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人教版七年级数学上册专题04双角平分线模型与角n等分线模型(原卷版+解析)
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这是一份人教版七年级数学上册专题04双角平分线模型与角n等分线模型(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了 双角平分线模型等内容，欢迎下载使用。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型1. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）
A．1°B．2°C．4°D．8°
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
课后专项训练
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022秋·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．
5．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
6．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
7．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度．
8．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．
9．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．
解：（1）因为，，所以______°；
因为，OM平分，所以∠____________°；
因为，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
11．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
13．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数．
14．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？
(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由．
16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
17．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是___；当是直角，，射线在的内部时，的度数是___°．
探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．若是直角，，求出的大小；若是直角，，写出的度数；数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
18．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点．
(1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________．
19．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
20．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
专题04 双角平分线模型与角n等分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型1. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可．
【详解】解：平分，平分，
故①正确；
故②错误；
故③正确；
故④错误；故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是解决本题的关键．
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵是的平分线，∴，
设，，则，
又∵是的平分线，∴
∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论．
【详解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正确；
②∵
，，
∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键．
例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）
A．1°B．2°C．4°D．8°
【答案】C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
【详解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=16°，同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键．
【点睛】本题主要考查垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB=20°，②当∠BOE′=∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB，②当∠BOE′=∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，
②当∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，
综上所述，∠EOD的度数为150°-α°或120°-α°，故答案为：150°-α°或120°-α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
【答案】或
【分析】根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：若射线在外部时，若射线在内部时，结合图形求解即可．
【详解】解：∵射线平分，射找平分，
∴，，
∴，
∵射线平分，∴，
若射线在外部时，如图1，
则，即，
∵，∴，解得：或；
若射线在内部时，如图2，则，
∴，即，不满足，
综上，或．
【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键．
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．
【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】（1）∵，平分，∴
∵分别平分，．∴
∴．
（2）若射线在的内部，如图2
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的内部时，．
若射线在外部时，如图3
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的外部时，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线定义得，，再根据得出答案．
【详解】∵，平分，，∴，，
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键．
2．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平分，平分，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键．
3．（2022秋·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
【答案】/25度
【分析】由角平分线的性质可得，再由，可求得，进一步利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：平分，，，
，，
平分，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．
【答案】/82度
【分析】证明， ，求解，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵平分，平分，∴， ，
∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质及角的运算，运用整体代换的思想是解题关键．
5．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴ ∴；
当射线在的外部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴∴；
综上所述，或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
6．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分线的定义可得，，易得，利用，可得结果；
②由角的加减可得，可得，再利用可得结果
【详解】解：①，，，
，平分，平分，
，，，
，故答案为120；
②，，，
，
，故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键．
7．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度．
【答案】
【分析】设，，根据是的平分线，是的平分线，得到，，由可得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：设，，∴，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，，
∵，∴，解得：，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线定义和角的有关计算的应用，运用了方程的思想．根据题意并结合图形建立等量关系式是解题的关键．
8．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论；
（2）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，解题的关键是求出、的度数．
9．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，那么；（2）先根据求出的度数，再根据求出的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．
【详解】（1）是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）是的平分线，，，
，，
是的平分线，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．
解：（1）因为，，所以______°；
因为，OM平分，所以∠____________°；
因为，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
【答案】（1），，，，，；（2）
【分析】（1）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数；
（2）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数．
【详解】解（1）因为，，所以；
因为OM平分，所以；
因为，ON平分，所以；所以；
故答案为：，，，，，
（2）如图，，，，
OM平分，ON平分， ，
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题关键．
11．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，然后由角的和差倍分关系可得问题的答案．
【详解】解：是的角平分线，，
是的角平分线，，
，，
，，
是的角平分线，．
【点睛】此题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设，，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得，，计算得出，等，再求得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，∴；
（2）证明：∵平分，∴，
∴
=；
（3）解：设，，
∵平分，∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∴，，即，，，
∵，平分，∴，，
∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵反向延长射线得到射线，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，， ∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
13．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）由角平分线定义和补角定义得出方程，解方程即可得出结果；
（2）设设，．则．由角平分线定义和已知条件求出，即可得出所求角的度数．
【详解】解：（1）设，∵与互补，则．
由题意，得．解得：，∴，．
（2）解：设，．则．
∵是的平分线，∴，
∴，
∵，∴，解得：，
∵是的平分线，∴，
∴．
【点睛】此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算．熟练掌握补角定义和角平分线定义，根据题意得出方程是解决问题的关键．
14．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
【答案】(1)45(2)(3)为或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根据图形有：，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时
平分
平分
综上所述：为或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？
(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)，与的大小无关，理由见解析．
【分析】（1）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，即可求出的度数；
（2）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，Ike得到结论；
（3）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，即可得到结论；
【详解】（1）解： ，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角的有关计算，角平分线的定义，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）没有关系，，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求，根据即可解答；
（2）由题意可得进而求出；
（3）根据角平分线性质可得，，进而求出．
【详解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
；
（2）∵，，，
∴，
∴；
（3）与的大小无关．理由：∵，，∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，即．
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
17．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．
当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____；
当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°．
探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．
若是直角，，求出的大小；
若是直角，，写出的度数；
数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】问题情境：；；探索发现：；；数学思考：
【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可．
【详解】解：问题情境：，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
探索发现：，分别是和的角平分线，
，为；
，，分别是和的角平分线，
，为；
数学思考：分两种情况
当在内部时，如图所示，
，
的度数是，，
，
当在外部时，如图所示，
，
，∴．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成．
18．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点．
(1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）先求出的长度，在根据线段中点的定义，分别求出的长度，即可求解；
（2）先求出和的和，再根据角平分线的定义，求出和的和，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，∴，
∵E，F分别是的中点，∴，
∴，故答案为：．
（2）∵，，∴，
∵分别平分和，∴，
∴，
∴．
由图可知：，，
∵分别平分和，∴，
∴，整理得：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线段和角度的和差关系进行求解．
19．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，在内部，
，，，
，；
（2）；理由如下：如图2，
，射线、分别在内、外部，
，，
，；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，，
，；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，，
，，，
，
，
.综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
20．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，∴．
∵，
∴，∴，∴．
（2），设，则，
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型1. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）
A．1°B．2°C．4°D．8°
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
课后专项训练
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
3．（2022秋·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．
5．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
6．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
7．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度．
8．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．
9．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．
解：（1）因为，，所以______°；
因为，OM平分，所以∠____________°；
因为，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
11．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
13．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数．
14．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？
(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由．
16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
17．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是___；当是直角，，射线在的内部时，的度数是___°．
探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．若是直角，，求出的大小；若是直角，，写出的度数；数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
18．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点．
(1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________．
19．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
20．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
专题04 双角平分线模型与角n等分线模型
对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
模型1. 双角平分线模型
图1 图2 图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：.
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：.
例1．（2023·河南周口·校联考一模）如图，点O为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据平分，平分，求出，再根据，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵点O为直线上一点，平分，平分，
∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故C正确．故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是理解角平分线的定义，求出．
例2．（2023春·辽宁辽阳·七年级统考期末）如图，射线平分，射线平分，则下列等式中成立的有（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．①③C．②③D．②④
【答案】B
【分析】利用角平分线的性质计算角之间的数量关系即可．
【详解】解：平分，平分，
故①正确；
故②错误；
故③正确；
故④错误；故选B．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及熟练运用角的和差表示角的关系是解决本题的关键．
例3．（2022秋·黑龙江大庆·七年级校考期末）如图，是的平分线，射线在内部，是的平分线，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】据角平分线的定义得到，，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：∵是的平分线，∴，
设，，则，
又∵是的平分线，∴
∴，
∵，∴，∴，
∴．故答案为：40．
【点睛】本题考查角平分线的定义和图中各角之间的和差关系，解题关键是找出图中各角之间的和差关系．
例4．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线在内部，平分平分平分，以下四个结论：① ；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．
【答案】①②④
【分析】①根据平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出结论；②根据角度之间的关系得出，得出，即可得出结论；③无法证明；④根据，得出，，即可得出结论．
【详解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正确；
②∵
，，
∴，故②正确；③与不一定相等，故③错误；
④根据解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．故答案为：①②④．
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，根据角度之间的关系得出是解题的关键．
例5．（2023·湖北七年级课时练习）如图所示，已知∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，则∠AOA4的大小为（ ）
A．1°B．2°C．4°D．8°
【答案】C
【分析】根据角平分线定义求出∠AOA1=∠AOB=32°，同理即可求出答案．
【详解】∵∠AOB=64°，OA1平分∠AOB，∴∠AOA1=∠AOB=32°，
∵OA2平分∠AOA1，∴∠AOA2=∠AOA1=16°，同理∠AOA3=8°，∠AOA4=4°，故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的应用，掌握角平分线的定义是关键．
【点睛】本题主要考查垂直的定义、余角的性质、等分线等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键．
例6．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，∠AOC=∠BOD=90°，OB在∠AOC的内部，OC在∠BOD的内部，OE是∠AOB的一条三等分线．请从A，B两题中任选一题作答．
A．当∠BOC＝30°时，∠EOD的度数为 ．
B．当∠BOC＝α°时，∠EOD的度数为 （用含α的代数式表示）．
【答案】 110°或130° 或
【分析】A、根据角的和差得到∠AOB=90°-30°=60°，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB=20°，②当∠BOE′=∠AOB=20°，根据角的和差即可得到结论；
B、根据角的和差得到∠AOB，根据OE是∠AOB的一条三等分线，分类讨论，当∠AOE=∠AOB，②当∠BOE′=∠AOB，根据角的和差即可得到结论．
【详解】解：A、如图，
∵∠AOC=90°，∠BOC=30°，∴∠AOB=90°-30°=60°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=20°，∴∠BOE=40°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=130°，
②当∠BOE′=∠AOB=20°，∴∠DOE′=90°+20°=110°，
综上所述，∠EOD的度数为130°或110°，故答案为：130°或110°；
B、∵∠AOC=90°，∠BOC=α°，∴∠AOB=90°-α°，
∵OE是∠AOB的一条三等分线，
∴①当∠AOE=∠AOB=30°-α°，∴∠BOE=90°-α-（30-α）°=60°-α°，
∵∠BOD=90°，∴∠EOD=∠BOD+∠BOE=150°-α°，
②当∠BOE′=∠AOB=30°-α°，∴∠DOE′=90°+30°-α°=120°-α°，
综上所述，∠EOD的度数为150°-α°或120°-α°，故答案为：150°-α°或120°-α°；
【点睛】本题考查了余角和补角的定义，角的倍分，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键．
例7．（2023秋·重庆万州·七年级统考期末）平面内，，C为内部一点，射线平分，射找平分，射线平分，当时，求的度数？
【答案】或
【分析】根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：若射线在外部时，若射线在内部时，结合图形求解即可．
【详解】解：∵射线平分，射找平分，
∴，，
∴，
∵射线平分，∴，
若射线在外部时，如图1，
则，即，
∵，∴，解得：或；
若射线在内部时，如图2，则，
∴，即，不满足，
综上，或．
【点睛】题目考查角平分线的计算，理解题意，分类讨论作出图形求解是解题关键．
例8．（2023秋·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：(1)如图，若， ，、分别平分、，求的度数；
(2)若，是平面内两个角，， ，、分别平分、，求的度数．（用含、的代数式表示）
【答案】(1)(2)所以当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．
【分析】（1）根据角平分线定义求出和度数，即可得出答案；（2）由于无法确定射线的位置，所以需要分类讨论：若射线在的内部时，根据角平分线定义得出，，求出；若射线在的外部时，根据角平分线定义得出，，求出，代入求出即可．
【详解】（1）∵，平分，∴
∵分别平分，．∴
∴．
（2）若射线在的内部，如图2
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的内部时，．
若射线在外部时，如图3
∵，，、分别平分、．
∴∴．
所以当射线在的外部时，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义和角的有关计算，利用角平分线的定义求解角的度数是解题的关键．
例9．（2023春·山东济南·七年级统考期末）解答下列问题
如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”．(1)一个角的平分线 这个角的“巧分线”，（填“是”或“不是”）．(2)如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 （表示出所有可能的结果探索新知）．(3)如图3，若，且射线是的“巧分线”，则 （用含α的代数式表示出所有可能的结果）．
【答案】(1)是(2)30°，20°或40°(3)或或
【分析】（1）根据“巧分线”定义，一个角的平分线将一个角均分成两个等角，大角是这两个角的两倍即可解答；(2)根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可；(3) 根据“巧分线”定义，分、、三种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图1：∵平分，∴,
∴根据巧分线定义可得是这个角的“巧分线”．故答案为：是．
（2）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
（3）解：如图3：①当时，则；
②当，则，解得：；
③当，则，解得：．
综上，可以为．
【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点，读懂题意、理解“巧分线”的定义是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·北京海淀·七年级校考期中）如图，直线，相交于点，分别作，的平分线，．，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据角平分线定义得，，再根据得出答案．
【详解】∵，平分，，∴，，
∴．故选：D．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义，平角的定义，掌握各角之间的数量关系是解题的关键．
2．（2023秋·广西崇左·七年级统考期末）如图，是内的一条射线，平分，平分，，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平分，平分，可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵平分，∴，∵平分，∴，
∴，
∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，根据题意得到是解题的关键．
3．（2022秋·山西临汾·七年级校联考阶段练习）如图，已知，是内一条射线，平分，平分，，则 ．
【答案】/25度
【分析】由角平分线的性质可得，再由，可求得，进一步利用角平分线的性质求解即可．
【详解】解：平分，，，
，，
平分，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，角的和差计算，仔细观察图形找到数量关系是解题的关键．
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期末）如图．平分，平分．若，，则 ．
【答案】/82度
【分析】证明， ，求解，再利用角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵平分，平分，∴， ，
∴，
∴．故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的性质及角的运算，运用整体代换的思想是解题关键．
5．（2023秋·广东梅州·七年级校考阶段练习）已知，由定点引一条射线，使得，、分别是和的平分线，则 度．
【答案】或
【分析】分两种情况讨论，当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义得出，结合图形即可求解．
【详解】解：分两种情况讨论，当射线在的内部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴ ∴；
当射线在的外部时，如图所示，
∵，，、分别是和的平分线，
∴∴；
综上所述，或，故答案为：或．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合，分类讨论是解题的关键．
6．（2023秋·安徽六安·七年级校考期末）如图，已知、是内部的两条射线，平分，平分，①若，，则的度数为 度；②若，，则的度数为 度(用含x的代数式表示)．
【答案】 120
【分析】①利用角平分线的定义可得，，易得，利用，可得结果；
②由角的加减可得，可得，再利用可得结果
【详解】解：①，，，
，平分，平分，
，，，
，故答案为120；
②，，，
，
，故答案为：
【点睛】本题考查的是角平分线的定义有关知识，利用角平分线的定义找出角的数量关系是解决本题关键．
7．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知，如图，，是的平分线，是的平分线，且，则 度．
【答案】
【分析】设，，根据是的平分线，是的平分线，得到，，由可得到关于的方程，求解即可．
【详解】解：设，，∴，
∵是的平分线，是的平分线，，
∴，，
∵，∴，解得：，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线定义和角的有关计算的应用，运用了方程的思想．根据题意并结合图形建立等量关系式是解题的关键．
8．（2023·黑龙江·七年级校联考期末）如图，，，平分，平分．(1)如图1，求度数；(2)如图2，若，其他条件不变，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论；
（2）根据、的度数可得出的度数，根据角平分线的定义即可得出、的度数，再根据与、之间的关系通过角的计算即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵平分，∴，
∵平分，∴，
∴．
【点睛】本题考查了角的计算以及角平分线的定义，解题的关键是求出、的度数．
9．（2023·广东·七年级假期作业）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，，那么；（2）先根据求出的度数，再根据求出的度数，根据角平分线的定义即可得出结论．
【详解】（1）是的平分线，是的平分线，
，，
；
（2）是的平分线，，，
，，
是的平分线，．
【点睛】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
10．（2023秋·山东临沂·七年级统考期末）（1）如图1，为直角，，且OM平分，ON平分，求的度数．（2）如图2，，，且OM平分，ON平分．直接写出的度数．
解：（1）因为，，所以______°；
因为，OM平分，所以∠____________°；
因为，ON平分，所以∠____________°；
所以______°；
（2）______°．
【答案】（1），，，，，；（2）
【分析】（1）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数；
（2）根据角平分线定义和各个角的度数求出，即可求出的度数．
【详解】解（1）因为，，所以；
因为OM平分，所以；
因为，ON平分，所以；所以；
故答案为：，，，，，
（2）如图，，，，
OM平分，ON平分， ，
，故答案为：．
【点睛】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题关键．
11．（2023·广东江门·七年级期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义可得，然后由角的和差倍分关系可得问题的答案．
【详解】解：是的角平分线，，
是的角平分线，，
，，
，，
是的角平分线，．
【点睛】此题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键．
12．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）已知：射线在内部，平分．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，作平分，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，作射线的反向延长线，在的下方，且，反向延长射线得到射线，射线在内部，是的平分线，若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）通过角平分线的定义计算即可证明；（2）通过角平分线的定义计算即可证明；
（3）设，，通过角平分线的定义以及垂直的定义求得，，计算得出，等，再求得，据此即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，∴；
（2）证明：∵平分，∴，
∴
=；
（3）解：设，，
∵平分，∴，
∵，∴，，
∵，∴，
∴，，即，，，
∵，平分，∴，，
∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵反向延长射线得到射线，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，， ∴．
【点睛】本题考查的是角平分线的含义，垂直的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用，理解题意，利用方程思想解决问题是解本题的关键．
13．（2023春·天津南开·七年级校考开学考试）（1）如图1，已知O为上一点，与互补，分别为与的平分线，若，试求与度数．（2）已知如图2，，是的平分线，是的平分线，且，求的度数．
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）由角平分线定义和补角定义得出方程，解方程即可得出结果；
（2）设设，．则．由角平分线定义和已知条件求出，即可得出所求角的度数．
【详解】解：（1）设，∵与互补，则．
由题意，得．解得：，∴，．
（2）解：设，．则．
∵是的平分线，∴，
∴，
∵，∴，解得：，
∵是的平分线，∴，
∴．
【点睛】此题考查了补角的定义、角平分线的定义及角的运算．熟练掌握补角定义和角平分线定义，根据题意得出方程是解决问题的关键．
14．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）点O为直线上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得．
(1)如图1，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，则的度数是___________°；
(2)如图2，过点O作射线，当恰好为的角平分线时，求出与的数量关系；
(3)过点O作射线，当恰好为的角平分线时，另作射线，使得平分，若，求出的度数．
【答案】(1)45(2)(3)为或
【分析】（1）直接通过角平分线的定义直接求解即可．
（2）用同一个角度表示不同的角，直接求解即可．
（3）分类讨论H，K的位置关系直接求解即可．
【详解】（1）平分，平分，
，
（2）
平分，
，
根据图形有：，
，
，
，
，
（3）当H在K左侧时
平分
平分
当K在H左侧时
平分
平分
综上所述：为或
【点睛】此题考查角度的计算，解题关键是分类讨论H和K的位置．
15．（2023秋·河南平顶山·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)如图1，当是直角．时，的度数是多少？
(2)如图2，当，时，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当，时，猜想：与、有数量关系吗？如果有，写出结论并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析；
(3)，与的大小无关，理由见解析．
【分析】（1）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，即可求出的度数；
（2）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，Ike得到结论；
（3）根据角的和差，得到，再根据角平分线的性质得到，，进而得到，求出的度数，即可得到结论；
【详解】（1）解： ，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
；
（3）解：，理由如下：
，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
．
【点睛】本题考查了角的有关计算，角平分线的定义，利用数形结合思想解决问题是解题关键．
16．（2023秋·安徽池州·七年级统考期末）（1）如图1，已知内部有三条射线，平分，平分，若，求的度数；
（2）若将（1）中的条件“平分，平分”改为“，”，且，求的度数；
（3）如图2，若、在的外部时，平分，平分，当，时，猜想：与的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
【答案】（1）（2）（3）没有关系，，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线性质可求，根据即可解答；
（2）由题意可得进而求出；
（3）根据角平分线性质可得，，进而求出．
【详解】解：（1）∵平分，平分，
∴，，
∴，
；
（2）∵，，，
∴，
∴；
（3）与的大小无关．理由：∵，，∴，
∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，即．
【点睛】此题考查了角的计算，以及角平分线，解决本题的关键是利用角的和与差．
17．（2023秋·河北保定·七年级统考期末）问题情境：是一条射线，分别是和的角平分线．
当是直角，，射线在的内部时，我们可以发现的度数是_____；
当是直角，，射线在的内部时，的度数是____°．
探索发现：分别是和的角平分线，当射线在的外面时．
若是直角，，求出的大小；
若是直角，，写出的度数；
数学思考：分别是和的角平分线，若的度数是，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
【答案】问题情境：；；探索发现：；；数学思考：
【分析】问题情境：根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
探索发现：根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；根据，，分别是和的角平分线，计算即可得到答案；
数学思考：分两种情况讨论：当在内部时；当在外部时，计算得出答案即可．
【详解】解：问题情境：，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
，分别是和的角平分线，
，
故答案为：；
探索发现：，分别是和的角平分线，
，为；
，，分别是和的角平分线，
，为；
数学思考：分两种情况
当在内部时，如图所示，
，
的度数是，，
，
当在外部时，如图所示，
，
，∴．
【点睛】本题主要考查了与角平分线有关的角度的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，分清所求角的构成．
18．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）如图①，已知线段，，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是的中点．
(1)若cm，则______；(2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，分别平分和，若，，则______．直接写出，和的数量关系：_____________．
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）先求出的长度，在根据线段中点的定义，分别求出的长度，即可求解；
（2）先求出和的和，再根据角平分线的定义，求出和的和，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，∴，
∵E，F分别是的中点，∴，
∴，故答案为：．
（2）∵，，∴，
∵分别平分和，∴，
∴，
∴．
由图可知：，，
∵分别平分和，∴，
∴，整理得：．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了中点和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握中点和角平分线的定义，根据线段和角度的和差关系进行求解．
19．（2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知，以射线为起始边，按顺时针方向依次作射线、，使得，设，.
(1)如图1，当时，若，求的度数；
(2)备用图①，当时，试探索与的数量关系，并说明理由；
(3)备用图②，当时，分别在内部和内部作射线，，使，，求的度数.
【答案】(1)；(2)；理由见解析；(3)
【分析】（1）根据图形可知，继而根据，即可求解；
（2）根据图形得出，计算，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，②当时，如图4，射线、在的外部，结合图形分析即可求解．
【详解】（1）如图1，，在内部，
，，，
，；
（2）；理由如下：如图2，
，射线、分别在内、外部，
，，
，；
（3）①当时，射线与重合，射线与互为反向延长线，
则，，如图3，
，，，
，；
②当时，如图4，射线、在的外部，如图4，
则，，
，，，
，
，
.综合①②得．
【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
20．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）如图，点O在直线上，在直线上方，且，射线在内部，．
(1)如图1，若是的平分线，求的度数；
(2)如图2，探究发现：当的大小发生变化时，与的数量关系保持不变．请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）根据补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设，则，再利用，然后整理可得结论．
【详解】（1）∵是的平分线，
∴，∴．
∵，
∴，∴，∴．
（2），设，则，
∵，∴，
∴，∴．
【点睛】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
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