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人教版八年级数学上册专题10三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学上册专题10三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了“8”字模型，“A”字模型，三角板模型等内容，欢迎下载使用。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
(1)若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
(2)若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）
专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．
①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，∴；
（2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴，
∵①，②，
由，得：，即，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，∴），故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，，，两式相加即可得出结论；（2）根据证即可得出结论；
（3）在上取一点，使，连接交于点，证，即，同理证，然后同理（1）得，变形不等式即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
，即；
（2）证明：平分，，
在和中，，，；
（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，
是的角平分线，，
在和中，，，，同理可证，
，，，即，
，．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，∴，
∵，∴，∵，∴，
又∵∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，
∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；
（3）∵，是的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分线和相交于点P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据邻补角求得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：，，
，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，．
又，．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；（2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；
（3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可；
（4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可．
【详解】（1）为直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由见下：由题意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
由三角形外角的性质可得，，∵，∴，
∵，∴，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，
∵，∴．
（3）如图，由三角形外角的性质可得，，，，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由题意知，，则，进而可判断①的正误；由，可得，则与互为补角，进而可判断②的正误；由，可得，则，，进而可判断③的正误；由题意知，，即，由，可得，则，进而可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求；
∵，∴，
∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴，
∵，∴，③一定正确，故符合要求；
由题意知，，即，
∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合对顶角相等，即可得出的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是”及“对顶角相等”是解题的关键．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴．
∵是的外角，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】如图，由题意得：，根据平行线的性质求出，进而可求出，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、平行线的性质和角的和差求出，即可判断①；求出，进而可判断②．
【详解】解：如图，由题意得：，
∵，
∴，
∵， ∴，
∴，，故结论③错误；
∵，∴，∴平分，故结论④正确；
∵，∴，∴，故结论①正确；
∵，∴，∴，故结论②正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)105(2)(3)或
【分析】操作一：可得出，从而，进而得出；
操作二：延长，交于G，可得出，，由得出，进而得出；
操作三：当第一次时，由，得出，从而得出；当第二次时，在第一次基础上，又旋转，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，，
，，
，故答案为：；
（2）解：如图1，
延长，交于G，平分，，
由题意得：，，
，；
（3）解：如图2，
，，，
当点A运动到时，， 综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论，平行线的判定和性质，图形的旋转等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，利用对顶角相等得，，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，，
，
在中，，
，
即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟记三角形的内角和为．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【详解】解：A、，，故此选项不符合题意；
B、，，，，，故此选项不符合题意；
C、，，，不平行，故此选项符合题意；
D、，，，，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，三角板中角度的计算，余角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，利用三角形的外角性质得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，不等式的性质，掌握“三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角”是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四边形内角和为可得，再根据直角三角形的性质可得，进而可得的和．
【详解】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为
．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】A
【分析】延长交于H，利用“8”字形求出，利用外角的性质得到，由此求出的度数，进而得到答案．
【详解】解：延长交于H，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得．
【详解】解：∵三角形的内角和等于，
∴可得和的邻补角之和等于，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于,解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋∠ACD的度数．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在△DBC中，∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．
【答案】/250度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出，，，，再根据，进行求解即可得出最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，即，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
【答案】/240度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】连接，，
∴
又，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
由三角形的外角性质可得．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解答本题的关键．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【分析】（1）先求出∠B+∠A的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；
（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．
故选：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．
故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：
如图：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，四边形内角和等于360°以及折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图，记与的交点为点，与的交点为点，由，可得，再利用角的和差关系可得答案；如图，记与的交点为，求解，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设分别交、于点、，在中，可得，结合，，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，记与的交点为点，与的交点为点，
，
，
，
，即，
如图，记与的交点为，
，
，
，
，即，
（2）当，，保持不变，理由如下：
如图3，设分别交、于点、，在中，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
(1)若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
(2)若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
【答案】(1)①105；②75°
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和外角的性质进行求解即可；②过点P作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；
（2）利用等边对等角，平行线的性质，以及三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：105；
②∵，
∴，
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知，然后根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)140，90，50；
(2)35，过程见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）在中，由和三角形内角和定理求得，在中，由及三角形内角和定理求得，即可求得；
（2）按照（1）的过程即可得到答案；
（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．
【详解】（1）在中，，
，
在中，，
，
；
故答案为：140，90，50．
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：35；
（3）与之间的数量关系为：．
理由如下：
在中，．
在中，．
，
．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）
【答案】(1)见解析(2)(3)；理由见解析(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4)同法即可解决问题．
（1）
证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
∠AOB=∠COD
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的结论得
2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC
∠P=(∠ABC+∠ADC)
∵∠ABC=35°，∠ADC=15°
∠P=25°
（3）
解：如图3
∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3
∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)
∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC
∠ABC=35°，∠ADC=29°
∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32°
（4）
解:同法可得，∠P=
故答案为：∠P=
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常见题型．
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（ ）．
A．B．C．D．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
(1)若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
(2)若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）
专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型
近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“8”字模型
图1 图2
8字模型（基础型）
条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。
8字模型（加角平分线）
条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D
例1．（2023·重庆·八年级假期作业）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（ ）
A．∠B＝∠DB．∠1＝∠A＋∠DC．∠2＞∠DD．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．
【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．
【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．
例2．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为 ．
【答案】1080°
【分析】连KF，GI，根据n边形的内角和定理得到7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形内角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数．
【详解】解：连KF，GI，如图，
∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度数为1080°．
故答案为：1080°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
例3．（2023·山东德州·八年级校考阶段练习）如图1，已知线段相交于点O，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．
(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线和相交于点P，且与分别相交于点．
①若，求的度数；
②若角平分线中角的关系改为“”，试探究与之间的数量关系．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；
（2）①根据角平分线的定义得到，，再根据“8字形”得到，两等式相减得到，即，即可求解．②根据，可得，，再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，，
在中，，
∵，∴；
（2）解：①∵和的平分线和相交于点P，∴，
∵①，②，
由，得：，即，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，∴），故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形”求解．
例4．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边．
(1)如图1，线段，交于点，连接，，判断与的大小关系，并说明理由；
(2)如图2，平分，为上任意一点，在，上截取，连接，．求证：；
(3)如图3，在中，，为角平分线上异于端点的一动点，求证：．
【答案】(1)；理由见详解(2)证明见详解(3)证明见详解
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，，，两式相加即可得出结论；（2）根据证即可得出结论；
（3）在上取一点，使，连接交于点，证，即，同理证，然后同理（1）得，变形不等式即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
，，
，即；
（2）证明：平分，，
在和中，，，；
（3）证明：在上取一点，使，连接交于点，
是的角平分线，，
在和中，，，，同理可证，
，，，即，
，．
【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
例5．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．
（1）【性质理解】
如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：；
（2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数；
（3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）．
【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°-
【分析】（1）由“对顶三角形”的性质得，从而得，进而即可得到结论；（2）设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，可得∠ABC+∠DCB=y-20°，根据三角形内角和定理，列出方程，即可求解；（3）设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，可得x+y=90°-，结合∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，∴，
∵，∴，∵，∴，
又∵∴；
（2）∵比大20°，+=+，
∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°，
∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y，
∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°，
∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°；
（3）∵，是的角平分线，
∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-，
∵和的平分线和相交于点P，
∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P，
∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握“对顶三角形”的性质，是解题的关键．
模型2、“A”字模型
结论：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
例1．（2022秋·广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据邻补角求得，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：如图，
∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查了求邻补角，三角形的外角的性质，掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
例2．（2023·绵阳市·八年级假期作业）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出，根据平角的概念计算即可．
【详解】解：，，
，故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【答案】见解析
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．
【详解】解：和是的外角，．
又，．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答．
【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故选C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键．
例5．（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；
（2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________；
（3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________；
（4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析
【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；（2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可；
（3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可；
（4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可．
【详解】（1）为直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案为：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由见下：由题意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理．
例6．（2022秋·河北邯郸·八年级统考期中）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF = ∠A + ∠B + ∠C；
应用上面模型解决问题：
(1)如图（2），“五角星”形，求？
分析： 图中是“A”型图，于是，所以= ；
(2)如图（3），“七角星”形，求；
(3)如图（4），“八角星”形，可以求得= ；
【答案】(1)180°(2)180°(3)360°
【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案；
（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案．
（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到一个四边形中可得答案．
【详解】（1）解：如图，
由三角形外角的性质可得，，∵，∴，
∵，∴，故答案为：180°；
（2）如图，由（1）得，
∵，∴．
（3）如图，由三角形外角的性质可得，，，，
故答案为：360°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键．
模型3、三角板模型
【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。
图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，
例1．（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（ ）
A．①②③④B．②③④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】由题意知，，则，进而可判断①的正误；由，可得，则与互为补角，进而可判断②的正误；由，可得，则，，进而可判断③的正误；由题意知，，即，由，可得，则，进而可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求；
∵，∴，
∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴，
∵，∴，③一定正确，故符合要求；
由题意知，，即，
∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B．
【点睛】本题考查了三角板中角度计算，平行线的判定，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
例2．（2023春·安徽·九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中，，，若相交于点E，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合对顶角相等，即可得出的度数．
【详解】解：在中，，，
∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是”及“对顶角相等”是解题的关键．
例3.（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】A
【分析】由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数．
【详解】解：∵，∴．
∵是的外角，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
例4．（2023春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】如图，由题意得：，根据平行线的性质求出，进而可求出，即可判断③④；根据三角形的内角和定理、平行线的性质和角的和差求出，即可判断①；求出，进而可判断②．
【详解】解：如图，由题意得：，
∵，
∴，
∵， ∴，
∴，，故结论③错误；
∵，∴，∴平分，故结论④正确；
∵，∴，∴，故结论①正确；
∵，∴，∴，故结论②正确；故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键．
例5．（2023春·吉林长春·七年级统考期末）实践与探究
材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．
(1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度．
(2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数．
(3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值．
【答案】(1)105(2)(3)或
【分析】操作一：可得出，从而，进而得出；
操作二：延长，交于G，可得出，，由得出，进而得出；
操作三：当第一次时，由，得出，从而得出；当第二次时，在第一次基础上，又旋转，进一步得出结果．
【详解】（1）解：，，，
，，
，故答案为：；
（2）解：如图1，
延长，交于G，平分，，
由题意得：，，
，；
（3）解：如图2，
，，，
当点A运动到时，， 综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及其推论，平行线的判定和性质，图形的旋转等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
课后专项训练
1．（2023春·新疆伊犁·七年级统考期末）如图，某位同学将一副三角板随意摆放在宗上，则图中的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，利用对顶角相等得，，再利用三角形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，，
，
在中，，
，
即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和，解题的关键是熟记三角形的内角和为．
2．（2023春·安徽合肥·七年级统考期末）若将一副三角板按如图所示的方式放置，其中，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案．
【详解】解：A、，，故此选项不符合题意；
B、，，，，，故此选项不符合题意；
C、，，，不平行，故此选项符合题意；
D、，，，，故此选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，三角板中角度的计算，余角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）如图是两块直角三角板和，其中，，，且点D在边AB上，点F在边CB的延长线上，那么不可能等于（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求得，利用三角形的外角性质得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，不等式的性质，掌握“三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角”是解题的关键．
4．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据四边形内角和为可得，再根据直角三角形的性质可得，进而可得的和．
【详解】解：四边形的内角和为，直角三角形中两个锐角和为
．
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，三角形内角和定理，本题是一道根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．
5．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且保持不变．为了舒适，需调整大小，使，则应调整为（ ）
A．30°B．25°C．20°D．10°
【答案】A
【分析】延长交于H，利用“8”字形求出，利用外角的性质得到，由此求出的度数，进而得到答案．
【详解】解：延长交于H，
∵ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形各角的关系是解题的关键．
6．（2023·广东江门·八年级校考期中）如下图，的度数为（ ）
A．540°B．500°C．460°D．420°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得，根据平角的定义和四边形内角和可得，同理可得，据此即可求解．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴
∵
∴，
同理可得：，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，已知四边形中，，若沿图中虚线剪去，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用内外角之间的关系可得．
【详解】解：∵三角形的内角和等于，
∴可得和的邻补角之和等于，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于,解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
8．（2023·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为( )
A．60°B．50°C．40°D．30°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，∠DBC＋∠DCB＝90°，进而可求出∠ABD＋∠ACD的度数．
【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°，
在△DBC中，∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°，此题难度不大．
9．（2022·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．
【答案】/250度
【分析】按图先进行标注，根据外角性质分别表示出，，，，再根据，进行求解即可得出最后结果．
【详解】解：如图，进行标注，
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，即，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，圆周角及邻补角的应用，熟练掌握外角性质是解答本题的关键．
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：
【答案】见解析
【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，
，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角，以及角平分线等知识点，熟知以上知识点是解题的关键．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级统考期中）如图，已知， ．
【答案】/240度
【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】连接，，
∴
又，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键．
12．（2022秋·江西吉安·八年级统考期末）如图，在中，D、E分别是上的点，点F在的延长线上，，，求的度数．
【答案】
【分析】先根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
由三角形的外角性质可得．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质是解答本题的关键．
13．（2022春·七年级单元测试）探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
14．（2021秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______
（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由．
【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析
【分析】（1）先求出∠B+∠A的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（2）先求出∠B+∠C的度数，再根据四边形内角和等于360°，即可得出答案；
（3）先用∠A表示出∠B+∠C，再根据四边形内角和等于360°，即可得到结论；
（4）由折叠的性质得∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，结合平角的定义和三角形内角和定理，即可得到结论．
【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°，
∴∠B+∠A=180°-90°=90°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．
故选：C；
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．
故答案是：220°；
（3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．
故答案是：∠1+∠2=180°+∠A；
（4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：
如图：
∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF），
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，四边形内角和等于360°以及折叠的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
15．（2023春·重庆黔江·七年级统考期末）如图，将三角板与三角板摆放在一起；如图，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
(1)在旋转过程中，当为 度时，；当为 度时，．
(2)当时，连接，利用图探究值的大小变化情况，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)不变，理由见解析
【分析】（1）如图，记与的交点为点，与的交点为点，由，可得，再利用角的和差关系可得答案；如图，记与的交点为，求解，由角的和差关系可得答案；
（2）如图3，设分别交、于点、，在中，可得，结合，，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图，记与的交点为点，与的交点为点，
，
，
，
，即，
如图，记与的交点为，
，
，
，
，即，
（2）当，，保持不变，理由如下：
如图3，设分别交、于点、，在中，，
，，
，，
．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，垂直的定义，三角形的外角的性质的应用，熟练的利用旋转的性质与三角形的外角的性质解题是关键．
16．（2023春·四川成都·七年级统考期末）学习完平行线的知识后，甲，乙，丙三位同学利用两个三角形进行探究活动，分别得到以下图形．已知中，．请根据他们的叙述条件完成题目．
(1)若为等腰直角三角形，且；
①甲同学：如图1，和的直角边在同一直线上，点E和点C互相重合，斜边与相交于点P，那么 度；
②乙同学：如图2，和直角顶点C，D互相重合于点P，斜边与斜边互相平行，求的度数，并写出解答过程；
(2)若为等腰三角形，已知．
丙同学：如图3，若直角顶点D恰好与底边的中点重合，的斜边经过的顶点C，若，设，请用含x的式子表示的度数，并写出解答过程．
【答案】(1)①105；②75°
(2)
【分析】（1）①根据三角形的内角和定理和外角的性质进行求解即可；②过点P作，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；
（2）利用等边对等角，平行线的性质，以及三角形的外角的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：105；
②∵，
∴，
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由②得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，平行线的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键．
17．（2023春·安徽宿州·八年级校联考期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知，然后根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．
(1)若，则______，______，______
(2)若，则______．（写出求解过程）
(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)140，90，50；
(2)35，过程见解析；
(3)，理由见解析．
【分析】（1）在中，由和三角形内角和定理求得，在中，由及三角形内角和定理求得，即可求得；
（2）按照（1）的过程即可得到答案；
（3）在中，．在中，，利用，即可得到答案．
【详解】（1）在中，，
，
在中，，
，
；
故答案为：140，90，50．
（2）在中，，
，
在中，，
，
，
故答案为：35；
（3）与之间的数量关系为：．
理由如下：
在中，．
在中，．
，
．
【点睛】此题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．
19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
20．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）
(1)【问题背景】如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明；
(2)【简单应用】如图2，、分别平分、，若，，求的度数；
(3)【问题探究】如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，请猜想的度数，并说明理由；
(4)【拓展延伸】在图4中，若设，，，，试问与、之间的数量关系为：___．（用、表示，不必说明理由）
【答案】(1)见解析(2)(3)；理由见解析(4)
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4)同法即可解决问题．
（1）
证明：在AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在COD中，∠C+∠D+∠COD=180°
∠AOB=∠COD
∠A+∠B=∠C+∠D
（2）
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD
∠1=∠2，∠3=∠4
由(1)的结论得
2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠ABC+∠ADC
∠P=(∠ABC+∠ADC)
∵∠ABC=35°，∠ADC=15°
∠P=25°
（3）
解：如图3
∵ AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE
∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3
∵∠P+(180°-∠1)=∠ADC+(180°-∠3)
∠P+∠1=∠ABC+∠4
2∠P=∠ABC+∠ADC
∠ABC=35°，∠ADC=29°
∠P=(∠B+∠D)=×(35°+29°)=32°
（4）
解:同法可得，∠P=
故答案为：∠P=
【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程组的思想思考问题，属于中考常见题型．
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