新人教版高二暑期数学衔接第12讲圆的方程讲义(学生版+解析)

这是一份新人教版高二暑期数学衔接第12讲圆的方程讲义(学生版+解析)，共21页。学案主要包含了学习目标，基础知识，考点剖析，真题演练，过关检测等内容，欢迎下载使用。
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程
【基础知识】
一、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径
二、圆的标准方程
1.圆心为A(a,b) ,半径为r(r>0) 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 .
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点 为圆心,r为半径的圆.
2.圆的标准方程的两个基本几何要素:圆心 和半径分别确定了圆的位置和大
小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
三、点与圆的位置关系
圆A的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r(r>0).设所给点为M(x0,y0),则
四、求圆的标准方程的方法
1.直接代入法
已知圆心坐标和半径大小,直接代入圆的标准方程即可.
(1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径长r.
(2)利用几何性质,确定圆心C(a,b)及半径长r.
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径长;
③圆的半径长r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与圆心所在直线l的交点即为圆心.
2.待定系数法
(1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
(3)解方程组,求出a,b,r的值;
(4)将a,b,r代入所设的方程中,即可得到所求圆的标准方程.
五、圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
(1)当D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以 为圆心,为半径的圆.
2.圆的一般方程在形式上的特点
(1)x2和y2的系数相等且不为0;
(2)不含xy项.
六、与圆有关的轨迹问题
1.用直接法求与圆有关的轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)};
(3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
简记为:建系、设点、列式、代换、化简、证明.
直接法求点的轨迹方程的关键是找到一个能体现该动点运动特征的等量关系,再将该等量
关系坐标化并化简,最后得动点的轨迹方程.
2.求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【考点剖析】
考点一：根据圆的标准方程确定圆的几何性质
例1．(2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期期末)已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为( )
A．1B．2C．D．
考点二：利用圆的几何性质确定圆的标准方程
例2．(2022学年福建省永春第一中学高二下学期期初考试)已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.
考点三：圆的一般方程
例3．(2022学年广东省信宜市第二中学高二下学期月考)经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是( )
A．B．
C．D．
考点四：利用待定系数法确定圆的方程
例4．(2022学年新疆石河子第二中学高二上学期第一次月考)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是( )
A．B．
C．D．
考点五：根据圆的一般方程确定圆的几何性质
例5．(2022学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高二下学期期中)已知圆方程的圆心为( )
A．B．C．D．
考点六：点与圆的位置关系
例6．(多选)(2022学年广东省佛山市南海区南海执信中学高二上学期第二次段测)已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有( )
A．B．C．D．
考点七：与圆有关的轨迹问题
例7．(2022学年四川省南充市南部县第二中学高二下学期3月月考)已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【真题演练】
1.(2022学年重庆市石柱中学校高二上学期第一次月考)若曲线：表示圆，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
2. (2022学年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试)某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
3．(2022学年吉林省白山市高二上学期期末)已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为( )
A．B．
C．D．
4.(多选)(2022学年山东省潍坊市高二上学期期中)直线 与圆 的大致图像可能正确的是( )
A．B．
C．D．
5.(多选)(2022学年山东省青岛市第十九中学高二上学期)设有一组圆：，下列命题正确的是( )
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
6.(2022学年重庆市主城区六校高二上学期期末)以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________．
7.(2020-2021学年湖北省荆州市沙市第四中学高二上学期11月阶段性测试)已知直线与圆相交于点和点．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆心的半径为1，求圆的方程
8.(2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高二上学期期中)直线过点且与直线平行.
(1)求直线的方程；
(2)求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【过关检测】
1. (2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期5月月考)与圆C：关于直线对称的圆的方程为( )
A．B．
C．D．
2.已知点A(1，2)在圆C：外，则实数m的取值范围为( )
A．B．
C．D．
3.(2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期期末)已知点，，，动点P满足，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
4.(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中)已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
5.(多选)(2022学年河北省盐山中学高二上学期9月月考)已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为B．圆M经过点
C．圆M的半径为25D．圆M不经过第二象限
6.(多选)(2022学年江苏省常州市教育学会高二上学期期末)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
C．在C上存在K使得
D．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
7.(2022学年天津市北辰区高二上学期期中)已知圆的圆心到直线的距离为2，则a的值为___________.
8．(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期末)四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的吋候，利用了曲线方程(如图所示)进行图案绘制.试求曲线围成的封闭图形的面积___________.
9.(2022学年重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期10月月考)求满足下列条件的方程.
10.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
|MA|=r⇔点M在圆A上
点M(x0,y0)在圆A上⇔(x0-a)2+(y0-
b)2=r2
点在圆内
|MA|r2
第12讲 圆的方程
【学习目标】
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程
【基础知识】
一、圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心,定长称为圆的半径
二、圆的标准方程
1.圆心为A(a,b) ,半径为r(r>0) 的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 .
当a=b=0时,方程为x2+y2=r2,表示以原点 为圆心,r为半径的圆.
2.圆的标准方程的两个基本几何要素:圆心 和半径分别确定了圆的位置和大
小,从而确定了圆,所以只要a,b,r(r>0)三个量确定了,圆的方程就唯一确定了.
三、点与圆的位置关系
圆A的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心A(a,b),半径为r(r>0).设所给点为M(x0,y0),则
四、求圆的标准方程的方法
1.直接代入法
已知圆心坐标和半径大小,直接代入圆的标准方程即可.
(1)利用条件确定圆心C(a,b)及半径长r.
(2)利用几何性质,确定圆心C(a,b)及半径长r.
①圆心与切点的连线垂直于圆的切线;
②圆心到切线的距离等于圆的半径长;
③圆的半径长r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2;
④圆的弦的垂直平分线过圆心;
⑤已知圆心所在的直线l及圆上两点,则两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与l不重合)与圆心所在直线l的交点即为圆心.
2.待定系数法
(1)根据题意,设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);
(2)根据已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
(3)解方程组,求出a,b,r的值;
(4)将a,b,r代入所设的方程中,即可得到所求圆的标准方程.
五、圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念
(1)当D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示以 为圆心,为半径的圆.
2.圆的一般方程在形式上的特点
(1)x2和y2的系数相等且不为0;
(2)不含xy项.
六、与圆有关的轨迹问题
1.用直接法求与圆有关的轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)列出适合条件P的点M的集合{M|P(M)};
(3)用坐标表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;
(5)证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
简记为:建系、设点、列式、代换、化简、证明.
直接法求点的轨迹方程的关键是找到一个能体现该动点运动特征的等量关系,再将该等量
关系坐标化并化简,最后得动点的轨迹方程.
2.求与圆有关的轨迹问题的方法
(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【考点剖析】
考点一：根据圆的标准方程确定圆的几何性质
例1．(2022学年江苏省扬州市高邮市第一中学高二上学期期末)已知圆：，点，则点到圆上点的最小距离为( )
A．1B．2C．D．
【答案】C
【解析】由圆：，得圆，半径为，所以
，所以点到圆上点的最小距离为.故选C.
考点二：利用圆的几何性质确定圆的标准方程
例2．(2022学年福建省永春第一中学高二下学期期初考试)已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.
【答案】
【解析】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.
考点三：圆的一般方程
例3．(2022学年广东省信宜市第二中学高二下学期月考)经过圆的圆心，且与直线平行的直线方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】圆，，圆心为，所求直线与直线平行，
可设直线方程为，把圆心代入得，解得，故所求直线方程为．故选A.
考点四：利用待定系数法确定圆的方程
例4．(2022学年新疆石河子第二中学高二上学期第一次月考)三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设圆的一般方程为，因为，，在这个圆上，所以有，故选B
考点五：根据圆的一般方程确定圆的几何性质
例5．(2022学年黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高二下学期期中)已知圆方程的圆心为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，
所以圆心坐标为；故选C
考点六：点与圆的位置关系
例6．(多选)(2022学年广东省佛山市南海区南海执信中学高二上学期第二次段测)已知圆的方程是，则下列坐标表示点在圆外的有( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】选项A中在圆外；选项B中在圆内；选项C中在圆内；选项D中在圆外.故选AD.
考点七：与圆有关的轨迹问题
例7．(2022学年四川省南充市南部县第二中学高二下学期3月月考)已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
【解析】 (1)设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
(2)为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
【真题演练】
1.(2022学年重庆市石柱中学校高二上学期第一次月考)若曲线：表示圆，则实数的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由，得，由该曲线表示圆，
可知，解得或，故选B.
2. (2022学年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试)某圆经过两点，圆心在直线上，则该圆的标准方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为圆经过两点，所以圆心在中垂线上，联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，故选D
3．(2022学年吉林省白山市高二上学期期末)已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为点，在M上，所以圆心在的中垂线上．由，解得，即圆心为，则半径，所以M的方程为．故选C
4.(多选)(2022学年山东省潍坊市高二上学期期中)直线 与圆 的大致图像可能正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：直线不经过第四象限，所以，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；
B：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；
C：直线不经过第一象限，所以，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，
得或，因为，
所以，因此本选项可能正确；
D：直线不经过第二象限，所以，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有，在圆的方程中，令，
得或，因为，
所以，因此本选项不可能正确，故选AC
5.(多选)(2022学年山东省青岛市第十九中学高二上学期)设有一组圆：，下列命题正确的是( )
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【解析】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，故经过点的圆有两个，故C错误；
所有圆的半径为2，面积为4.故选ABD
6.(2022学年重庆市主城区六校高二上学期期末)以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是____________．
【答案】
【解析】圆心到直线的距离，又圆与直线相切，所以，所以圆的方程为.
7.(2020-2021学年湖北省荆州市沙市第四中学高二上学期11月阶段性测试)已知直线与圆相交于点和点．
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆心的半径为1，求圆的方程
【解析】(1)PQ中点M(,) , ,
所以线段PQ的垂直平分线即为圆心C所在的直线的方程:
(2)由条件设圆的方程为: ，由圆过P,Q点得得到关系式求解得到．则 或 故圆的方程为
8.(2022学年湖北省十堰市城区普高协作体高二上学期期中)直线过点且与直线平行.
(1)求直线的方程；
(2)求圆心在直线上且过点、的圆的方程.
【解析】 (1)因为直线与直线平行，则直线的方程可设为，
又因为直线过点，所以，
所以直线的方程为；
(2)因为圆心在直线上，所以圆心坐标可设为，
又因为该圆过点、，
所以有，解得，
所以圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.
【过关检测】
1. (2022学年湖北省新高考联考协作体高二下学期5月月考)与圆C：关于直线对称的圆的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】圆C：的圆心，半径．设点关于直线的对称点为，则，所以圆C关于直线的对称圆的方程为，故选C．
2.已知点A(1，2)在圆C：外，则实数m的取值范围为( )
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，表示圆，故，即或
点A(1，2)在圆C：外，故，即
故实数m的取值范围为或，即，故选A
3.(2022学年吉林省四平市第一高级中学高二上学期期末)已知点，，，动点P满足，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.故选C
4.(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市恒昌中学校高二上学期期中)已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】若表示圆，则，解得.“”是“”表示圆的必要不充分条件，所以实数的取值范围是.故选B
5.(多选)(2022学年河北省盐山中学高二上学期9月月考)已知圆M的一般方程为，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为B．圆M经过点
C．圆M的半径为25D．圆M不经过第二象限
【答案】AD
【解析】对于选项A、C，圆M的一般方程为，则圆的标准方程为．
所以圆的圆心坐标，半径为5．所以选项A正确，选项C不正确；对于选项B，将代入圆的方程，不满足，所以选项B错误；对于选项D，令中的，得或，所以圆M被y轴截得的弦长为6，所以选项D正确．
故选AD．
6.(多选)(2022学年江苏省常州市教育学会高二上学期期末)古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m(m≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，，点P满.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
C．在C上存在K使得
D．在x轴上存在异于A，B的两个定点D，E，使得
【答案】BD
【解析】设点，则由可得，化简可得，故A错误；
当，，三点不共线时，因为，，所以，所以，射线是的平分线，故B正确；设存在，则，即，
因为，所以，所以，所以，又因为，所以，又因为不满足，
所以不存在满足条件，故C错误；假设轴上存在异于的两定点，使得，
可设，可得，由P的轨迹方程为，可得，解得或(舍去)，即存在，故D正确.故选BD.
7.(2022学年天津市北辰区高二上学期期中)已知圆的圆心到直线的距离为2，则a的值为___________.
【答案】
【解析】圆，即，所以圆心坐标为
由圆心到直线的距离为2可得，解得
8．(2022学年黑龙江省齐齐哈尔市高二上学期期末)四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的吋候，利用了曲线方程(如图所示)进行图案绘制.试求曲线围成的封闭图形的面积___________.
【答案】
【解析】当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第一象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第四象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第二象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第三象限的部分；
综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域.
这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.
所以总面积为.
9.(2022学年重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高二上学期10月月考)求满足下列条件的方程.
(1)经过点，且与直线平行；
(2)圆C的圆心在x轴上，并且过点和点两点，求圆C的标准方程.
【解析】 (1)所求直线与直线平行，则斜率为,
又过点 ,
由直线方程的点斜式可得 ，即.
(2)根据题意,设圆心坐标为，半径为,
则其标准方程为: ，
由于点和点在圆C上，
则有①，②，
解①②可得，
故所求圆的标准方程为：.
10.(2022学年安徽省六安中学高二上学期期中)在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【解析】 (1)由，
令，解得或；令，得，
所以圆过.
设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为.
(2)设，则，
将的坐标代入圆的方程得，
即.
位置关系
判断方法
几何法
代数法
点在圆上
|MA|=r⇔点M在圆A上
点M(x0,y0)在圆A上⇔(x0-a)2+(y0-
b)2=r2
点在圆内
|MA|r2