新人教版高二暑期数学衔接第03讲空间直线、平面的平行与垂直讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第03讲空间直线、平面的平行与垂直讲义(学生版+解析)，共37页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。
1.借助长方体,在直观认识空间点,直线,平面的位置关系的基础上,抽象出空间点,直线,平面的位置关系的定义,了解以下基本事实(公理)和定理
2.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的性质定理,并加以证明
定理1：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行．
定理2：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
定理3：垂直于同一个平面的两条直线平行
定理4：两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
3.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的判定定理
定理5：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
定理6：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
定理7：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
定理8：如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
【基础知识】
一、空间中直线与平面之间的位置关系
1.直线在平面内,则它们有无数个公共点．
2.直线与平面相交,则它们有1个公共点．
3.直线与平面平行,则它们没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
二、直线与平面平行的判定定理和性质定理
三、平面与平面之间的位置关系
1.两个平面平行,则它们没有公共点．
2.两个平面相交,则它们有一条公共直线,两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
四、平面与平面平行的判定和性质

五、证明平行时常用的其他性质
1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
六、判断或证明线面平行的常用方法
1.利用线面平行的定义(无公共点)．
2.利用线面平行的判定定理(aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))α,b⊂α,a∥b⇒a∥α)．
3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β)．
4.利用面面平行的性质(α∥β,aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))α,aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))β,a∥α⇒a∥β)．
七、证明面面平行的方法
1.面面平行的定义．
2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．
3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
4.两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行．
八、证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行,在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识,
如三角形的中位线与第3边平行,若四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边平行等.
九、线线垂直
如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面),那么这两条直线互相垂直．
十、直线与平面垂直
1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上
2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理
十一、平面和平面垂直的定义
1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
十二、判断(证明)线线垂直的方法
(1)根据定义．
(2)如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.
(3)如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c.
(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．
十三、证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α.
(2)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(3)利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
(4)利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ.
十四、证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ
【考点剖析】
考点一：线线位置关系的判断
例1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A．若,,则B．若,,则
C．若,,则D．若,,则
考点二：线线平行的证明
例2．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)如图,在直三棱柱中,,M为棱上一点.
(1)记平面ACM与平面的交线为l,证明；
(2)若M为的中点,且二面角A－CM－B的正切值为3,求线段BC的长度.
考点三：线面平行的证明
例3．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为( )
A．B．C．D．
考点四：面面平行的证明
例4．(2022学年广东省广州市仲元中学高一下学期期中)在正方体中,E、F分别是棱和棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)试问平面截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由．
考点五：利用平行关系作截面
例5．(2022届上海市静安区高三下学期6月最后阶段水平模拟)正方体的棱长为1,、分别为、的中点,则平面截正方体所得的截面面积为____________．
考点六：线线垂直的证明
例6．(2022学年重庆市三峡名校联盟高一下学期5月联考)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,平面, ,,
(1)求证：；
(2)若为的中点.求与平面所成角的正弦值.
考点七：线面垂直的证明
例7．(2022学年重庆市二0三中学校高一下学期第二次月考)如图,在正三棱柱中,各棱长均为4,M,N分别是BC,的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：
考点八：面面垂直的证明
例8．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知,PA=6,BC=8,DF=5求证：
(1)直线PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
考点九：线面位置关系中的探索性问题
例9. 如图,ABCD为矩形,点A、E、B、F共面,和均为等腰直角三角形,且若平面⊥平面
(1)证明:平面平面ADF
(2)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG∥平面若存在,求出此时三棱锥与三棱锥的体积之比,若不存在,请说明理由.
【真题演练】
1. (2021新高考全国卷Ⅱ)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点．则满足的是( )
A. B.
C. D.
2．(2019年高考全国卷Ⅱ)设、为两个平面,则的充要条件是( )
A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行
C．,平行于同一条直线D．,垂直于同一平面
3．(2021新高考全国卷Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积．
4. (2021新高考全国卷Ⅱ)在四棱锥中,底面是正方形,若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
,建如图所示的空间坐标系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
5.(2020新高考山东卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
6．(2020全国卷Ⅰ)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,．
是底面的内接正三角形,为上一点,．
(1)证明：平面；
【过关检测】
1.(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A．若,,则B．若,,则
C．若,,则D．若,,则
2. (2022学年安徽省池州市第一中学高一下学期5月月考)下列选项中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是( )
A．B．C．D．
3. (2022届广东省广州市天河区高三综合测试)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形为正方形,分别为的中点,在此几何体中,下面结论错误的是( )
A．直线与直线异面
B．直线与直线异面
C．直线平面
D．直线平面
4．(2022届福建省厦门集美中学高三下学期适应性考试)在正方体中,棱长为3,E为棱上靠近的三等分点,则平面截正方体的截面面积为( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2022届河北省沧州市沧县中学高三上学期阶段测试)如图所示,在四棱锥中中,为正方形,,E为线段的中点,F为与的交点,．则下列结论正确的是( )
A．平面B．平面
C．平面平面D．线段长度等于线段长度
6. (2022学年河南省濮阳市第一高级中学高一下学期期中)已知直线和平面,给出四个论断：①；②；③；④,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的命题：___________.
7.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)已知正三棱柱中,,是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点是直线上的一点,当与平面所成的角的正切值为时,求三棱锥的体积．
8.(2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期第三次月考)如图,已知在平面四边形ABCP中,D为PA的中点,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．将此平面四边形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,连接PA、PB．
(1)求证：平面PBC⊥平面PBD；
(2)设Q为侧棱PC的中点,求直线PB与平面QBD所成角的余弦值．
9.(2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期月考)在如图所示的几何体中,底面四边形ABEF为等腰梯形,,侧面四边形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．
(1)求证：AF⊥平面BCE；
(2)求三棱锥A－CEF的体积．
10. 如图所示,是所在平面外的一点,、、分别是、、的重心.
(1)求证：平面平面；
(2)求与的面积之比.文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
l∥α,a⊂β,α∩β＝b ⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
l∥α,l⊂β,α∩β＝b⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
,
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
第03讲 空间直线、平面的平行与垂直
【学习目标】
1.借助长方体,在直观认识空间点,直线,平面的位置关系的基础上,抽象出空间点,直线,平面的位置关系的定义,了解以下基本事实(公理)和定理
2.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的性质定理,并加以证明
定理1：一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行．
定理2：两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行
定理3：垂直于同一个平面的两条直线平行
定理4：两个平面垂直,如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直
3.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知了解空间直线与直线,直线与平面,平面与平面的平行和垂直的关系,归纳出以下的判定定理
定理5：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行
定理6：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行
定理7：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直
定理8：如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直
4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
【基础知识】
一、空间中直线与平面之间的位置关系
1.直线在平面内,则它们有无数个公共点．
2.直线与平面相交,则它们有1个公共点．
3.直线与平面平行,则它们没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
二、直线与平面平行的判定定理和性质定理
三、平面与平面之间的位置关系
1.两个平面平行,则它们没有公共点．
2.两个平面相交,则它们有一条公共直线,两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
四、平面与平面平行的判定和性质

五、证明平行时常用的其他性质
1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
2.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
六、判断或证明线面平行的常用方法
1.利用线面平行的定义(无公共点)．
2.利用线面平行的判定定理(aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))α,b⊂α,a∥b⇒a∥α)．
3.利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β)．
4.利用面面平行的性质(α∥β,aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))α,aeq \s\up1(eq \(,\s\d1(/)))β,a∥α⇒a∥β)．
七、证明面面平行的方法
1.面面平行的定义．
2.面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行．
3.利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
4.两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行．
八、证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行,在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识,
如三角形的中位线与第3边平行,若四边形的一组对边平行且相等,则另一组对边平行等.
九、线线垂直
如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面),那么这两条直线互相垂直．
十、直线与平面垂直
1.如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上
2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理
十一、平面和平面垂直的定义
1.两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直．
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
十二、判断(证明)线线垂直的方法
(1)根据定义．
(2)如果直线a∥b,a⊥c,则b⊥c.
(3)如果直线a⊥面α,c⊂α,则a⊥c.
(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．
十三、证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：两相交直线a,b⊂α,a⊥c,b⊥c⇒c⊥α.
(2)a∥b,a⊥α⇒b⊥α.
(3)利用面面平行的性质：α∥β,a⊥α⇒a⊥β.
(4)利用面面垂直的性质：α⊥β,α∩β＝m,a⊂α,a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ,β⊥γ,α∩β＝m⇒m⊥γ.
十四、证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β,a⊂α⇒α⊥β.
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面：α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ
【考点剖析】
考点一：线线位置关系的判断
例1．(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A．若,,则B．若,,则
C．若,,则D．若,,则
【答案】D
【解析】A选项,,,则可能平行,相交,异面,故A错误；
B选项,,,则可能,故B错误；
C选项,,,则可能,也可能,故C错误；
D选项,根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面,则另一条也垂直该平面,故D正确.
故选D.
考点二：线线平行的证明
例2．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)如图,在直三棱柱中,,M为棱上一点.
(1)记平面ACM与平面的交线为l,证明；
(2)若M为的中点,且二面角A－CM－B的正切值为3,求线段BC的长度.
【解析】 (1)证明：在直三棱柱中,
∵平面ACM,平面ACM.
平面ACM,
∵平面,平面平面,
∴；
(2)解：取BC的中点E,连接AE,过E作于点F,连接AF.
∵,∴,
又∵MB⊥平面ABC,平面ABC,∴.
∵,∴AE⊥平面BCM,∴,
又,平面AEF,所以MC⊥平面AEF,
又平面AEF,所以,
∴即为所求二面角的平面角,
∵AE⊥平面BCM,平面BCM,
∴,
又∵,
∴,
记,
由,,
又,
∴,
解得,即,
∴.
考点三：线面平行的证明
例3．(2022学年山西省高一下学期第三次月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,则角A的余弦值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得,或(舍).故选A．
考点四：面面平行的证明
例4．(2022学年广东省广州市仲元中学高一下学期期中)在正方体中,E、F分别是棱和棱的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)试问平面截正方体所得的截面是什么图形？并说明理由．
【解析】 (1)证明：如图所示：
因为E,F为中点,则,,
所以四边形是平行四边形,
则,又平面AEC,平面AEC,
所以平面AEC,
连接BD交AC于点O,连接OE,
则,且平面AEC ,平面AEC ,
所以平面AEC ,又,
所以平面平面；
(2)由(1)知：平面平面,
且平面,平面平面,
所以,又,
所以,
又,则,
所以四边形是平行四边形,又DF=DG,
故平面截正方体所得的截面是菱形.
考点五：利用平行关系作截面
例5．(2022届上海市静安区高三下学期6月最后阶段水平模拟)正方体的棱长为1,、分别为、的中点,则平面截正方体所得的截面面积为____________．
【答案】
【解析】如图,连接 则,可得等腰梯形为平面截正方体所得的截面图形,
由正方体的棱长为1,得,,,则到的距离为,∴
故答案为：.
考点六：线线垂直的证明
例6．(2022学年重庆市三峡名校联盟高一下学期5月联考)如图,在四棱锥中,底面为平行四边形,平面平面,平面, ,,
(1)求证：；
(2)若为的中点.求与平面所成角的正弦值.
【解析】 (1)过作,
∵平面平面,平面平面,∴平面.
又∵平面,∴.
∵平面,平面,∴.
又∵,∴平面.
又∵平面,∴.
(2)过作,交于点,连接,过作,交于点.
由(1)知,平面,且平面,∴.
又且,∴平面.
又∵平面,∴,
又且,
∴平面,∴为在平面内的射影,
即为与平面所成的角,
∴,,
由,
得,得.
∵平面,且平面,∴,
∴,
由,得,得,
.
所以与平面所成角的正弦值为.
考点七：线面垂直的证明
例7．(2022学年重庆市二0三中学校高一下学期第二次月考)如图,在正三棱柱中,各棱长均为4,M,N分别是BC,的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：
【解析】 (1)在正三棱柱中,各棱长均为4,而M是正边BC的中点,则,
而平面,平面,于是得,又,平面,
所以平面.
(2)正方形中,M,N分别是BC,的中点,则,
有,即,则,
由(1)知,平面,平面,则有,
而,平面,因此,平面,而平面,
所以.
考点八：面面垂直的证明
例8．(2022学年浙江省强基联盟高一下学期5月联考)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,已知,PA=6,BC=8,DF=5求证：
(1)直线PA//平面DEF；
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【解析】 (1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以,
且DE平面DEF,PA平面DEF.
所以直线PA//平面DEF
(2)因为且,所以.
由中位线可知,则有,
根据勾股定理逆定理知DE⊥EF,
而,所以.
且,AC平面ABC,BC平面ABC,
所以DE⊥平面ABC..
又DE平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC
考点九：线面位置关系中的探索性问题
例9. 如图,ABCD为矩形,点A、E、B、F共面,和均为等腰直角三角形,且若平面⊥平面
(1)证明:平面平面ADF
(2)问在线段EC上是否存在一点G,使得BG∥平面若存在,求出此时三棱锥与三棱锥的体积之比,若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)矩形中,,又平面⊥平面,平面平面,
平面,则平面,而平面,因此,,
因,即,而,平面,则平面,又平面,
所以平面平面.
(2)因和均为等腰直角三角形,且,则,
即有,并且有,延长EB至H,使,连CH,如图,
由知,四边形为平行四边形,则有,且,
于是得四边形是平行四边形,有,在平面内过点B作交CE于G,
因此,而平面,平面,从而得平面,
显然,则,即点G是线段CE的靠近点C的一个三等分点,
于是得点G到平面的距离h是点C到平面的距离BC的,即,
而,,即,
所以线段EC的靠近点C的一个三等分点G,能使平面,三棱锥与三棱锥的体积之比为.
【真题演练】
1. (2021新高考全国卷Ⅱ)如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点．则满足的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】设正方体的棱长为,
对于A,如图(1)所示,连接,则,
故(或其补角)为异面直线所成的角,
在直角三角形,,,故,
故不成立,故A错误. (或者易得在上底面的射影为,故不成立)
对于B,如图(2)所示,取的中点为,连接,,则,,
由正方体可得平面,而平面,
故,而,故平面,
又平面,,而,
所以平面,而平面,故,故B正确.
对于C,如图(3),连接,则,由B的判断可得,
故,故C正确.
对于D,如图(4),取的中点,的中点,连接,
则,
因为,故,故,
所以或其补角为异面直线所成的角,
因为正方体的棱长为2,故,,
,,故不是直角,
故不垂直,故D错误.故选BC
2．(2019年高考全国卷Ⅱ)设、为两个平面,则的充要条件是( )
A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行
C．,平行于同一条直线D．,垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.
3．(2021新高考全国卷Ⅰ)如图,在三棱锥中,平面平面,,为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为1的等边三角形,点在棱上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积．
【解析】(1)证明：因为,为的中点,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,又平面,
所以；
(2)在平面ABD中,作于M,在平面BCD中,作于N,连接EN,
由⑴得
4. (2021新高考全国卷Ⅱ)在四棱锥中,底面是正方形,若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
,建如图所示的空间坐标系,求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.
【解析】(1)取的中点为,连接.
因为,,则,
而,故.
在正方形中,因为,故,故,
因为,故,故为直角三角形且,
因为,故平面,
因为平面,故平面平面.
(2)过作于点
由(1)可知：平面平面
面
在中,,,
,即得：
即,
即二面角的平面角的余弦值为
5.(2020新高考山东卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
【解析】(1)证明：
在正方形中,,
因为平面,平面,
所以平面,
又因为平面,平面平面,
所以,
因为在四棱锥中,底面是正方形,所以
且平面,所以
因为
所以平面；
6．(2020全国卷Ⅰ)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,．
是底面的内接正三角形,为上一点,．
(1)证明：平面；
【解析】(1)由题设,知为等边三角形,设,
则,,所以,
又为等边三角形,则,所以,
,则,所以,
同理,又,所以平面；
【过关检测】
1.(2022学年河南省商丘市第一高级中学高一下学期五月月考)设m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A．若,,则B．若,,则
C．若,,则D．若,,则
【答案】D
【解析】A选项,,,则可能平行,相交,异面,故A错误；
B选项,,,则可能,故B错误；
C选项,,,则可能,也可能,故C错误；
D选项,根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面,则另一条也垂直该平面,故D正确.
故选D.
2. (2022学年安徽省池州市第一中学高一下学期5月月考)下列选项中,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项,,如图所示,
易证,所以P,Q,R,S四个点共面,故A错误；
对于B选项,过P,Q,R,S可作一正六边形,如图示,
所以P,Q,R,S四个点共面,故B错误；
对于C选项,分别连接,如图示,
易证,所以P,Q,R,S四个点共面,故C错误；
对于D选项,连接,如图示
因为平面,平面,
但平面,所以异面,所以P,Q,R,S四个点不共面,故D正确.
故选D
3. (2022届广东省广州市天河区高三综合测试)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形为正方形,分别为的中点,在此几何体中,下面结论错误的是( )
A．直线与直线异面
B．直线与直线异面
C．直线平面
D．直线平面
【答案】B
【解析】
由题意知：该几何体是底面为正方形的四棱锥,如图所示,连接,易得,则,
故共面,则共面,故B错误；又面,面,不在直线上,则直线与直线异面,A正确；
由,平面,平面,则直线平面,C正确；
平面,平面,则直线平面,D正确.故选B.
4．(2022届福建省厦门集美中学高三下学期适应性考试)在正方体中,棱长为3,E为棱上靠近的三等分点,则平面截正方体的截面面积为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】延长交于点,连接交于点,如图,
在正方体中,面面,
面面,面面
,又
四边形是梯形,且为平面截正方体的截面.
又,在等腰梯形中,过作,
.故选C.
5.(多选)(2022届河北省沧州市沧县中学高三上学期阶段测试)如图所示,在四棱锥中中,为正方形,,E为线段的中点,F为与的交点,．则下列结论正确的是( )
A．平面B．平面
C．平面平面D．线段长度等于线段长度
【答案】ABC因为是正方形,所以．又因所以平面平面,,所以平面,因此A正确；
而平面,所以平面平面,因此C正确；
因为F是的中点,而E为线段的中点,所以平面,平面,所以平面,因此B正确；
对于D,因为是边长为1的正三角形,是正方形,所以．又由平面,有,所以．在中,,,又分别是等腰三角形的底边和腰上的中线,所以线段与的长度不相等(否则,是正三角形),因此D不正确；
故选ABC．
6. (2022学年河南省濮阳市第一高级中学高一下学期期中)已知直线和平面,给出四个论断：①；②；③；④,以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的命题：___________.
【答案】②③④①
【解析】若①为结论则：当,,时,因为,,则或 ,又,故成立；
若②为结论则：当,,时,因为且,故或 ,结合不能推出,故不成立；
若③为结论则：当,,时,因为且,故或 ,又,故或,故不成立；
若④为结论则：当,,时,不能推出,故不成立；
故②③④能推出①
7.(2020-2021学年湖南师范大学附属中学高一下学期期末)已知正三棱柱中,,是的中点.
(1)求证：平面；
(2)点是直线上的一点,当与平面所成的角的正切值为时,求三棱锥的体积．
【解析】 (1)证明：连接交于点,连接,
因为四边形为平行四边形,,则为的中点,
因为为的中点,则,
平面,平面,故平面.
(2)解：因为平面,与平面所成的角为,
因为是边长为的等边三角形,则,
平面,平面,,则,
所以,,
平面,,所以,点到平面的距离等于点到平面的距离,
因为为的中点,则,
则.
8.(2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期第三次月考)如图,已知在平面四边形ABCP中,D为PA的中点,PA⊥AB,,且PA＝CD＝2AB＝2．将此平面四边形ABCP沿CD折起,使平面PCD⊥平面ABCD,连接PA、PB．
(1)求证：平面PBC⊥平面PBD；
(2)设Q为侧棱PC的中点,求直线PB与平面QBD所成角的余弦值．
【解析】 (1)∵平面底面,平面底面,平面,
且由,知,∴平面,
又平面,∴．
取中点,连接,则,且,
在中,,在中,．
∵,∴,∴平面．
∵平面,∴平面平面．
(2)设点P到面QBD的距离为h,因为,
点Q到面PBD的距离为点C到面PBD的距离的一半,即为,,所以.
在三角形QBD中,,,
点Q到BD的距离为,则,
由,可得,所以.
直线PB与平面QBD所成角的正弦值为.即
9.(2022学年河北省邢台市卓越联盟高一下学期月考)在如图所示的几何体中,底面四边形ABEF为等腰梯形,,侧面四边形ABCD是矩形,且平面ABCD⊥平面ABEF,．BC＝BE＝2．
(1)求证：AF⊥平面BCE；
(2)求三棱锥A－CEF的体积．
【解析】 (1)证明：取的中点为,连接
∵,,
因为平面平面 平面平面, 平 面,所以平面,
平面所以平面.
平面
(2)解：
10. 如图所示,是所在平面外的一点,、、分别是、、的重心.
(1)求证：平面平面；
(2)求与的面积之比.
【解析】 (1)连接、、,∵、、分别是、、的重心,
∴、、分别为、、的中点,且,
∴, ,
平面,平面,所以平面,
平面,平面,所以平面,
且,∴平面平面.
(2)由(1)知,∴,
∴∽,其相似比为,
∵、分别为、的中点,∴,
∴∽,其相似比为,
∴∽,其相似比为,∴与的面积之比.
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)
l∥α,a⊂β,α∩β＝b ⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)
l∥α,l⊂β,α∩β＝b⇒l∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)
a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直
,
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α