根据三角形内角和定理，可得∠EBF+∠BEF=130°，根据的平分线与的平分线的反向延长线交于点可得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，根据平行线的性质可得∠ECG=100°，进而可求解．
【详解】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，∴∠ABE=∠BGC，∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，∴∠BGC+∠CEG=80°，∴∠ECG=100°，∴∠ECD=180°-100°=80°．故选：B
【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
7．（2022春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（ ）
A．30°B．45°C．55°D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出∠D的度数．
【详解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键．
8．（2023·江苏·八年级月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则的度数是 ．
【解答】解：在中，，在中，，
、分别是和的平分线，，，
，
，，，即．故答案为：．
9．（2023春·河北·七年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠BOC＝130°，则∠D＝
【答案】40°
【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，∴∠ACO=∠ACB，
∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ACE，∵∠ACB+∠ACE=180°，
∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=（∠ACB+∠ACE）=×180°=90°，
∵∠BOC＝130°，∴∠D=∠BOC-∠OCD=130°-90°=40°，故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题的关键．
10．（2022秋·浙江八年级课时练习）（2018育才单元考） 如图，在△ABC中，和的角平分线交于点，得，和的角平分线交于点，得，……，和的角平分线交于点，得
（1）若，则 ， ，
（2）若，则 ．
【答案】 40° 20° 10°
【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，进而可求∠A2和∠A3；
（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证∠A1=∠A，进而可求∠A1，同理易证∠A2=∠A1，∠A3=∠A2，…，以此类推可知∠A2015即可求得．
【详解】解：（1）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点，∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=40°
同理可证：∠A2=∠A1=20°，∠A3=∠A2=10° 故答案为：40°；20°；10°．
（2）∵∠A=∠ACD－∠ABC，∠A1=∠A1CD－∠A1BC
∵和的角平分线交于点， ∴∠A1CD=∠ACD，∠A1BC=∠ABC
∴∠A1=∠A1CD－∠A1BC=∠ACD－∠ABC=（∠ACD－∠ABC）=∠A=°
同理可证：∠A2=∠A1=°，∠A3=∠A2=°∴∠A2015=°故答案为：°．
【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1=∠A，并依此找出规律．
11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示）
【答案】
【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可．
【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°，∴∠ABC+∠BCD=360°-m°，
∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠PBC=，∠BCP=，
∴∠PBC+∠BCP=
∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案为：．
【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数．
12．（2023春·河南·七年级专题练习）如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两外角平分线的交点，如果∠CMB：∠CNB＝3：2，那么∠CAB＝ ．
【答案】36°
【分析】由角平分线的定义得∠NCM=∠MBN=×180°=90°，再比的关系可求得∠CMB=108°，再由内角平分线及三角形内角和即可求得结果．
【详解】由题意得：∠NCM=∠MBN=×180°=90°， ∴∠CMB+∠CNB=180°，
又∠CMB：∠CNB=3：2，∴∠CMB=108°，∴（∠ACB+∠ABC）=180°-∠CMB=72°，
∴∠ACB+∠ABC=144°，∴∠CAB=180°-（∠ACB+∠ABC）=36°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到∠NCM=∠MBN=90°是关键．
13．（2023·甘肃陇南·统考一模）在中，，．点M在的延长线上，的平分线交于点D．的平分线与射线交于点E．
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；(2)求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据尺规作图法可作的平分线；（2）根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，，∴，
∵是的平分线，∴，
∵，是的平分线，
∴，∴．
【点睛】本题考查尺规作图−角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和相关知识是解题的关键．
14．（2023·山东八年级期中）如图，在中，角平分线、、相交于点，过点作于点，成立吗？说明理由.
【答案】 成立，见解析.
【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案
【详解】解：成立．
理由如下：∵在中，角平分线AD、BE、CF相交于点O，
由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，．
由三角形的外角性质得，，
，
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键．
15．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△ABC中，O为∠ABC和∠ACB的平分线BO，CO的交点．试猜想∠BOC和∠A的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若O为∠ABC的平分线BO和∠ACE的平分线CO的交点，则∠BOC与∠A的关系又该怎样？为什么？
【答案】(1)∠BOC=∠A+90°；理由见解析；(2)∠BOC=∠A；理由见解析
【分析】(1)根据三角形内角和定理得出∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，然后得出∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°，最后得出结论；(2)根据外角的性质得出∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE，然后根据角平分线的性质得出∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，最后根据∠BOC=∠OCE-∠OBC得出答案．
【详解】(1)∠BOC=∠A+90°．在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
又∵ BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB．
∴ ∠BOC+∠ABC+∠ACB=180°．∴ ∠BOC=180°﹣ (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)= 90°+∠A．
(2)∠BOC=∠A．
∵ ∠A+∠ABC=∠ACE，∠OBC+∠BOC=∠OCE， ∴ ∠A=∠ACE-∠ABC， ∠BOC=∠OCE-∠OBC
又∵ BO，CO分别是∠ABC和∠ACE的平分线， ∴ ∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE．
∴∠BOC=∠OCE-∠OBC=∠ACE-∠ABC= (∠ACE-∠ABC)= ∠A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键．
16．（2023春·八年级单元测试）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）若∠A=70°，求∠D的度数；（2）若∠A=a，求∠E；（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ．
【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；
（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，
∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，
∵∠ACG=∠A+∠ABC，∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，
∵∠DCG=∠D+∠DBC，∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，
∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，∴∠D=∠A=35°；
（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，
∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，∴∠DBE=90°，
∵∠D=∠A，∠A=α，∴∠D=α，∵∠DBE=90°，∴∠E=90°-α；
（3）如图，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，∴∠DAM=∠MAC，
∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，
∴∠ADB=∠ACB=β．故答案为：β．
【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．
71．（2023·福建泉州·七年级阶段练习）在中，已知.
（1）如图1，的平分线相交于点．①当时，度数= 度（直接写出结果）；
②的度数为 （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若的平分线与角平分线交于点,求的度数（用含的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将以直线BC为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点（如图3），求的度数（用含的代数式表示）．
【答案】（1）①；②；(2) （3）
【详解】：（1）①；②；
（2）∵和分别平分和∴,
∴ 即
（3）由轴对称性质知：
由（1）②可得 ∴．
18．（2023·江苏盐城·七年级阶段练习）如图，△ABC的角平分线相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度数
（3）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分线相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度数
【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此结果形式可以不同，只要正确皆可）
【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可；
（2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可．
试题解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分线，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°．
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分线，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m．
（3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ．
点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和等于180°．根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键．
19．（2023·江西上饶·八年级校考阶段练习）(1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；
【答案】（1）125°；（2）∠BPC=90°﹣∠A，理由见解析；（3）∠BPC =180°﹣
【分析】（1）借助角平分线的性质即可得到∠PBC=∠ABC以及∠PCB=∠ACB，然后在△BPC中进一步分析可找出∠BPC与∠A的关系，进而求出∠BPC的度数；
（2）根据三角形内角和定理可知∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB），根据角平分线的定义可用（∠DBC+∠ECB）表示∠PBC+∠PCB，再利用三角形外角性质得到∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，即可求出∠BPC与∠A的关系；
（3）延长BA、CD相交于点Q，由（2）的分析可直接得出∠P与∠Q的关系，而∠BAD与∠CDA是△ADQ的外角，再结合三角形外角性质即可解答.
【详解】（1）解：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A=90°+35°=125° 故答案为125°
（2）∠BPC=90°﹣∠A
理由如下：∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（∠DBC+∠ECB）
=180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°﹣（∠A+180°）=90°﹣∠A
（3）延长BA、CD相交于点Q，如图
∠BPC=90°﹣∠Q∴∠Q=180°﹣2∠BPC
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q=180°+180°﹣2∠BPC =360°﹣2∠BPC
∴∠BPC =180°﹣ 故答案为∠BPC =180°﹣
【点睛】本题考查的是三角形内角和与外角的知识，掌握三角形外角性质以及内角和定理是解题关键.
20．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△ABC中，图1，图2，图3中的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，
（1）如图1，点O是△ABC的两个内角平分线的交点，猜想∠O与∠A之间的数量关系，并加以证明．
（2）请直接写出结果．
如图2，若，△ABC的内角平分线与外角平分线交于点O，则∠O＝________；
如图3，若，△ABC的两个外角平分线交于点O，则∠O＝_________．
【答案】（1），证明见解析；（2）；．
【分析】（1）根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，对角度进行等价代换即可；
（2）图2中，根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形外角的性质得到和，最后对角度进行等价代换即可；图3中，根据角平分线的性质可以得到，，再根据三角形的内角和定理得到和的三个内角的和是，最后再结合平角的性质对角度进行等价代换即可．
【详解】解：（1）．
证明：∵平分，平分，
∴，，∴
．即．
（2）；．如图2所示：
∵平分，平分，∴，，
∴．
∵∴．即．
如图3所示：∵平分，平分，∴，，
∴
．
∵∴．即．故答案为：；．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握这些知识点是解题关键，特别注意等价代换的使用．
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